Exe dalam matematika. Kesalahan dalam memecahkan masalah

Dalam artikel ini, Anda akan belajar bagaimana memecahkan masalah matematika jika Anda tidak tahu harus mulai dari mana.

Seringkali, ketika memecahkan masalah, anak sekolah "menjadi pingsan" - ada kabut di kepala mereka, pikiran telah tersebar di suatu tempat, dan tampaknya tidak mungkin lagi untuk mengumpulkannya.

Saya ingin contoh penyelesaian masalah dari bank terbuka tugas untuk menunjukkan yang langkah sederhana perlu dilakukan untuk mengumpulkan pemikiran Anda dan bagaimana memecahkan masalah dengan benar.

Bagaimana memecahkan masalah. Tugas B13 (No. 26582)

Pengendara sepeda pergi kecepatan tetap dari kota A ke kota B, jarak keduanya adalah 98 km. Keesokan harinya ia kembali dengan kecepatan 7 km/jam lebih dari sebelumnya. Dalam perjalanan ia berhenti selama 7 jam. Akibatnya, waktu yang ia habiskan dalam perjalanan pulang sama banyaknya dengan waktu yang ia habiskan dalam perjalanan dari A ke B. Hitunglah kecepatan pengendara sepeda dalam perjalanan dari A ke B. Berikan jawabannya dalam km/jam.

1. Bacalah soal dengan cermat. Mungkin beberapa kali.

2. Kami menentukan proses apa masalahnya, dan formula apa yang menggambarkan proses ini. Kami menulis formula ini. PADA kasus ini ini adalah tugas untuk gerakan, dan rumus yang menjelaskan proses ini adalah S=vt.

3. Kami menulis dimensi setiap variabel yang merupakan bagian dari persamaan:

S - jarak - km
v - kecepatan - km/jam
t - waktu - h

Mengetahui dimensi akan membantu kita dalam memeriksa rumus yang dihasilkan.

4. Kami menulis semua angka yang ditemukan dalam kondisi masalah, kami menulis apa artinya dan dimensinya:

98 km - jarak antar kota,

7 km / jam - sama dengan kecepatan pengendara sepeda jalan kembali lebih dari kecepatan dalam perjalanan dari kota A ke kota B,

7 jam - waktu pengendara sepeda berhenti (kali ini dia tidak naik)

5. Baca kembali soal soal.

6. Kami memutuskan nilai apa yang akan kami ambil untuk yang tidak diketahui. Lebih mudah untuk mengambil nilai yang tidak diketahui yang perlu diketahui dalam masalah. Dalam hal ini, ini adalah kecepatan pengendara sepeda dalam perjalanan dari A ke B.

Jadi: misalkan kecepatan pengendara sepeda dalam perjalanan dari A ke B adalah x. Kemudian, karena kecepatan pengendara sepeda dalam perjalanan kembali adalah 7 km/jam lebih besar dari kecepatan dalam perjalanan dari kota A ke kota B, maka itu sama dengan x+7.

7. Kami membuat persamaan. Untuk melakukan ini, kami menyatakan nilai ketiga dari persamaan gerak (waktu) melalui dua yang pertama. Kemudian:

waktu yang diperlukan pengendara sepeda untuk menempuh perjalanan dari A ke B adalah 98/x,

dan di jalan dari B ke A - 98 / (x + 7) + 7 - ingat bahwa dalam perjalanan kembali pengendara sepeda berhenti selama 7 jam, yaitu waktu tempuhnya adalah jumlah waktu tempuh dan parkir waktu.

Persamaannya adalah untuk waktu. Sekali lagi kita membaca dalam kondisi masalah yang dikatakan tentang waktu: Akibatnya, ia menghabiskan banyak waktu dalam perjalanan kembali seperti dalam perjalanan dari A ke B. Artinya, waktu "di sana" sama dengan waktu kembali". Kami menyamakan waktu "di sana" dan waktu "kembali" Kami mendapatkan persamaan:

98/x=98/(x+7)+7.

Sekali lagi, kami memeriksa dimensi jumlah yang termasuk dalam persamaan - Anda perlu memastikan bahwa, misalnya, jangan menambahkan jam ke kilometer.

8. Kami memecahkan persamaan. Sekarang kita perlu fokus pada penyelesaian persamaan. Untuk melakukan ini, kami menentukan jenis persamaan ini. Karena yang tidak diketahui adalah penyebut pecahan, ini adalah persamaan rasional. Untuk menyelesaikannya, Anda perlu memindahkan semua suku ke kiri dan membawa pecahan ke faktor persekutuan. Perhatikan bahwa angka 98 dan 7 adalah kelipatan 7.

Untuk menyederhanakan solusinya, kita bagi kedua ruas persamaan dengan 7. Kita mendapatkan persamaan: 14/x=14/(x+7)+1

Setelah itu, kita pindahkan semua suku ke kiri, kurangi menjadi penyebut yang sama, dan samakan pembilangnya dengan nol.

Kita dapatkan pembilangnya: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 seperti istilah dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Akarnya adalah -14 dan 7.

Angka -14 tidak sesuai dengan kondisi soal: kecepatannya harus positif.

Sekali lagi kami membaca pertanyaan soal dan menghubungkannya dengan nilai yang kami temukan: untuk yang tidak diketahui kami mengambil kecepatan pengendara sepeda dalam perjalanan dari A ke B, dan kami perlu menemukan nilai yang sama.

Jawab: 7 km/jam.

Bagaimana memecahkan masalah. Hasil

Perhatikan bahwa kami membagi seluruh jalan pemecahan masalah menjadi potongan-potongan kecil, dan di setiap bagian kami berfokus tepat pada pemikiran tindakan nyata. Dan baru setelah tindakan ini dilakukan, barulah dilakukan langkah selanjutnya.

Ketika tidak jelas apa yang harus dilakukan, Anda perlu memutuskan yang mana langkah kecil Anda dapat melakukannya sekarang, melakukannya, dan kemudian memikirkan yang berikutnya.

Untuk mempelajari cara menyelesaikan tipikal tugas logis, sederhana dan tidak standar Soal matematika, penting untuk mengetahui teknik dasar dan metode untuk menyelesaikannya. Lagi pula, dalam banyak kasus adalah mungkin untuk memecahkan masalah yang sama dan sampai pada jawaban yang benar dengan cara yang berbeda.

Mengetahui dan memahami berbagai metode solusi akan membantu Anda menentukan metode mana yang terbaik untuk setiap kasus, sehingga Anda dapat memilih cara tercepat dan termudah untuk mendapatkan jawaban.

Tugas logis "klasik" termasuk tugas teks, yang tujuannya adalah untuk mengenali objek atau mengaturnya dalam urutan tertentu sesuai dengan kondisi yang diberikan.

Jenis tugas yang lebih kompleks dan menarik adalah tugas di mana pernyataan tertentu benar dan yang lain salah. Tugas memindahkan, menggeser, menimbang, menuangkan adalah yang paling contoh terang jangkauan luas tugas non-standar untuk logika.

Metode dasar untuk memecahkan masalah logis

metode penalaran;
menggunakan tabel kebenaran;
metode diagram blok;
sarana aljabar logika (aljabar proposisional);
grafik (termasuk "pohon kondisi logis”, metode lingkaran Euler);
metode biliar matematika.

Mari kita lihat lebih dekat dengan contoh tiga cara populer untuk memecahkan masalah logis yang kami sarankan untuk digunakan di sekolah dasar (anak-anak berusia 6-12 tahun):

metode penalaran berurutan;
semacam metode penalaran - "dari akhir";
cara tabel.

Metode penalaran berurutan

Cara termudah untuk menyelesaikan masalah sederhana adalah dengan bernalar secara berurutan menggunakan semua kondisi yang diketahui. Kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang merupakan kondisi masalah secara bertahap mengarah pada jawaban atas pertanyaan yang diajukan.

Di atas meja adalah Biru , Hijau , Cokelat dan Oranye

Yang ketiga adalah pensil dengan huruf paling banyak di namanya. Biru pensil terletak di antara Cokelat dan jeruk .

Letakkan pensil dalam urutan yang dijelaskan.

Keputusan:

Kami berdebat. Kami secara konsisten menggunakan kondisi masalah untuk merumuskan kesimpulan tentang posisi di mana setiap pensil berikutnya harus diletakkan.

Sebagian besar huruf dalam kata "coklat", sehingga terletak ketiga.
Diketahui bahwa pensil biru terletak di antara cokelat dan oranye. Hanya ada satu posisi di sebelah kanan cokelat, yang berarti memungkinkan untuk menempatkan warna biru di antara pensil cokelat dan pensil lain hanya di sebelah kiri cokelat.
Kesimpulan berikutnya didasarkan pada yang sebelumnya: pensil biru ada di posisi kedua, dan pensil oranye ada di posisi pertama.
Untuk pensil hijau yang tersisa posisi terakhir- Dia keempat.

Metode akhir

Cara penyelesaian ini adalah semacam metode penalaran dan sangat bagus untuk masalah di mana kita mengetahui hasil dari tindakan tertentu, dan pertanyaannya adalah mengembalikan gambaran aslinya.

Nenek memanggang bagel untuk ketiga cucunya dan meninggalkannya di atas meja. Kolya berlari untuk makan dulu. Saya menghitung semua bagel, mengambil bagian saya dan melarikan diri.
Anya datang ke rumah kemudian. Dia tidak tahu bahwa Kolya telah mengambil bagel, menghitungnya dan, membaginya menjadi tiga, mengambil bagiannya.
Yang ketiga datang Gena, yang juga membagi sisa kue menjadi tiga dan mengambil bagiannya.
Ada 8 bagel yang tersisa di atas meja.

Dari delapan bagel yang tersisa, berapa banyak yang harus dimakan setiap orang agar mereka semua makan sama rata?

Keputusan:

Mari kita mulai diskusi dari akhir.
Gena meninggalkan 8 bagel untuk Anya dan Kolya (4 untuk masing-masing). Ternyata dia sendiri makan 4 bagel: 8 + 4 = 12.
Anya meninggalkan 12 bagel untuk saudara-saudara (masing-masing 6). Jadi dia sendiri makan 6 buah: 12 + 6 = 18.
Kolya meninggalkan 18 bagel untuk para pria. Jadi dia makan 9 sendiri: 18 + 9 = 27.

Nenek meletakkan 27 bagel di atas meja, berharap semua orang akan mendapatkan 9 buah. Karena Kolya sudah makan bagiannya, Anya harus makan 3 dan Gena harus makan 5 bagel.

Memecahkan Masalah Logika Menggunakan Tabel Kebenaran

Inti dari metode ini adalah untuk memperbaiki kondisi masalah dan hasil penalaran dalam tabel yang disusun khusus untuk masalah tersebut. Bergantung pada apakah pernyataan itu benar atau salah, sel-sel tabel yang sesuai diisi dengan tanda "+" dan "-" atau "1" dan "0".

Tiga atlet ( merah , biru dan hijau) bermain basket.
Ketika bola berada di keranjang, si merah berseru: "Bolanya dicetak oleh si biru."
Biru keberatan: "Hijau mencetak bola."
Zeleny berkata, "Saya tidak mencetak gol."

Siapa yang mencetak bola jika hanya salah satu dari ketiganya yang berbohong?

Keputusan:

Pertama, sebuah tabel dikompilasi: di sebelah kiri, mereka menuliskan semua pernyataan yang terkandung dalam kondisi, dan di atas - opsi yang memungkinkan tanggapan.

Kemudian tabel diisi secara berurutan: pernyataan yang benar tandai dengan tanda “+”, dan pernyataan yang salah dengan tanda “-”.

Pertimbangkan opsi jawaban pertama (“bola dilempar merah"), menganalisis pernyataan yang ditulis di sebelah kiri, dan mengisi pertama kolom.
Berdasarkan asumsi kami (“bola dilempar merah"), pernyataan "bola dilempar dengan warna biru" adalah bohong. Kami memasukkan sel "-".
Pernyataan "bola mencetak gol hijau" juga bohong. Kami mengisi sel dengan tanda "-".
Pernyataan hijau "Saya tidak mencetak gol" adalah benar. Kami memasukkan sel "+".

Pertimbangkan jawaban kedua (anggaplah bahwa bola dilempar hijau) dan isi kedua kolom.
Pernyataan "Biru telah melempar bola" adalah bohong. Kami memasukkan sel "-".
Pernyataan "bola mencetak hijau « - kebenaran. Isi sel dengan tanda "+".
Pernyataan hijau "Saya tidak mencetak gol" adalah bohong. Kami memasukkan sel "-".

Dan akhirnya, opsi ketiga: anggaplah "bola dilempar" biru«.
Kemudian pernyataan “bola yang dilempar berwarna biru « - kebenaran. Kami memasukkan sel "+".
Pernyataan "bola mencetak gol hijau" adalah bohong. Kami mengisi sel dengan tanda "-". Pernyataan hijau "Saya tidak mencetak gol" adalah benar. Kami memasukkan sel "+".

Karena, menurut kondisinya, hanya satu dari tiga orang yang berbohong, di tabel yang sudah selesai kami memilih opsi jawaban seperti itu, di mana itu akan hanya satu pernyataan salah (pada kolom satu tanda "-"). Kolom ketiga cocok.

Jadi, jawaban yang benar adalah bola itu dilempar oleh si biru.

Metode diagram alur

Metode diagram alur dianggap pilihan terbaik untuk memecahkan masalah penimbangan dan penuangan cairan. Cara alternatif memecahkan masalah jenis ini - metode penghitungan opsi - tidak selalu optimal, dan agak sulit untuk menyebutnya sistemik.

Prosedur penyelesaian masalah dengan menggunakan metode flowchart adalah sebagai berikut:

secara grafis (flowchart) menggambarkan urutan operasi;
menentukan urutan pelaksanaannya;
dalam tabel kami memperbaiki status saat ini.

Lebih lanjut tentang ini dan cara lain untuk memecahkan masalah logis dengan contoh dan deskripsi solusi, kami beri tahu di kursus penuh LogicLike pada pengembangan pemikiran logis.

Tebak yang paling banyak dikumpulkan khusus untuk pembaca reguler blog kami dan siswa LogicLike, selesaikan masalah logika online bersama ribuan anak-anak dan orang dewasa!

Rata-rata pendidikan umum

jalur UMK G.K. Muravina. Aljabar dan permulaan analisis matematis(10-11) (dalam)

Jalur UMK Merzlyak. Aljabar dan Awal Analisis (10-11) (U)

Matematika

Persiapan untuk ujian matematika (tingkat profil): tugas, solusi, dan penjelasan

Kami menganalisis tugas dan memecahkan contoh dengan guru

kertas ujian tingkat profil berlangsung 3 jam 55 menit (235 menit).

Ambang Minimum- 27 poin.

Kertas ujian terdiri dari dua bagian, yang berbeda dalam isi, kompleksitas dan jumlah tugas.

Fitur yang menentukan dari setiap bagian dari pekerjaan adalah bentuk tugas:

bagian 1 berisi 8 tugas (tugas 1-8) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir;
bagian 2 berisi 4 tugas (tugas 9-12) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir dan 7 tugas (tugas 13-19) dengan jawaban terperinci (catatan lengkap keputusan dengan alasan untuk tindakan yang dilakukan).

Panova Svetlana Anatolievna, guru matematika kategori tertinggi sekolah, 20 tahun pengalaman kerja:

“Untuk menerima sertifikat sekolah, seorang lulusan harus lulus dua ujian wajib di GUNAKAN formulir, salah satunya adalah matematika. Sesuai dengan Konsep Pembangunan pendidikan matematika di Federasi Rusia USE dalam matematika dibagi menjadi dua tingkatan: dasar dan khusus. Hari ini kami akan mempertimbangkan opsi untuk tingkat profil.

Tugas nomor 1- cek dengan peserta GUNAKAN keterampilan menerapkan keterampilan yang diperoleh selama kelas 5-9 dalam matematika dasar, di kegiatan praktikum. Peserta harus memiliki kemampuan komputasi, dapat bekerja dengan bilangan rasional, dapat membulatkan desimal dapat mengkonversi satu unit pengukuran ke yang lain.

Contoh 1 Pengukur pengeluaran dipasang di apartemen tempat Petr tinggal air dingin(menangkal). Pada 1 Mei, meter menunjukkan konsumsi 172 meter kubik. m air, dan pada tanggal 1 Juni - 177 meter kubik. m. Berapa jumlah yang harus dibayar Peter untuk air dingin bulan Mei, jika harga 1 cu. m air dingin adalah 34 rubel 17 kopecks? Berikan jawaban Anda dalam rubel.

Keputusan:

1) Temukan jumlah air yang dihabiskan per bulan:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Temukan berapa banyak uang yang akan dibayarkan untuk air yang dihabiskan:

34,17 5 = 170,85 (gosok)

Menjawab: 170,85.

Tugas nomor 2- adalah salah satu tugas paling sederhana dari ujian. Mayoritas lulusan berhasil mengatasinya, yang menunjukkan kepemilikan definisi konsep fungsi. Jenis tugas No. 2 menurut pengkode persyaratan adalah tugas untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dalam kegiatan praktis dan Kehidupan sehari-hari. Tugas nomor 2 terdiri dari deskripsi menggunakan fungsi berbagai ketergantungan nyata antara kuantitas dan interpretasi grafik mereka. Tugas nomor 2 menguji kemampuan untuk mengekstrak informasi yang disajikan dalam tabel, diagram, grafik. Lulusan harus mampu menentukan nilai suatu fungsi dengan nilai argumen ketika berbagai cara mendefinisikan fungsi dan menggambarkan perilaku dan sifat-sifat fungsi menurut grafiknya. Hal ini juga diperlukan untuk dapat menemukan maksimum atau nilai terkecil dan membuat grafik dari fungsi yang dipelajari. Kesalahan yang dilakukan bersifat acak dalam membaca kondisi soal, membaca diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Contoh 2 Angka tersebut menunjukkan perubahan nilai tukar satu saham perusahaan pertambangan pada semester I-April 2017. Pada 7 April, pengusaha itu membeli 1.000 saham perusahaan ini. Pada 10 April, ia menjual tiga perempat saham yang dibeli, dan pada 13 April ia menjual semua sisanya. Berapa kerugian yang dialami pengusaha sebagai akibat dari operasi ini?

Keputusan:

2) 1000 3/4 = 750 (saham) - merupakan 3/4 dari semua saham yang dibeli.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubel) - pengusaha menerima setelah penjualan 1000 saham.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rubel) - pengusaha hilang sebagai akibat dari semua operasi.

Menjawab: 15000.

Tugas nomor 3- adalah tugas level dasar bagian pertama, menguji kemampuan untuk melakukan tindakan dengan bentuk geometris pada isi kursus "Planimetri". Dalam tugas 3, kemampuan menghitung luas gambar pada kertas kotak-kotak, kemampuan menghitung ukuran derajat sudut, menghitung keliling, dll.

Contoh 3 Temukan luas persegi panjang yang digambar di atas kertas kotak-kotak dengan ukuran sel 1 cm kali 1 cm (lihat gambar). Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Keputusan: Untuk menghitung luas dari gambar ini, Anda dapat menggunakan rumus Puncak:

Untuk menghitung luas persegi panjang yang diberikan Mari kita gunakan rumus Pick:

S= B +	G
	2

di mana V = 10, G = 6, oleh karena itu

S = 18 +	6
	2

Menjawab: 20.

Lihat juga: Ujian Negara Bersatu dalam Fisika: memecahkan masalah getaran

Tugas nomor 4- tugas mata kuliah "Teori Probabilitas dan Statistik". Kemampuan untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa dalam situasi yang paling sederhana diuji.

Contoh 4 Ada 5 titik merah dan 1 titik biru pada lingkaran. Tentukan poligon mana yang lebih besar: poligon dengan semua simpul merah, atau poligon dengan salah satu simpul biru. Dalam jawaban Anda, tunjukkan berapa lebih banyak dari yang satu daripada yang lain.

Keputusan: 1) Kami menggunakan rumus untuk jumlah kombinasi dari n elemen oleh k:

yang semua simpulnya berwarna merah.

3) Satu segi lima dengan semua simpul merah.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligon dengan semua simpul merah.

yang simpulnya berwarna merah atau dengan satu simpul berwarna biru.

8) Satu segi enam yang simpulnya berwarna merah dengan satu simpul berwarna biru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligon yang memiliki semua simpul merah atau satu simpul biru.

10) 42 - 16 = 26 poligon yang menggunakan titik biru.

11) 26 - 16 = 10 poligon - berapa banyak poligon, di mana salah satu simpulnya adalah titik biru, lebih dari poligon, di mana semua simpulnya hanya berwarna merah.

Menjawab: 10.

Tugas nomor 5- tingkat dasar bagian pertama menguji kemampuan untuk memecahkan persamaan paling sederhana (irasional, eksponensial, trigonometri, logaritma).

Contoh 5 Selesaikan Persamaan 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Keputusan. Bagi kedua ruas persamaan ini dengan 5 3 + X 0, kita dapatkan

2 3 + x	= 0,4 atau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

dari mana hasilnya 3 + x = 1, x = –2.

Menjawab: –2.

Tugas nomor 6 dengan planimetri untuk menemukan besaran geometris(panjang, sudut, luas), pemodelan situasi nyata dalam bahasa geometri. Studi model yang dibangun menggunakan konsep geometris dan teorema. Sumber kesulitan biasanya adalah ketidaktahuan atau penyalahgunaan teorema planimetri yang diperlukan.

Luas segitiga ABC sama dengan 129. DE- garis tengah, sisi sejajar AB. Cari luas trapesium TEMPAT TIDUR.

Keputusan. Segi tiga CDE mirip segitiga TAKSI di dua sudut, karena sudut di simpul C umum, sudut CDE sama dengan sudut TAKSI sebagai sudut yang sesuai pada DE || AB garis potong AC. Sebagai DE adalah garis tengah segitiga dengan kondisi, kemudian dengan properti garis tengah | DE = (1/2)AB. Jadi koefisien kemiripannya adalah 0,5. kotak angka serupa terkait sebagai kuadrat dari koefisien kesamaan, jadi

Karena itu, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tugas nomor 7- memeriksa penerapan turunan untuk mempelajari fungsi. Untuk implementasi yang sukses kepemilikan, non-formal yang bermakna dari konsep turunan diperlukan.

Contoh 7 Ke grafik fungsi kamu = f(x) pada titik dengan absis x 0 sebuah garis singgung ditarik, yang tegak lurus terhadap garis lurus yang melalui titik-titik (4; 3) dan (3; -1) dari grafik ini. Menemukan f′( x 0).

Keputusan. 1) Kami menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua poin yang diberikan dan tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4; 3) dan (3; -1).

(kamu – kamu 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(kamu 2 – kamu 1)

(kamu – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(kamu – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–kamu + 3 = –4x+ 16| · (-satu)

kamu – 3 = 4x – 16

kamu = 4x– 13, dimana k 1 = 4.

2) Temukan kemiringan garis singgung k 2 yang tegak lurus dengan garis kamu = 4x– 13, dimana k 1 = 4, menurut rumus:

3) Lereng tangen - turunan dari fungsi pada titik kontak. Cara, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Menjawab: –0,25.

Tugas nomor 8- memeriksa pengetahuan stereometri dasar di antara peserta ujian, kemampuan untuk menerapkan rumus untuk menemukan luas permukaan dan volume gambar, sudut dihedral, membandingkan volume bangun yang serupa, dapat melakukan tindakan dengan bangun geometris, koordinat dan vektor, dll.

Volume sebuah kubus yang dibatasi di sekitar bola adalah 216. Temukan jari-jari bola.

Keputusan. 1) V kubus = sebuah 3 (di mana sebuah adalah panjang rusuk kubus), jadi

sebuah 3 = 216

sebuah = 3 √216

2) Karena bola dimasukkan ke dalam kubus, itu berarti panjang diameter bola sama dengan panjang tepi kubus, oleh karena itu d = sebuah, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tugas nomor 9- mengharuskan lulusan untuk mengubah dan menyederhanakan ekspresi aljabar. Tugas nomor 9 tingkat Lanjut Kesulitan dengan jawaban singkat. Tugas dari bagian "Perhitungan dan transformasi" di USE dibagi menjadi beberapa jenis:

konversi numerik ekspresi rasional;

transformasi ekspresi dan pecahan aljabar;

konversi numerik/abjad ekspresi irasional;

tindakan dengan derajat;

transformasi ekspresi logaritma;

konversi ekspresi trigonometri numerik/huruf.

Contoh 9 Hitung tgα jika diketahui cos2α = 0,6 dan

3π	< α < π.
4

Keputusan. 1) Mari kita gunakan rumus argumen ganda: cos2α = 2 cos 2 – 1 dan cari

tan 2 =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2		0,8		8		4		4		4

Jadi, tan 2 = ± 0,5.

3) Dengan kondisi

3π	< α < π,
4

maka adalah sudut dari kuartal kedua dan tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Menjawab: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tugas nomor 10- memeriksa kemampuan siswa untuk menggunakan yang diperoleh pengetahuan awal dan keterampilan dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari. Kita dapat mengatakan bahwa ini adalah masalah dalam fisika, dan bukan dalam matematika, tetapi semuanya rumus yang diperlukan dan nilai diberikan dalam kondisi. Masalah direduksi menjadi penyelesaian linier atau persamaan kuadrat, baik linier atau pertidaksamaan kuadrat. Oleh karena itu, diperlukan kemampuan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan tersebut, serta menentukan jawabannya. Jawabannya harus dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan desimal akhir.

Dua benda bermassa m= masing-masing 2 kg, bergerak dengan kecepatan yang sama v= 10 m/s membentuk sudut 2α satu sama lain. Energi (dalam joule) yang dilepaskan selama tumbukan lenting mutlak ditentukan oleh persamaan Q = mv 2 dosa 2 . Pada sudut terkecil 2α (dalam derajat) berapakah benda harus bergerak sehingga setidaknya 50 joule dilepaskan sebagai akibat dari tumbukan?
Keputusan. Untuk menyelesaikan masalah, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan Q 50, pada interval 2α (0 °; 180 °).

mv 2 dosa 2 50

2 10 2 dosa 2 50

200 sin2α 50

Karena (0 °; 90 °), kami hanya akan menyelesaikan

Kami mewakili solusi dari ketidaksetaraan secara grafis:

Karena dengan asumsi α ∈ (0°; 90°), berarti 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tugas nomor 11- khas, tetapi ternyata sulit bagi siswa. Sumber utama kesulitan adalah konstruksi model matematika (membuat persamaan). Tugas nomor 11 menguji kemampuan memecahkan masalah kata.

Contoh 11. pada musim semi Vasya kelas 11 harus menyelesaikan 560 masalah pelatihan untuk mempersiapkan ujian. Pada 18 Maret, pada hari terakhir sekolah, Vasya memecahkan 5 masalah. Kemudian setiap hari dia memecahkan jumlah masalah yang sama lebih banyak dari hari sebelumnya. Tentukan berapa banyak masalah yang diselesaikan Vasya pada 2 April di hari terakhir liburan.

Keputusan: Menunjukkan sebuah 1 = 5 - jumlah tugas yang diselesaikan Vasya pada 18 Maret d– jumlah tugas harian yang diselesaikan oleh Vasya, n= 16 - jumlah hari dari 18 Maret hingga 2 April inklusif, S 16 = 560 – total tugas, sebuah 16 - jumlah tugas yang diselesaikan Vasya pada 2 April. Mengetahui bahwa setiap hari Vasya menyelesaikan jumlah tugas yang sama lebih banyak dari hari sebelumnya, maka Anda dapat menggunakan rumus untuk menemukan jumlahnya deret aritmatika:

560 = (5 + sebuah 16) 8,

5 + sebuah 16 = 560: 8,

5 + sebuah 16 = 70,

sebuah 16 = 70 – 5

sebuah 16 = 65.

Menjawab: 65.

Tugas nomor 12- memeriksa kemampuan siswa untuk melakukan tindakan dengan fungsi, dapat menerapkan turunan untuk mempelajari fungsi.

Tentukan titik maksimum dari suatu fungsi kamu= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Keputusan: 1) Temukan domain dari fungsi: x + 9 > 0, x> –9, yaitu x (–9; ).

2) Temukan turunan dari fungsi:

4) Titik yang ditemukan termasuk dalam interval (–9; ). Kami mendefinisikan tanda-tanda turunan dari fungsi dan menggambarkan perilaku fungsi pada gambar:

Titik maksimum yang diinginkan x = –8.

Download gratis program kerja matematika jalur UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Unduh manual aljabar gratis

Tugas nomor 13- peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, yang menguji kemampuan untuk memecahkan persamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dari tingkat kerumitan yang meningkat.

a) Selesaikan persamaan 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Temukan semua akar persamaan ini, milik segmen.

Keputusan: a) Biarkan log 3 (2cos x) = t, lalu 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

log3(2cos x) =	2	⇔	2cos x = 9	⇔	karena x =	4,5	karena \| karena x\| ≤ 1,

log3(2cos x) =	1		2cos x = √3		karena x =	√3
	2					2

lalu karena x =	√3
	2

x =	π	+ 2π k
	6

x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
	6

b) Temukan akar-akar yang terletak pada ruas tersebut.

Dapat dilihat dari gambar bahwa segmen yang diberikan milik akar

11	dan	13	.
6		6

Menjawab: sebuah)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11	;	13	.
	6		6		6		6

Tugas nomor 14- tingkat lanjutan mengacu pada tugas bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas menguji kemampuan untuk melakukan tindakan dengan bentuk geometris. Tugas berisi dua item. Pada alinea pertama, tugas harus dibuktikan, dan pada alinea kedua harus dihitung.

Diameter lingkaran alas silinder adalah 20, generatrix silinder adalah 28. Bidang memotong alasnya sepanjang tali busur dengan panjang 12 dan 16. Jarak antara tali busur adalah 2√197.

a) Buktikan bahwa pusat alas silinder terletak pada sisi yang sama pada bidang ini.

b) Tentukan sudut antara bidang ini dan bidang alas silinder.

Keputusan: a) Tali busur dengan panjang 12 berada pada jarak = 8 dari pusat lingkaran alas, dan tali busur dengan panjang 16, demikian pula, berada pada jarak 6. Oleh karena itu, jarak antara proyeksi mereka pada bidang yang sejajar dengan alas silinder adalah 8 + 6 = 14, atau 8 6 = 2.

Maka jarak antar akord adalah

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Menurut kondisi, kasus kedua terwujud, di mana proyeksi akord terletak di satu sisi sumbu silinder. Jadi sumbunya tidak berpotongan diberikan pesawat di dalam silinder, yaitu alasnya terletak di satu sisinya. Yang perlu dibuktikan.

b) Mari kita nyatakan pusat-pusat basa sebagai O 1 dan O 2. Mari kita menggambar dari pusat alas dengan tali dengan panjang 12 garis-bagi yang tegak lurus dengan tali busur ini (memiliki panjang 8, seperti yang telah dicatat) dan dari pusat alas lainnya ke tali busur lainnya. Mereka terletak pada bidang yang sama tegak lurus terhadap akord ini. Sebut saja titik tengah tali busur yang lebih kecil B, lebih besar dari A, dan proyeksi A ke pangkalan kedua H (H ). Maka AB,AH dan, oleh karena itu, AB,AH tegak lurus terhadap tali busur, yaitu garis perpotongan alas dengan bidang yang diberikan.

Jadi sudut yang dibutuhkan adalah

ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Tugas nomor 15- tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban terperinci, memeriksa kemampuan untuk memecahkan ketidaksetaraan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dari tingkat kerumitan yang meningkat.

Contoh 15 Selesaikan pertidaksamaan | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Keputusan: Domain definisi pertidaksamaan ini adalah interval (-1; +∞). Pertimbangkan tiga kasus secara terpisah:

1) Biarkan x 2 – 3x= 0, yaitu X= 0 atau X= 3. Dalam hal ini, ketidaksamaan ini menjadi benar, oleh karena itu, nilai-nilai ini termasuk dalam solusi.

2) Biarkan sekarang x 2 – 3x> 0, yaitu x(-1; 0) (3; +∞). Dalam hal ini, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 dan dibagi dengan ekspresi positif x 2 – 3x. Kami mendapatkan log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x 0,5 -1 atau x-0,5. Dengan mempertimbangkan domain definisi, kami memiliki x ∈ (–1; –0,5].

3) Akhirnya, pertimbangkan x 2 – 3x < 0, при этом x(0; 3). Dalam hal ini, pertidaksamaan asli akan ditulis ulang dalam bentuk (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Setelah membagi dengan ekspresi positif 3 x – x 2 , kita mendapatkan log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x 1. Dengan mempertimbangkan area, kami memiliki x ∈ (0; 1].

Menggabungkan solusi yang diperoleh, kami memperoleh x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Menjawab: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tugas nomor 16- tingkat lanjutan mengacu pada tugas bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas menguji kemampuan untuk melakukan tindakan dengan bentuk geometris, koordinat dan vektor. Tugas berisi dua item. Pada alinea pertama, tugas harus dibuktikan, dan pada alinea kedua harus dihitung.

PADA segitiga sama kaki ABC dengan sudut 120° di simpul A, dibuat garis bagi BD. PADA segitiga ABC persegi panjang DEFH ditulis sedemikian sehingga sisi FH terletak pada ruas BC dan simpul E terletak pada ruas AB. a) Buktikan bahwa FH = 2DH. b) Tentukan luas persegi panjang DEFH jika AB = 4.

Keputusan: sebuah)

1) BEF - persegi panjang, EF⊥BC, B = (180° - 120°) : 2 = 30°, maka EF = BE karena sifat kaki yang berhadapan dengan sudut 30°.

2) Misalkan EF = DH = x, maka BE = 2 x, BF = x 3 oleh teorema Pythagoras.

3) Sejak ABC sama kaki, jadi B = C = 30˚.

BD adalah garis bagi B, jadi ABD = DBC = 15˚.

4) Pertimbangkan DBH - persegi panjang, karena DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – x
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - 3

2) S DEFH = ED EF = (3 - 3 ) 2(3 - 3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Menjawab: 24 – 12√3.

Tugas nomor 17- tugas dengan jawaban rinci, tugas ini menguji penerapan pengetahuan dan keterampilan dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari, kemampuan membangun dan mengeksplorasi model matematika. Tugas ini - tugas teks dengan kandungan ekonomi.

Contoh 17. Setoran dalam jumlah 20 juta rubel direncanakan akan dibuka selama empat tahun. Setiap akhir tahun, bank meningkatkan simpanan sebesar 10% dibandingkan dengan besarnya di awal tahun. Selain itu, pada awal tahun ketiga dan keempat, deposan setiap tahun mengisi kembali depositnya dengan: X juta rubel, di mana X - utuh nomor. Menemukan nilai tertinggi X, di mana bank akan menambahkan kurang dari 17 juta rubel ke deposit dalam empat tahun.

Keputusan: Pada akhir tahun pertama, kontribusinya akan menjadi 20 + 20 · 0,1 = 22 juta rubel, dan pada akhir tahun kedua - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 juta rubel. Pada awal tahun ketiga, kontribusi (dalam juta rubel) akan menjadi (24,2 + X), dan pada akhirnya - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Pada awal tahun keempat, kontribusinya adalah (26,62 + 2,1 .) X), dan pada akhirnya - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Dengan syarat, Anda perlu menemukan bilangan bulat terbesar x yang pertidaksamaannya

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Solusi bilangan bulat terbesar untuk pertidaksamaan ini adalah angka 24.

Menjawab: 24.

Tugas nomor 18- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban terperinci. Tugas ini untuk seleksi kompetitif universitas dengan persyaratan yang lebih tinggi persiapan matematika pelamar. Latihan level tinggi kompleksitas bukanlah tugas untuk menerapkan satu metode solusi, tetapi untuk kombinasi metode yang berbeda. Untuk berhasil menyelesaikan tugas 18, selain pengetahuan matematika yang solid, budaya matematika tingkat tinggi juga diperlukan.

apa sebuah sistem ketidaksetaraan

	x 2 + kamu 2 ≤ 2ay – sebuah 2 + 1

	kamu + sebuah ≤ \|x\| – sebuah

memiliki tepat dua solusi?

Keputusan: Sistem ini dapat ditulis ulang sebagai

	x 2 + (kamu– sebuah) 2 ≤ 1

	kamu ≤ \|x\| – sebuah

Jika kita menggambar himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama pada bidang tersebut, kita mendapatkan bagian dalam lingkaran (dengan batas) berjari-jari 1 yang berpusat di titik (0, sebuah). Himpunan solusi dari pertidaksamaan kedua adalah bagian dari bidang yang terletak di bawah grafik fungsi kamu = | x| – sebuah, dan yang terakhir adalah grafik fungsi
kamu = | x| , digeser ke bawah sebesar sebuah. Penyelesaian dari sistem ini adalah perpotongan himpunan solusi dari setiap pertidaksamaan.

Oleh karena itu, dua solusi sistem ini akan memiliki hanya dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. satu.

Titik kontak antara lingkaran dan garis akan menjadi dua solusi dari sistem. Masing-masing garis lurus miring ke sumbu dengan sudut 45°. Jadi segitiga PQR- persegi panjang sama kaki. Dot Q memiliki koordinat (0, sebuah), dan titik R– koordinat (0, – sebuah). Selain itu, pemotongan PR dan PQ sama dengan jari-jari lingkaran sama dengan 1. Oleh karena itu,

QR= 2sebuah = √2, sebuah =	√2	.
	2

Menjawab: sebuah =	√2	.
	2

Tugas nomor 19- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban terperinci. Tugas ini ditujukan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Tugas dengan tingkat kerumitan yang tinggi bukanlah tugas untuk menerapkan satu metode solusi, tetapi untuk kombinasi metode yang berbeda. Untuk berhasil menyelesaikan tugas 19, Anda harus dapat mencari solusi dengan memilih pendekatan yang berbeda dari antara yang dikenal, memodifikasi metode yang dipelajari.

Biarlah sn jumlah P anggota barisan aritmatika ( sebuah p). Diketahui bahwa S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a.Berikan rumusnya P anggota perkembangan ini.

b) Temukan jumlah modulo terkecil S n.

c. Carilah yang terkecil P, di mana S n akan menjadi kuadrat dari bilangan bulat.

Keputusan: a) Jelas, sebuah = S n – S n- satu . Menggunakan rumus ini, kita mendapatkan:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

cara, sebuah = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) karena S n = 2n 2 – 25n, kemudian perhatikan fungsi S(x) = | 2x 2 – 25x|. Grafik nya dapat dilihat pada gambar.

Jelas bahwa nilai terkecil dicapai pada titik-titik bilangan bulat yang terletak paling dekat dengan nol dari fungsi tersebut. Jelas ini adalah poin. X= 1, X= 12 dan X= 13. Karena, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, maka nilai terkecil adalah 12.

c) Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa sn positif sejak n= 13. Karena S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), maka kasus yang jelas ketika ekspresi yang diberikan adalah kuadrat sempurna, diwujudkan ketika n = 2n- 25, yaitu dengan P= 25.

Tetap memeriksa nilai dari 13 hingga 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ternyata untuk nilai yang lebih kecil P persegi penuh tidak tercapai.

Menjawab: sebuah) sebuah = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sejak Mei 2017, grup penerbitan bersama "DROFA-VENTANA" telah menjadi bagian dari korporasi " Buku teks Rusia". Korporasi juga termasuk penerbit Astrel dan digital platform pendidikan"lekta". CEO ditunjuk Alexander Brychkin, lulusan Akademi Keuangan di bawah Pemerintah Federasi Rusia, kandidat ilmu ekonomi, pengawas proyek inovatif Penerbit DROFA di bidang pendidikan digital ( formulir elektronik buku teks, "Sekolah Elektronik Rusia", platform pendidikan digital LECTA). Sebelum bergabung dengan penerbit DROFA, ia menjabat sebagai Wakil Presiden untuk Pengembangan Strategis dan Investasi dari induk penerbitan EKSMO-AST. Saat ini, Perusahaan Penerbitan Buku Teks Rusia memiliki portofolio buku teks terbesar yang termasuk dalam daftar federal- 485 judul (sekitar 40%, tidak termasuk buku teks untuk sekolah remedial). Penerbitan korporasi memiliki yang paling populer sekolah Rusia kumpulan buku teks fisika, menggambar, biologi, kimia, teknologi, geografi, astronomi - bidang pengetahuan yang diperlukan untuk mengembangkan potensi produksi negara. Portofolio perusahaan termasuk buku teks dan panduan belajar untuk sekolah dasar dianugerahi Penghargaan Presiden dalam Pendidikan. Ini adalah buku teks dan manual tentang bidang studi yang diperlukan untuk pengembangan potensi ilmiah, teknis, dan industri Rusia.

Solusi untuk masalah biasanya turun ke penalaran logis dan perhitungan untuk menemukan nilai suatu besaran. Misalnya, menemukan kecepatan, waktu, jarak, massa suatu benda atau jumlah sesuatu.

Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan. Untuk melakukan ini, nilai yang diinginkan dilambangkan melalui variabel, kemudian, dengan penalaran logis, mereka menyusun dan memecahkan persamaan. Setelah menyelesaikan persamaan, mereka memeriksa apakah solusi persamaan memenuhi kondisi masalah.

Isi pelajaran

Menulis Ekspresi yang Mengandung Yang Tidak Diketahui

Penyelesaian masalah disertai dengan penyusunan persamaan untuk masalah ini. pada tahap awal mempelajari masalah, diinginkan untuk belajar bagaimana mengarang ekspresi literal menggambarkan satu atau lain situasi hidup. Tahap ini tidak sulit dan dapat dipelajari dalam proses pemecahan masalah itu sendiri.

Pertimbangkan beberapa situasi yang dapat ditulis menggunakan ekspresi matematika.

Tugas 1. usia ayah x bertahun-tahun. Ibu dua tahun lebih muda. Putra lebih muda dari ayah 3 kali. Catat usia masing-masing menggunakan ekspresi.

Keputusan:

Tugas 2. usia ayah x tahun, ibu 2 tahun lebih muda dari ayah. Anak laki-laki 3 kali lebih muda dari ayah, anak perempuan 3 kali lebih muda dari ibu. Catat usia masing-masing menggunakan ekspresi.

Keputusan:

Tugas 3. usia ayah x tahun, ibu 3 tahun lebih muda dari ayah. Anak laki-laki 3 kali lebih muda dari ayah, anak perempuan 3 kali lebih muda dari ibu. Berapa umur masing-masing? usia umum ayah, ibu, putra dan putri berusia 92 tahun?

Keputusan:

Dalam soal ini, selain menulis ekspresi, perlu juga menghitung usia setiap anggota keluarga.

Pertama, kami menuliskan usia setiap anggota keluarga menggunakan ekspresi. Per variabel x mari kita ambil usia ayah, dan kemudian menggunakan variabel ini kita akan menyusun ekspresi yang tersisa:

Sekarang mari kita tentukan usia setiap anggota keluarga. Untuk melakukan ini, kita perlu menulis dan menyelesaikan persamaan. Kami memiliki semua komponen persamaan siap. Tetap hanya untuk mengumpulkan mereka bersama.

Jumlah umur 92 tahun diperoleh dengan menjumlahkan umur ayah, ibu, anak laki-laki dan anak perempuan:

Untuk setiap usia, kami memiliki ekspresi matematika. Ekspresi ini akan menjadi komponen persamaan kita. Mari kita kumpulkan persamaan kita sesuai dengan skema ini dan tabel yang diberikan di atas. Artinya, kata ayah, ibu, putra, putri akan diganti dengan ekspresi yang sesuai dengannya di tabel:

Ekspresi untuk usia ibu x 3 untuk kejelasan, itu diambil dalam tanda kurung.

Sekarang mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan. Untuk memulainya, Anda dapat membuka tanda kurung jika memungkinkan:

Untuk membebaskan persamaan dari pecahan, kalikan kedua ruas dengan 3

Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan menggunakan diketahui transformasi identik:

Kami menemukan nilai variabel x. Variabel ini bertanggung jawab untuk usia ayah. Jadi umur ayah adalah 36 tahun.

Mengetahui usia ayah, Anda dapat menghitung usia anggota keluarga lainnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti nilai variabel x dalam ekspresi yang bertanggung jawab untuk usia anggota keluarga tertentu.

Dalam soal tersebut, dikatakan bahwa sang ibu lebih muda 3 tahun dari sang ayah. Kami menunjukkan usianya melalui ekspresi x−3. Nilai variabel x sekarang diketahui, dan untuk menghitung usia ibu, perlu dalam ekspresi x 3 alih-alih x gantikan nilai yang ditemukan 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d ibu berusia 33 tahun.

Demikian pula, usia anggota keluarga yang tersisa ditentukan:

Penyelidikan:

Tugas 4. Satu kilogram apel bernilai x rubel. Tuliskan ekspresi yang menghitung berapa kilogram apel yang dapat Anda beli seharga 300 rubel.

Keputusan

Jika satu kilogram apel berharga x rubel, maka untuk 300 rubel Anda dapat membeli satu kilogram apel.

Contoh. Satu kilogram apel berharga 50 rubel. Kemudian untuk 300 rubel Anda dapat membeli, yaitu 6 kilogram apel.

Tugas 5. pada x rubel, 5 kg apel dibeli. Tuliskan ekspresi yang menghitung berapa rubel biaya satu kilogram apel.

Keputusan

Jika untuk 5 kg apel dibayar x rubel, maka satu kilogram akan dikenakan biaya rubel

Contoh. Untuk 300 rubel, 5 kg apel dibeli. Maka satu kilogram apel akan berharga, yaitu 60 rubel.

Tugas 6. Tom, John dan Leo pergi ke kafetaria saat istirahat dan membeli sandwich dan secangkir kopi. Sandwich itu layak? x rubel, dan secangkir kopi - 15 rubel. Tentukan biaya sandwich jika diketahui bahwa 120 rubel dibayarkan untuk semuanya?

Keputusan

Tentu saja, masalah ini sesederhana tiga sen dan dapat diselesaikan tanpa menggunakan persamaan. Untuk melakukan ini, kurangi biaya tiga cangkir kopi (15 × 3) dari 120 rubel, dan bagi hasilnya dengan 3

Tetapi tujuan kami adalah menulis persamaan untuk masalah dan menyelesaikan persamaan ini. Jadi biaya sandwich x rubel. Membeli hanya tiga. Jadi, setelah tiga kali lipat biayanya, kami mendapatkan ekspresi yang menjelaskan berapa banyak rubel yang dibayarkan untuk tiga sandwich

3x - biaya tiga sandwich

Dan biaya tiga cangkir kopi dapat ditulis sebagai 15 × 3. 15 adalah biaya satu cangkir kopi, dan 3 adalah pengganda (Tom, John dan Leo) yang melipatgandakan biaya ini.

Menurut kondisi masalahnya, 120 rubel dibayarkan untuk semuanya. Kami sudah memiliki skema teladan, Apa yang harus kita lakukan:

Kami sudah memiliki ekspresi yang menggambarkan biaya tiga sandwich dan tiga cangkir kopi. Ini adalah ekspresi 3 x dan 15×3. Menggunakan skema, kami akan menulis persamaan dan menyelesaikannya:

Jadi, biaya satu sandwich adalah 25 rubel.

Masalahnya diselesaikan dengan benar hanya jika persamaan untuk itu dikompilasi dengan benar. Tidak seperti persamaan biasa, yang dengannya kita belajar menemukan akar, persamaan untuk memecahkan masalah memiliki aplikasi spesifiknya sendiri. Setiap komponen dari persamaan tersebut dapat dijelaskan dalam bentuk lisan. Saat menyusun persamaan, sangat penting untuk memahami mengapa kita memasukkan satu atau komponen lain dalam komposisinya dan mengapa itu diperlukan.

Perlu juga diingat bahwa persamaan tersebut adalah persamaan, setelah diselesaikan ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. Persamaan yang dihasilkan tidak boleh bertentangan dengan ide ini.

Bayangkan bahwa persamaannya adalah keseimbangan dengan dua mangkuk dan layar yang menunjukkan keadaan keseimbangan.

PADA saat ini layar menunjukkan tanda sama dengan. Jelas mengapa mangkuk kiri sama dengan mangkuk kanan - tidak ada apa pun di mangkuk. Kami menulis keadaan timbangan dan tidak adanya sesuatu di mangkuk menggunakan persamaan berikut:

0 = 0

Mari kita letakkan semangka di skala kiri:

Mangkuk kiri lebih berat daripada mangkuk kanan dan layar membunyikan alarm, menunjukkan tanda tidak sama (≠). Tanda ini menunjukkan bahwa mangkuk kiri tidak sama dengan mangkuk kanan.

Sekarang mari kita coba selesaikan masalahnya. Biarkan diminta untuk mengetahui berapa berat semangka, yang terletak di mangkuk kiri. Tapi bagaimana Anda tahu? Bagaimanapun, timbangan kami dirancang hanya untuk memeriksa apakah mangkuk kiri sama dengan mangkuk kanan.

Persamaan datang untuk menyelamatkan. Ingatlah bahwa menurut definisi persamaannya adalah persamaan A yang berisi variabel yang nilainya ingin Anda temukan. Timbangan dalam hal ini memainkan peran persamaan ini, dan massa semangka adalah variabel yang nilainya harus ditemukan. Tujuan kami adalah untuk mendapatkan persamaan ini dengan benar. Pahami, sejajarkan timbangan sehingga Anda dapat menghitung massa semangka.

Untuk meratakan timbangan, Anda bisa meletakkan beban di mangkuk yang tepat. benda berat. Sebagai contoh, mari kita letakkan beban 7 kg di sana.

Sekarang, sebaliknya, mangkuk kanan lebih berat daripada kiri. Layar masih menunjukkan bahwa mangkuk tidak sama.

Mari kita coba taruh beban 4 kg di mangkuk kiri

Sekarang timbangannya sudah rata. Gambar tersebut menunjukkan bahwa mangkuk kiri berada pada tingkat mangkuk kanan. Dan layar menunjukkan tanda sama dengan. Tanda ini menunjukkan bahwa mangkuk kiri sama dengan mangkuk kanan.

Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan - persamaan yang mengandung yang tidak diketahui. Pan kiri adalah sisi kiri persamaan, terdiri dari 4 komponen dan variabel x(massa semangka), dan mangkuk yang tepat adalah bagian kanan persamaan, terdiri dari komponen 7.

Nah, tidak sulit untuk menebak bahwa akar dari persamaan 4 + x\u003d 7 adalah 3. Jadi massa semangka adalah 3 kg.

Hal yang sama berlaku untuk tugas lainnya. Untuk menemukan beberapa nilai yang tidak diketahui, tambahkan ke kiri atau kanan persamaan berbagai elemen: istilah, faktor, ekspresi. Dalam masalah sekolah, unsur-unsur ini sudah diberikan. Tetap hanya untuk menyusunnya dengan benar dan membangun persamaan. Kami berada di contoh ini terlibat dalam seleksi, mencoba bobot massa yang berbeda untuk menghitung massa semangka.

Secara alami, data yang diberikan dalam masalah harus terlebih dahulu dibawa ke bentuk yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan. Karena itu, seperti yang mereka katakan "Suka atau tidak, kamu harus berpikir".

Pertimbangkan masalah berikut. usia ayah sama dengan umur putra dan putri bersama. Anak laki-laki dibelah dua lebih tua dari putri dan dua puluh tahun lebih muda dari ayahnya. Berapa umur masing-masing?

Umur anak perempuan dapat dinyatakan sebagai x. Jika umur anak laki-laki dua kali umur anak perempuan, maka umurnya adalah 2 x. Kondisi soal mengatakan bahwa secara bersama-sama umur anak perempuan dan anak laki-laki sama dengan umur bapak. Jadi umur ayah dilambangkan dengan jumlah x + 2x

Anda dapat menambahkan istilah seperti dalam ekspresi. Maka usia ayah akan dilambangkan sebagai 3 x

Sekarang mari kita buat persamaan. Kita perlu mendapatkan kesetaraan di mana kita dapat menemukan yang tidak diketahui x. Mari kita gunakan bobot. Di mangkuk kiri kami menempatkan usia ayah (3 x), dan di mangkuk sebelah kanan umur anak laki-laki (2 x)

Jelas mengapa mangkuk kiri lebih berat daripada mangkuk kanan dan mengapa layar menunjukkan tanda (≠) . Lagi pula, adalah logis bahwa usia ayah lebih besar daripada usia putranya.

Tapi kita perlu menyeimbangkan timbangan sehingga kita bisa menghitung yang tidak diketahui x. Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan beberapa nomor ke mangkuk yang tepat. Nomor berapa yang ditunjukkan dalam masalah. Syaratnya, sang anak berusia 20 tahun lebih muda dari sang ayah. Jadi 20 tahun adalah angka yang sama yang perlu dimasukkan ke dalam timbangan.

Timbangan akan merata jika kita menambahkan 20 tahun ini ke sisi kanan timbangan. Dengan kata lain, mari kita naikkan anak ke usia ayah

Sekarang timbangannya sudah rata. Ternyata persamaan , yang mudah dipecahkan:

x kami menandai usia putri. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini. Putri 20 tahun.

Dan akhirnya, kami menghitung usia ayah. Tugas mengatakan bahwa dia sama dengan jumlah usia putra dan putri, yaitu (20 + 40) tahun.

Mari kembali ke tengah tugas dan perhatikan satu hal. Ketika kita menempatkan usia ayah dan usia anak pada skala, mangkuk kiri lebih berat daripada kanan

Tapi kami memecahkan masalah ini dengan menambahkan 20 tahun lagi ke mangkuk yang tepat. Hasilnya, timbangan menjadi rata dan kami mendapatkan kesetaraan

Tapi itu mungkin untuk tidak menambahkan 20 tahun ini ke mangkuk kanan, tetapi kurangi dari kiri. Kami akan mendapatkan kesetaraan dalam hal ini

Kali ini persamaannya adalah . Akar persamaannya masih 20

Yaitu persamaan dan setara. Dan kami ingat itu persamaan setara akar cocok. Jika Anda perhatikan dengan seksama kedua persamaan ini, Anda dapat melihat bahwa persamaan kedua diperoleh dengan memindahkan angka 20 dari ruas kanan ke ruas kiri dengan tanda berlawanan. Dan tindakan ini, seperti yang ditunjukkan dalam pelajaran sebelumnya, tidak mengubah akar persamaan.

Anda juga perlu memperhatikan fakta bahwa pada awal penyelesaian masalah, usia setiap anggota keluarga dapat dilambangkan melalui ekspresi lain.

Katakanlah usia anak dilambangkan dengan x dan karena dia dua lebih tua dari putrinya, maka tentukan usia putrinya melalui (mengerti untuk membuatnya lebih muda dari anak laki-laki dua kali). Dan usia ayah, karena merupakan jumlah usia putra dan putri, dilambangkan melalui ekspresi . Dan akhirnya, untuk membangun persamaan yang benar secara logis, Anda perlu menambahkan angka 20 ke usia anak laki-laki, karena ayahnya dua puluh tahun lebih tua. Hasilnya adalah persamaan yang sama sekali berbeda. . Mari selesaikan persamaan ini

Seperti yang Anda lihat, jawaban atas masalah tidak berubah. Anak saya masih 40 tahun. Anak perempuannya masih berusia tahun, dan ayahnya berusia 40 + 20 tahun.

Dengan kata lain, masalahnya bisa diselesaikan berbagai metode. Oleh karena itu, seseorang tidak boleh putus asa bahwa tidak mungkin untuk memecahkan masalah ini atau itu. Tetapi harus diingat bahwa ada cara sederhana penyelesaian masalah. Anda bisa sampai ke pusat kota berbagai rute, tetapi selalu ada rute yang paling nyaman, tercepat, dan teraman.

Contoh pemecahan masalah

Tugas 1. Ada 30 buku catatan dalam dua bungkus. Jika 2 notebook dipindahkan dari bundel pertama ke bundel kedua, maka akan ada dua kali lebih banyak notebook di bundel pertama daripada di bundel kedua. Berapa banyak buku catatan dalam setiap bungkus?

Keputusan

Dilambangkan dengan x jumlah buku catatan yang ada di paket pertama. Jika ada total 30 buku catatan, dan variabelnya x ini adalah jumlah buku catatan dari paket pertama, maka jumlah buku catatan di paket kedua akan dilambangkan dengan ekspresi 30 x. Yaitu, dari jumlah total notebook, kami mengurangi jumlah notebook dari paket pertama dan dengan demikian memperoleh jumlah notebook dari paket kedua.

dan tambahkan dua buku catatan ini ke paket kedua

Mari kita coba membuat persamaan dari ekspresi yang ada. Kami meletakkan kedua bungkus buku catatan di atas timbangan

Mangkuk kiri lebih berat dari kanan. Ini karena kondisi soal mengatakan bahwa setelah dua notebook diambil dari bundel pertama dan ditempatkan di bundel kedua, jumlah notebook di bundel pertama menjadi dua kali lebih banyak dari yang kedua.

Untuk menyamakan timbangan dan mendapatkan persamaan, gandakan ruas kanan. Untuk melakukan ini, kalikan dengan 2

Ternyata persamaan. Kami akan memutuskan persamaan yang diberikan:

Kami menyatakan paket pertama dengan variabel x. Sekarang kita telah menemukan maknanya. Variabel x sama dengan 22. Jadi ada 22 buku catatan di paket pertama.

Dan kami menyatakan paket kedua melalui ekspresi 30 x dan karena nilai variabel x Sekarang kita tahu, kita bisa menghitung jumlah notebook di paket kedua. Itu sama dengan 30 22, yaitu 8 buah.

Tugas 2. Dua orang sedang mengupas kentang. Yang satu mengupas dua kentang dalam satu menit, dan tiga kentang lainnya. Bersama-sama mereka membersihkan 400 buah. Berapa lama masing-masing bekerja jika yang kedua bekerja 25 menit lebih lama dari yang pertama?

Keputusan

Dilambangkan dengan x waktu orang pertama. Karena orang kedua bekerja 25 menit lebih lama dari yang pertama, waktunya akan dilambangkan dengan ekspresi

Pekerja pertama mengupas 2 kentang per menit, dan sejak dia bekerja x menit, maka total dia menyelesaikan 2 x kentang.

Orang kedua mengupas tiga kentang per menit, dan karena dia bekerja selama beberapa menit, dia mengupas kentang secara total.

Bersama-sama mereka mengupas 400 kentang

Dari komponen yang tersedia, kami akan menyusun dan menyelesaikan persamaan. Di sisi kiri persamaan akan ada kentang yang dikupas oleh setiap orang, dan di sisi kanan jumlah mereka:

Pada awal solusi masalah ini melalui variabel x kami menandai waktu kerja orang pertama. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini. Orang pertama bekerja 65 menit.

Dan orang kedua bekerja selama beberapa menit, dan karena nilai variabel x sekarang diketahui, maka Anda dapat menghitung waktu orang kedua - itu sama dengan 65 + 25, yaitu 90 menit.

Soal dari Buku Teks Aljabar Andrey Petrovich Kiselev. Campuran 32 kg dibuat dari varietas teh. Satu kilogram kelas satu berharga 8 rubel, dan kelas dua 6 rubel. 50 kop. Berapa kilogram yang diambil dari kedua varietas, jika satu kilogram campuran berharga (tanpa untung atau rugi) 7 rubel. 10 kopek?

Keputusan

Dilambangkan dengan x banyak teh kelas satu. Kemudian massa teh kelas dua akan dilambangkan melalui ekspresi 32 x

Satu kilogram teh kelas satu berharga 8 rubel. Jika delapan rubel ini dikalikan dengan jumlah kilogram teh kelas satu, maka dimungkinkan untuk mengetahui berapa biaya rubel x kg teh kelas satu.

Satu kilogram teh kelas dua berharga 6 rubel. 50 kop. Jika ini 6 rubel. 50 kop. kalikan dengan 32 x, maka Anda dapat mengetahui berapa rubel biaya 32 x kg teh kelas dua.

Kondisi mengatakan bahwa satu kilogram campuran berharga 7 rubel. 10 kop. Secara total, 32 kg campuran disiapkan. Kalikan 7 rubel. 10 kop. pada 32 kita dapat mengetahui berapa harga campuran 32 kg.

Ekspresi dari mana kita akan membuat persamaan sekarang mengambil bentuk berikut:

Mari kita coba membuat persamaan dari ekspresi yang ada. Mari kita letakkan harga campuran teh tingkat pertama dan kedua di sebelah kiri timbangan, dan letakkan harga 32 kg campuran di sebelah kanan, yaitu total biaya campuran, yang mencakup kedua jenis teh:

Pada awal solusi masalah ini melalui variabel x kami menetapkan massa teh kelas satu. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini. Variabel x sama dengan 12.8. Ini berarti 12,8 kg teh kelas satu diambil untuk menyiapkan campuran.

Dan melalui ekspresi 32 x kami menunjukkan massa teh kelas dua, dan karena nilai perubahannya x sekarang diketahui, kita dapat menghitung massa teh kelas dua. Itu sama dengan 32 12.8, yaitu 19.2. Ini berarti bahwa 19,2 kg teh kelas dua diambil untuk menyiapkan campuran.

Tugas 3. Seorang pengendara sepeda menempuh jarak dengan kecepatan 8 km/jam. Dia harus kembali melalui jalan lain, yang lebih panjang 3 km dari yang pertama, dan meskipun kembali, dia melaju dengan kecepatan 9 km / jam, dia menggunakan waktu lebih dari beberapa menit. Berapa lama jalan-jalan itu?

Keputusan

Beberapa tugas mungkin mencakup topik yang mungkin belum dipelajari orang tersebut. tugas ini termasuk dalam rentang tugas ini. Ini berkaitan dengan konsep jarak, kecepatan dan waktu. Oleh karena itu, untuk memecahkan masalah seperti itu, Anda perlu memiliki gagasan tentang hal-hal yang dikatakan dalam masalah. Dalam kasus kita, kita perlu mengetahui berapa jarak, kecepatan dan waktu.

Tugasnya adalah mencari jarak dua jalan. Kita harus menulis persamaan yang memungkinkan kita menghitung jarak ini.

Perhatikan hubungan antara jarak, kecepatan dan waktu. Masing-masing besaran ini dapat dijelaskan dengan menggunakan persamaan literal:

Kami akan menggunakan sisi kanan dari salah satu persamaan ini untuk menyusun persamaan kami. Untuk mengetahui yang mana, Anda harus kembali ke teks tugas dan mencari apa yang dapat Anda tangkap

Anda dapat menangkap momen di mana pengendara sepeda dalam perjalanan kembali menggunakan waktu selama lebih dari satu menit. Petunjuk ini memberitahu kita bahwa kita dapat menggunakan persamaan , yaitu sisi kanan. Ini akan memungkinkan kita untuk menulis persamaan yang berisi variabel S .

Jadi mari kita nyatakan panjang jalan pertama sebagai S. Pengendara sepeda menempuh jalan ini dengan kecepatan 8 km/jam. Waktu yang dia tempuh jalan ini akan dilambangkan dengan ekspresi, karena waktu adalah rasio jarak yang ditempuh dengan kecepatan

Jalan kembali untuk pengendara sepeda itu 3 km lebih panjang. Oleh karena itu, jaraknya akan dilambangkan dengan ekspresi S+ 3 . Seorang pengendara sepeda menempuh jalan ini dengan kecepatan 9 km/jam. Jadi waktu dia mengatasi jalan ini akan dilambangkan dengan ekspresi .

Sekarang mari kita buat persamaan dari ekspresi yang ada

Mangkuk kanan lebih berat dari kiri. Ini karena masalah mengatakan bahwa pengendara sepeda menghabiskan lebih banyak waktu dalam perjalanan kembali.

Untuk menyamakan timbangan, tambahkan menit yang sama ke sisi kiri. Tapi pertama-tama, mari kita ubah menit menjadi jam, karena dalam soal kecepatan diukur dalam kilometer per jam, dan bukan dalam meter per menit.

Untuk mengonversi menit ke jam, Anda perlu membaginya dengan 60

Menit menghasilkan jam. Tambahkan jam ini ke sisi kiri persamaan:

Ternyata persamaan . Mari kita selesaikan persamaan ini. Untuk menghilangkan pecahan, kedua bagian bagian tersebut dapat dikalikan dengan 72. Selanjutnya, dengan menggunakan transformasi identik yang diketahui, temukan nilainya variabel S

Melalui sebuah variabel S kami menandai jarak jalan pertama. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini. Variabel S adalah 15. Jadi jarak jalan pertama adalah 15 km.

Dan kami menunjukkan jarak jalan kedua melalui ekspresi S+ 3 , dan karena nilai variabel S Sekarang kita tahu, kita bisa menghitung jarak jalan kedua. Jarak ini sama dengan jumlah 15 + 3, yaitu 18 km.

Tugas 4. Dua mobil melaju di jalan raya dengan kecepatan yang sama. Jika yang pertama menambah kecepatan 10 km / jam, dan yang kedua mengurangi kecepatan 10 km / jam, maka yang pertama akan menempuh jarak yang sama dalam 2 jam dengan yang kedua dalam 3 jam. mobil pergi?

Keputusan

Dilambangkan dengan v kecepatan masing-masing mobil. Selanjutnya dalam soal, diberikan petunjuk: tambah kecepatan mobil pertama 10 km/jam, dan kurangi kecepatan mobil kedua 10 km/jam. Mari gunakan petunjuk ini

Lebih lanjut dinyatakan bahwa pada kecepatan tersebut (ditambah dan dikurangi 10 km/jam), mobil pertama akan menempuh jarak yang sama dalam 2 jam dengan yang kedua dalam 3 jam. Frasa "sebanyak" dapat dipahami sebagai "jarak yang ditempuh mobil pertama adalah sama dengan jarak yang ditempuh mobil kedua.

Jarak, seperti yang kita ingat, ditentukan oleh rumus. Kami tertarik pada sisi kanan persamaan literal ini - ini akan memungkinkan kami untuk menulis persamaan yang berisi variabel v .

Jadi, dengan kecepatan v + 10 km/jam mobil pertama akan lewat 2(v+10) km, dan yang kedua akan berlalu 3(v 10) km. Dalam kondisi ini, mobil akan menempuh jarak yang sama, oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan, cukup menghubungkan kedua ekspresi ini dengan tanda sama dengan. Kemudian kita dapatkan persamaannya. Mari kita selesaikan:

Dalam kondisi masalah, dikatakan bahwa mobil melaju dengan kecepatan yang sama. Kami menyatakan kecepatan ini dengan variabel v. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini. Variabel v sama dengan 50. Jadi kecepatan kedua mobil adalah 50 km/jam.

Tugas 5. Dalam 9 jam ke hilir kapal menempuh jarak yang sama seperti dalam 11 jam ke hulu. Tentukan kecepatan perahu jika kecepatan sungai 2 km/jam.

Keputusan

Dilambangkan dengan v kecepatan kapal sendiri. Kecepatan aliran sungai adalah 2 km/jam. Dalam perjalanan sungai, kecepatan kapal adalah v + 2 km/jam, dan melawan arus - (v 2) km/jam.

Kondisi masalah menyatakan bahwa dalam 9 jam kapal menempuh jarak yang sama di sepanjang sungai seperti dalam 11 jam melawan arus. Frasa "cara yang sama" dapat dipahami sebagai jarak yang ditempuh perahu sepanjang sungai dalam 9 jam, sama dengan jarak yang ditempuh kapal melawan arus sungai dalam 11 jam. Artinya, jaraknya akan sama.

Jarak ditentukan oleh rumus. Mari kita gunakan ruas kanan persamaan literal ini untuk menulis persamaan kita sendiri.

Jadi, dalam 9 jam, kapal akan melewati sungai 9(v + 2) km, dan dalam 11 jam ke hulu - 11(v 2) km. Karena kedua ekspresi menggambarkan jarak yang sama, kami menyamakan ekspresi pertama dengan yang kedua. Akibatnya, kita mendapatkan persamaan . Mari kita selesaikan:

Cara kecepatan sendiri kapal adalah 20 km / jam.

Saat memecahkan masalah kebiasaan baik adalah untuk menentukan terlebih dahulu solusi mana yang dicari untuk itu.

Asumsikan bahwa tugasnya adalah mencari waktu yang dibutuhkan pejalan kaki untuk melewatinya jalur yang ditentukan. Kami menunjukkan waktu melalui variabel t, kemudian kami membuat persamaan yang berisi variabel ini dan menemukan nilainya.

Dari praktikum kita mengetahui bahwa waktu gerak suatu benda dapat mengambil nilai bilangan bulat maupun nilai pecahan, misalnya 2 jam, 1,5 jam, 0,5 jam, maka dapat dikatakan bahwa penyelesaian soal ini dicari pada mengatur angka rasional Q, karena masing-masing nilai 2 jam, 1,5 jam, 0,5 jam dapat direpresentasikan sebagai pecahan.

Oleh karena itu, setelah jumlah yang tidak diketahui dilambangkan dengan variabel, berguna untuk menunjukkan ke set mana nilai ini berada. Dalam contoh kita, waktu t termasuk dalam himpunan bilangan rasional Q

t ∈ Q

Anda juga dapat memperkenalkan batasan pada variabel t, menunjukkan bahwa itu hanya dapat menerima nilai positif. Memang, jika objek dihabiskan di jalan waktu tertentu, maka kali ini tidak boleh negatif. Oleh karena itu, di samping ekspresi t∈ Q tentukan bahwa nilainya harus lebih besar dari nol:

t∈ R, t > 0

Jika kita memecahkan persamaan, kita mendapatkan arti negatif untuk sebuah variabel t, maka akan mungkin untuk menyimpulkan bahwa masalah diselesaikan dengan tidak benar, karena solusi ini tidak akan memenuhi kondisi t∈ Q , t> 0 .

Contoh lain. Jika kita memecahkan masalah di mana diperlukan untuk menemukan jumlah orang untuk melakukan pekerjaan tertentu, maka kita akan menunjukkan angka ini melalui variabel x. Dalam masalah seperti itu, solusinya akan dicari di set bilangan asli

x ∈ N

Memang jumlah orang adalah bilangan bulat, seperti 2 orang, 3 orang, 5 orang. Tapi tidak 1,5 (satu orang seutuhnya dan setengah orang) atau 2,3 (dua orang utuh dan tiga persepuluh orang lainnya).

Di sini orang dapat menunjukkan bahwa jumlah orang harus lebih besar dari nol, tetapi angka-angka yang termasuk dalam himpunan bilangan asli N mereka sendiri positif dan lebih besar dari nol. Set ini tidak angka negatif dan angka 0. Oleh karena itu, ekspresi x > 0 dapat dihilangkan.

Tugas 6. Untuk memperbaiki sekolah, datanglah sebuah tim yang jumlah pelukisnya 2,5 kali lebih banyak daripada tukang kayu. Segera mandor memasukkan empat pelukis lagi ke dalam tim, dan memindahkan dua tukang kayu ke objek lain. Akibatnya, ada 4 kali lebih banyak pelukis di brigade daripada tukang kayu. Berapa banyak pelukis dan berapa banyak tukang kayu di brigade awalnya?

Keputusan

Dilambangkan dengan x tukang kayu yang datang untuk perbaikan pada awalnya.

Jumlah tukang kayu adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol. Oleh karena itu, kami menunjukkan bahwa x termasuk dalam himpunan bilangan asli

x∈N

Ada 2,5 kali lebih banyak pelukis daripada tukang kayu. Oleh karena itu, jumlah pelukis akan dilambangkan sebagai 2.5x.

Dan jumlah pelukis akan bertambah 4

Sekarang jumlah tukang kayu dan pelukis akan dilambangkan dengan ekspresi berikut:

Mari kita coba membuat persamaan dari ekspresi yang ada:

Mangkuk kanan lebih besar, karena setelah menambahkan empat pelukis lagi ke dalam tim, dan memindahkan dua tukang kayu ke objek lain, jumlah pelukis dalam tim ternyata 4 kali lebih banyak daripada tukang kayu. Untuk menyamakan timbangan, Anda perlu menambah mangkuk kiri sebanyak 4 kali:

Punya persamaan. Mari kita selesaikan:

Melalui sebuah variabel x jumlah awal tukang kayu ditunjuk. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini. Variabel x sama dengan 8. Jadi 8 tukang kayu berada di brigade pada awalnya.

Dan jumlah pelukis ditunjukkan melalui ekspresi 2.5 x dan karena nilai variabel x sekarang diketahui, maka Anda dapat menghitung jumlah pelukis - itu sama dengan 2,5 × 8, yaitu 20.

Kami kembali ke awal tugas dan memastikan bahwa kondisinya terpenuhi x∈ N. Variabel x sama dengan 8, dan elemen-elemen dari himpunan bilangan asli N ini semua angka dimulai dengan 1, 2, 3 dan seterusnya ad infinitum. Set yang sama termasuk nomor 8, yang kami temukan.

8 ∈N

Hal yang sama dapat dikatakan tentang jumlah pelukis. Angka 20 termasuk dalam himpunan bilangan asli:

20 ∈N

Untuk memahami esensi masalah dan kompilasi yang benar persamaan, tidak perlu menggunakan model skala dengan mangkuk. Anda dapat menggunakan model lain: segmen, tabel, diagram. Anda dapat membuat model Anda sendiri yang akan menggambarkan esensi masalah dengan baik.

Tugas 9. 30% susu dituangkan dari kaleng. Akibatnya, 14 liter tetap di dalamnya. Berapa liter susu dalam kaleng awalnya?

Keputusan

Nilai yang diinginkan adalah jumlah liter awal dalam kaleng. Gambarkan jumlah liter sebagai garis dan beri label garis ini sebagai X

Dikatakan bahwa 30% dari susu dituangkan keluar dari kaleng. Kami memilih pada gambar sekitar 30%

Persentase, menurut definisi, adalah seperseratus dari sesuatu. Jika 30% dari susu dituangkan, maka 70% sisanya tetap berada di kaleng. 70% ini mewakili 14 liter yang ditunjukkan dalam masalah. Pilih sisa 70% pada gambar

Sekarang Anda dapat membuat persamaan. Mari kita ingat bagaimana menemukan persentase angka. Untuk melakukan ini, jumlah total sesuatu dibagi dengan 100 dan hasilnya dikalikan dengan persentase yang diinginkan. Perhatikan bahwa 14 liter, yaitu 70%, dapat diperoleh dengan cara yang sama: jumlah liter awal X bagi dengan 100 dan kalikan hasilnya dengan 70. Samakan semua ini dengan angka 14

Atau dapatkan persamaan yang lebih sederhana: tulis 70% sebagai 0,70, lalu kalikan dengan X dan samakan ekspresi ini dengan 14

Artinya, awalnya ada 20 liter susu di dalam kaleng.

Tugas 9. Mereka mengambil dua paduan emas dan perak. Dalam satu, rasio logam-logam ini adalah 1:9, dan yang lain 2:3. Berapa banyak masing-masing paduan harus diambil untuk mendapatkan 15 kg paduan baru di mana emas dan perak akan dikaitkan sebagai 1:4?

Keputusan

Mari kita coba mencari tahu berapa banyak emas dan perak yang akan terkandung dalam 15 kg paduan baru. Tugas mengatakan bahwa kandungan logam ini harus dalam perbandingan 1: 4, yaitu, emas harus menjadi satu bagian dari paduan, dan perak harus menjadi empat bagian. Maka jumlah total bagian dalam paduan adalah 1 + 4 = 5, dan massa satu bagian adalah 15: 5 = 3 kg.

Mari kita tentukan berapa banyak emas yang akan terkandung dalam 15 kg paduan. Untuk melakukan ini, kalikan 3 kg dengan jumlah bagian emas:

3 kg × 1 = 3 kg

Mari kita tentukan berapa banyak perak yang akan terkandung dalam 15 kg paduan:

3 kg × 4 = 12 kg

Ini berarti bahwa paduan dengan berat 15 kg akan mengandung 3 kg emas dan 12 kg perak. Sekarang kembali ke paduan asli. Anda perlu menggunakan masing-masing. Dilambangkan dengan x massa paduan pertama, dan massa paduan kedua dapat dilambangkan dengan 15 x

Mari kita nyatakan sebagai persentase semua hubungan yang diberikan dalam masalah dan isi tabel berikut dengan mereka:

Pada paduan pertama, emas dan perak memiliki perbandingan 1 : 9. Maka jumlah bagiannya adalah 1 + 9 = 10. Dari jumlah tersebut, akan ada emas , dan perak .

Mari kita transfer data ini ke tabel. 10% akan dimasukkan di baris pertama di kolom "persentase emas dalam paduan", 90% juga akan dimasukkan di baris pertama kolom "persentase perak dalam paduan", dan di kolom terakhir "berat paduan" masukkan variabel x, karena ini adalah bagaimana kami menyatakan massa paduan pertama:

Kami melakukan hal yang sama dengan paduan kedua. Emas dan perak di dalamnya dengan perbandingan 2 : 3. Maka akan ada total 2 + 3 = 5 bagian. , dan perak .

Mari kita transfer data ini ke tabel. 40% akan dimasukkan di baris kedua di kolom "persentase emas dalam paduan", 60% juga akan dimasukkan di baris kedua kolom "persentase perak dalam paduan", dan di kolom terakhir "berat paduan" masukkan ekspresi 15 x, karena ini adalah bagaimana kami menyatakan massa paduan kedua:

Mari kita isi baris terakhir. Paduan yang dihasilkan seberat 15 kg akan mengandung 3 kg emas, yaitu paduan, dan perak akan menjadi paduan. Di kolom terakhir kami menuliskan massa paduan yang dihasilkan 15

Anda sekarang dapat menulis persamaan menggunakan tabel ini. Kita ingat. Jika kita menjumlahkan emas dari kedua paduan secara terpisah dan menyamakan jumlah ini dengan massa emas dari paduan yang dihasilkan, kita dapat mengetahui berapa nilainya x.

Paduan emas pertama memiliki 0,10 x, dan pada paduan emas kedua adalah 0,40(15 x) . Kemudian pada paduan yang dihasilkan, massa emas akan menjadi jumlah massa emas dari paduan pertama dan kedua, dan massa ini adalah 20% dari paduan baru. Dan 20% dari paduan baru adalah 3 kg emas, dihitung oleh kami sebelumnya. Akibatnya, kita memperoleh persamaan 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Mari selesaikan persamaan ini:

Awalnya melalui x kami telah menetapkan massa paduan pertama. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini. Variabel x sama dengan 10. Dan kami menyatakan massa paduan kedua melalui 15 x, dan karena nilai variabel x sekarang diketahui, maka kita dapat menghitung massa paduan kedua, yaitu 15 10 = 5 kg.

Ini berarti bahwa untuk mendapatkan paduan baru dengan berat 15 kg di mana emas dan perak akan diperlakukan sebagai 1: 4, Anda perlu mengambil 10 kg paduan pertama dan 5 kg paduan kedua.

Persamaan dapat dibuat dengan menggunakan kolom kedua dari tabel yang dihasilkan. Maka kita akan mendapatkan persamaan 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. Akar persamaan ini juga 10

Tugas 10. Ada bijih dari dua lapisan dengan kandungan tembaga 6% dan 11%. Berapa banyak bijih kadar rendah yang harus diambil untuk mendapatkannya jika dicampur dengan 20 ton kaya dengan kandungan tembaga 8%?

Keputusan

Dilambangkan dengan x massa bijih miskin. Karena Anda perlu mendapatkan 20 ton bijih, maka 20 bijih kaya akan diambil x. Karena kandungan tembaga dalam bijih miskin adalah 6%, maka dalam x ton bijih akan mengandung 0,06 x ton tembaga. Dalam bijih yang kaya, kandungan tembaga adalah 11%, dan dalam 20 - x ton bijih kaya akan mengandung 0,11(20 x) ton tembaga.

Dalam 20 ton bijih yang dihasilkan, kandungan tembaga harus 8%. Ini berarti 20 ton bijih tembaga akan mengandung 20 × 0,08 = 1,6 ton.

Tambahkan ekspresi 0,06 x dan 0,11(20 x) dan samakan jumlah ini dengan 1,6. Kami mendapatkan persamaan 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Mari selesaikan persamaan ini:

Artinya, untuk mendapatkan 20 ton bijih dengan kandungan tembaga 8%, Anda perlu mengambil 12 ton bijih miskin. Orang kaya akan mengambil 20 12 = 8 ton.

Tugas 11. meningkat kecepatan rata-rata dari 250 hingga 300 m/menit, atlet mulai berlari 1 menit lebih cepat. Berapakah panjang jarak tersebut?

Keputusan

Panjang jarak (atau jarak jarak) dapat digambarkan dengan persamaan huruf berikut:

Mari kita gunakan ruas kanan persamaan ini untuk menulis persamaan kita sendiri. Awalnya, atlet berlari dengan kecepatan 250 meter per menit. Pada kecepatan ini, panjang jarak akan dijelaskan dengan ekspresi 250 t

Kemudian atlet meningkatkan kecepatannya menjadi 300 meter per menit. Pada kecepatan ini, panjang jarak akan dijelaskan oleh ekspresi 300t

Perhatikan bahwa panjang jarak adalah nilai konstan. Dari fakta bahwa atlet menambah atau mengurangi kecepatan, panjang jarak akan tetap tidak berubah.

Ini memungkinkan kita untuk menyamakan ekspresi 250 t untuk ekspresi 300 t, karena kedua ekspresi menggambarkan panjang jarak yang sama

250t = 300t

Tetapi tugas mengatakan bahwa pada kecepatan 300 meter per menit, atlet mulai berlari jarak 1 menit lebih cepat. Dengan kata lain, pada kecepatan 300 meter per menit, waktu tempuh akan berkurang satu. Oleh karena itu, dalam persamaan 250 t= 300t di sisi kanan, waktu harus dikurangi satu:

Dengan kecepatan 250 meter per menit, atlet berlari dalam waktu 6 menit. Mengetahui kecepatan dan waktu, Anda dapat menentukan panjang jarak:

S= 250 × 6 = 1500 m

Dan dengan kecepatan 300 meter per menit, atlet tersebut berlari sejauh t 1 , yaitu, dalam 5 menit. Seperti disebutkan sebelumnya, panjang jarak tidak berubah:

S= 300 × 5 = 1500 m

Tugas 12. Seorang pengendara menyalip seorang pejalan kaki yang berada 15 km di depannya. Dalam berapa jam pengendara akan menyusul pejalan kaki jika setiap jam pengendara pertama menempuh 10 km, dan pengendara kedua hanya menempuh 4 km?

Keputusan

Tugas ini adalah. Ini dapat diselesaikan dengan menentukan kecepatan pendekatan dan membagi jarak awal antara pengendara dan pejalan kaki dengan kecepatan ini.

Kecepatan penutupan ditentukan dengan mengurangkan kecepatan yang lebih rendah dari yang lebih besar:

10 km/jam 4 km/jam = 6 km/jam (kecepatan pendekatan)

Setiap jam jarak 15 kilometer akan berkurang 6 kilometer. Untuk mengetahui kapan itu akan berkurang sepenuhnya (ketika pengendara mengejar pejalan kaki), Anda perlu membagi 15 dengan 6

15:6 = 2.5j

2,5 h itu dua jam penuh dan setengah jam. Dan setengah jam adalah 30 menit. Jadi pengendara akan menyusul pejalan kaki dalam waktu 2 jam 30 menit.

Mari kita selesaikan masalah ini menggunakan persamaan.

Setelah itu, setelah dia, seorang pengendara berangkat di jalan dengan kecepatan 10 km / jam. Dan kecepatan berjalan hanya 4 km/jam. Ini berarti pengendara akan menyusul pejalan kaki setelah beberapa waktu. Kita perlu menemukan waktu ini.

Ketika pengendara menyusul pejalan kaki, itu berarti mereka telah menempuh jarak yang sama bersama-sama. Jarak yang ditempuh pengendara dan pejalan kaki digambarkan dengan persamaan berikut:

Mari kita gunakan ruas kanan persamaan ini untuk menulis persamaan kita sendiri.

Jarak yang ditempuh pengendara akan digambarkan dengan ekspresi 10 t. Sejak pejalan kaki berangkat sebelum pengendara dan berhasil mengatasi 15 km, jarak yang ditempuh olehnya akan dijelaskan oleh ekspresi 4 t + 15 .

Pada saat pengendara menyusul pejalan kaki, keduanya telah menempuh jarak yang sama. Ini memungkinkan kita untuk menyamakan jarak yang ditempuh oleh pengendara dan pejalan kaki:

Hasilnya adalah persamaan sederhana. Mari kita selesaikan:

Tugas untuk solusi independen

Soal 1. Kereta penumpang tiba dari satu kota ke kota lain 45 menit lebih cepat daripada kereta barang. Hitunglah jarak antar kota jika kecepatan kereta penumpang 48 km/jam dan kecepatan kereta barang 36 km/jam.

Keputusan

Kecepatan kereta dalam masalah ini diukur dalam kilometer per jam. Oleh karena itu, kami akan mengubah 45 menit yang ditunjukkan dalam tugas menjadi jam. 45 menit adalah 0,75 jam

Mari kita tunjukkan waktu di mana kereta barang tiba di kota melalui variabel t. Karena kereta penumpang tiba di kota ini 0,75 jam lebih cepat, waktu pergerakannya akan dilambangkan dengan ekspresi t - 0,75

Kereta penumpang mengatasi 48( t - 0,75 km, dan komoditas 36 t km. Sejauh kita sedang berbicara tentang jarak yang sama, kami menyamakan ekspresi pertama dengan yang kedua. Akibatnya, kita memperoleh persamaan 48(t - 0.75) = 36t . Mari kita selesaikan:

Sekarang mari kita hitung jarak antar kota. Untuk melakukan ini, kecepatan kereta barang (36 km / jam) dikalikan dengan waktu pergerakannya t. Nilai variabel t sekarang dikenal - itu sama dengan tiga jam

36 × 3 = 108 km

Untuk menghitung jarak, Anda juga bisa menggunakan kecepatan kereta penumpang. Tetapi dalam hal ini nilai variabel

Nilai variabel t sama dengan 1.2. Jadi mobil bertemu setelah 1,2 jam.

Menjawab: mobil bertemu setelah 1,2 jam.

Tugas 3. Ada total 685 pekerja di tiga bengkel pabrik. Di toko kedua ada tiga kali lebih banyak pekerja daripada di toko pertama, dan di toko ketiga - 15 pekerja lebih sedikit daripada di toko kedua. Berapa banyak pekerja di setiap toko?

Keputusan

Biarlah x pekerja berada di toko pertama. Di bengkel kedua ada tiga kali lebih banyak dari yang pertama, sehingga jumlah pekerja di bengkel kedua dapat dilambangkan dengan ekspresi 3 x. Toko ketiga memiliki 15 pekerja lebih sedikit daripada yang kedua. Oleh karena itu, jumlah pekerja di bengkel ketiga dapat dilambangkan dengan ekspresi 3 x - 15 .

Soal mengatakan bahwa ada total 685 pekerja. Oleh karena itu, kita dapat menambahkan ekspresi x, 3x, 3x - 15 dan samakan jumlah ini dengan angka 685. Hasilnya, kami memperoleh persamaan x + 3x + ( 3x - 15) = 685

Melalui sebuah variabel x jumlah pekerja di bengkel pertama ditunjukkan. Sekarang kita telah menemukan nilai dari variabel ini, yaitu sama dengan 100. Jadi ada 100 pekerja di toko pertama.

Di bengkel kedua ada 3 x pekerja, yaitu 3 × 100 = 300. Dan di bengkel ketiga ada 3 x - 15, yaitu 3 × 100 15 = 285

Menjawab: di bengkel pertama ada 100 pekerja, di bengkel kedua - 300, di bengkel ketiga - 285.

Tugas 4. Dua bengkel dalam seminggu harus memperbaiki 18 motor sesuai rencana. Bengkel pertama menyelesaikan rencana sebesar 120%, dan yang kedua sebesar 125%, sehingga 22 motor diperbaiki dalam waktu seminggu. Apa rencana perbaikan mesin mingguan yang dimiliki setiap bengkel?

Keputusan

Biarlah x motor harus diperbaiki oleh bengkel pertama. Kemudian bengkel kedua harus direnovasi 18 − x motor.

Sejak bengkel pertama menyelesaikan rencananya sebesar 120%, ini berarti telah memperbaiki 1,2 x motor. Dan bengkel kedua memenuhi rencananya sebesar 125% yang berarti memperbaiki 1,25 (18 x) motor.

Tugas mengatakan bahwa 22 motor diperbaiki. Oleh karena itu, kita dapat menambahkan ekspresi 1,2x dan 1,25 (18 x) , kemudian samakan jumlah ini dengan angka 22. Hasilnya, kami memperoleh persamaan 1,2x + 1,25(18x) = 22

Melalui sebuah variabel x jumlah motor yang harus diperbaiki bengkel pertama ditunjukkan. Sekarang kita telah menemukan nilai variabel ini, yaitu sama dengan 10. Jadi bengkel pertama harus memperbaiki 10 motor.

Dan melalui ekspresi 18 x jumlah motor yang harus diperbaiki bengkel kedua ditunjukkan. Jadi bengkel kedua harus memperbaiki 18 10 = 8 motor.

Menjawab: bengkel pertama memperbaiki 10 motor, dan bengkel kedua 8 motor.

Masalah 5. Harga barang telah meningkat 30% dan sekarang menjadi 91 rubel. Berapa harga produk sebelum kenaikan harga?

Keputusan

Biarlah x rubel barang senilai sebelum kenaikan harga. Jika harga telah meningkat 30% itu berarti telah meningkat sebesar 0,30 x rubel. Setelah kenaikan harga, barang mulai berharga 91 rubel. Tambahkan x dengan 0,30 x dan samakan jumlah ini dengan 91. Hasilnya, kami memperoleh persamaan Mengurangi angka sebesar 10% menghasilkan 45. Temukan nilai asli dari angka tersebut. x -

Menjawab: untuk mendapatkan larutan garam 12%, Anda perlu menambahkan 0,25 kg larutan 20% ke 1 kg larutan 10%.

Soal 12. Diberikan dua larutan garam dalam air, yang konsentrasinya adalah 20% dan 30%. Berapa kilogram masing-masing larutan harus dicampur dalam satu wadah untuk mendapatkan 25 kg larutan 25,2%?

Keputusan

Biarlah x kg solusi pertama harus diambil. Karena diperlukan untuk menyiapkan 25 kg larutan, massa larutan kedua dapat dilambangkan dengan persamaan 25 x.

Larutan pertama akan mengandung 0,20x kg garam, dan larutan kedua akan mengandung 0,30(25 x) kg garam. Dalam larutan yang dihasilkan, kandungan garam akan menjadi 25 × 0,252 = 6,3 kg. Tambahkan ekspresi 0,20x dan 0,30(25 x), lalu samakan jumlah ini dengan 6,3. Akibatnya, kita memperoleh persamaan

Jadi solusi pertama perlu diambil 12 kg, dan yang kedua 25 - 12 = 13 kg.

Menjawab: solusi pertama Anda perlu mengambil 12 kg, dan yang kedua 13 kg.

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan kami grup baru Vkontakte dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru

Konsep persentase terlalu sering terjadi dalam kehidupan kita, jadi sangat penting untuk mengetahui cara menyelesaikan masalah dengan persentase. Pada prinsipnya, ini bukan masalah yang sulit, yang utama adalah memahami prinsip bekerja dengan minat.

Apa itu persentase?

Kami beroperasi dengan konsep 100 persen, dan karenanya, satu persen adalah seperseratus nomor tertentu. Dan semua perhitungan sudah didasarkan pada rasio ini.

Misalnya, 1% dari 50 adalah 0,5, 15 dari 700 adalah 7.

Bagaimana memutuskan

Mengetahui bahwa satu persen adalah seperseratus dari jumlah yang disajikan, Anda dapat menemukan sejumlah persentase yang diperlukan. Agar lebih jelas, mari kita coba mencari 6 persen dari angka 800. Ini dilakukan secara sederhana.
- Pertama kita temukan satu persen. Untuk melakukan ini, bagi 800 dengan 100. Ternyata 8.
- Sekarang kita kalikan satu persen ini, yaitu 8, dengan jumlah persen yang kita butuhkan, yaitu dengan 6. Ternyata 48.
- Perbaiki hasilnya dengan pengulangan.
15% dari 150. Solusi: 150/100*15=22.

28% dari 1582. Solusi: 1582/100*28=442.
Ada masalah lain ketika Anda diberi nilai, dan Anda perlu mencari persentase. Misalnya, Anda tahu bahwa toko memiliki 5 Mawar merah dari 75 putih, dan Anda perlu mencari tahu berapa persentase merah. Jika kita tidak mengetahui persentase ini, maka kita akan menyatakannya sebagai x.
Ada rumus untuk ini: 75 - 100%

Dalam rumus ini, angka-angka dikalikan silang, yaitu x \u003d 5 * 100/75. Ternyata x \u003d 6% Jadi persentase mawar merah adalah 6%.
Ada jenis masalah lain untuk persentase, ketika Anda perlu mencari dengan persentase berapa satu angka lebih besar atau lebih kecil dari yang lain. Bagaimana memecahkan masalah dengan persentase dalam kasus ini?
Ada 30 siswa di kelas, 16 di antaranya adalah anak laki-laki. Pertanyaannya adalah berapa persen anak laki-laki lebih banyak daripada anak perempuan. Pertama, Anda perlu menghitung berapa persentase siswa laki-laki, kemudian Anda perlu mencari tahu berapa persentase perempuan. Dan akhirnya temukan perbedaannya.

Jadi mari kita mulai. Kami membuat proporsi 30 akun. - 100%

16 akun -X %

Sekarang kita hitung. X=16*100/30, x=53,4% dari semua siswa di kelas adalah laki-laki.

Sekarang temukan persentase anak perempuan di kelas yang sama. 100-53,4=46,6%

Tetap sekarang hanya untuk menemukan perbedaannya. 53,4-46,6=6,8%. Jawaban: ada lebih banyak anak laki-laki daripada perempuan sebesar 6,8%.

Poin-Poin Penting dalam Pemecahan Minat

Jadi, agar Anda tidak memiliki masalah dengan cara menyelesaikan masalah persentase, ingatlah beberapa aturan dasar:

Agar tidak bingung dalam masalah persentase, selalu waspada: beralih dari nilai tertentu ke persentase dan sebaliknya jika perlu. Hal utama adalah tidak pernah membingungkan satu dengan yang lain.
Berhati-hatilah saat menghitung persentase. Penting untuk mengetahui dari nilai spesifik apa yang perlu Anda hitung. Untuk perubahan nilai yang berurutan, persentase dihitung dari nilai terakhir.
Sebelum menuliskan jawabannya, baca kembali seluruh soal, karena mungkin Anda hanya menemukan jawaban antara, dan Anda perlu melakukan satu atau dua tindakan lagi.

Dengan demikian, memecahkan masalah dengan persentase bukanlah masalah yang sulit, hal utama di dalamnya adalah perhatian dan akurasi, seperti, memang, dalam semua matematika. Dan jangan lupa bahwa latihan diperlukan untuk meningkatkan keterampilan apa pun. Jadi putuskan lebih banyak, dan semuanya akan baik-baik saja atau bahkan sangat baik untuk Anda.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

Bagaimana memecahkan masalah. Tugas B13 (No. 26582)

Bagaimana memecahkan masalah. Hasil

Metode dasar untuk memecahkan masalah logis

Metode penalaran berurutan

Metode akhir

Memecahkan Masalah Logika Menggunakan Tabel Kebenaran

Metode diagram alur

Persiapan untuk ujian matematika (tingkat profil): tugas, solusi, dan penjelasan

Menulis Ekspresi yang Mengandung Yang Tidak Diketahui

Contoh pemecahan masalah

Tugas untuk solusi independen

Apa itu persentase?

Bagaimana memutuskan

Poin-Poin Penting dalam Pemecahan Minat

ARTIKEL TERKAIT