1 პირველადი და მეორადი პროფესიული განათლება M. I. ბაშმაკოვი

2 დაწყებითი და საშუალო პროფესიული განათლება M. I. BASHMAKOV მათემატიკა რეკომენდებულია ფედერალური სახელმწიფო ინსტიტუტის მიერ. ფედერალური ინსტიტუტიგანათლების განვითარება“, როგორც სახელმძღვანელო გამოსაყენებლად სასწავლო პროცესი საგანმანათლებო ინსტიტუტებიდაწყებითი და საშუალო პროფესიული განათლების პროგრამების განმახორციელებელი მიმოხილვა სარეგისტრაციო ნომერი 174, დათარიღებული 2009 წლის 28 აპრილი FGU "FIRO" მე-5 გამოცემა, შესწორებული აკადემია "მოსკოვის საგამომცემლო ცენტრი "აკადემია" 2012 წ.

3 LBC 22.1ya722 B336 რეცენზენტები: მოსკოვის სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულების მასწავლებელი პოლიტექნიკური კოლეჯინ.ა.ხარიტონოვა; მათემატიკისა და სტატისტიკის მასწავლებელი GOU SPO მოსკოვი სახელმწიფო ტექნიკუმიტექნოლოგია, ეკონომიკა და სამართალი მათ. L.B.Krasina T.N.Sinilova; მათემატიკის მასწავლებელი GOU SPO ავტომატიზაციის კოლეჯი და საინფორმაციო ტექნოლოგიები 20 მოსკოვი ტ.გ.კონონენკო ბ 336 ბაშმაკოვი მ.ი. მათემატიკა: სახელმძღვანელო დაწესებულებებისთვის დასაწყისი. და საშ. პროფ. განათლება / M.I. ბაშმაკოვი. მე-5 გამოცემა, რევ. მ.: საგამომცემლო ცენტრი „აკადემია“, გვ. ISBN სახელმძღვანელო დაიწერა დაწყებითი და საშუალო პროფესიული საგანმანათლებლო დაწესებულებებში მათემატიკის შესწავლის სასწავლო გეგმის შესაბამისად და მოიცავს ყველა ძირითად თემას: რიცხვების თეორიას, ფესვებს, ძალებს, ლოგარითმებს, წრფეებს და სიბრტყეებს, სივრცითი მყარებს, აგრეთვე საფუძვლებს. ტრიგონომეტრია, ანალიზი, კომბინატორიკა და ალბათობის თეორია. დაწყებითი და საშუალო პროფესიული საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის. UDC 51(075.32) LBC 22.1y722 ამ პუბლიკაციის ორიგინალური განლაგება არის აკადემიის გამომცემლობის ცენტრის საკუთრება და მისი ნებისმიერი სახით რეპროდუცირება საავტორო უფლებების მფლობელის თანხმობის გარეშე აკრძალულია. საგამომცემლო ცენტრი "აკადემია", 2010 წ

4 ძირითადი აღნიშვნა ზოგადი მათემატიკური სიმბოლოები a [a] რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული) მთელი ნაწილირიცხვები a = უდრის a-ს დაახლოებით უდრის > მეტი< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>აქედან გამომდინარე<=>ექვივალენტურია თუ და მხოლოდ კომბინატორიკა ჰა! ფაქტორული რიგი განლაგება r-დან r-მდე C კომბინაციების რაოდენობა r-დან m-მდე Pn პერმუტაციების რაოდენობა r ელემენტებიდან კომპლექტები 0 ცარიელი სიმრავლე N ბუნებრივი რიცხვები Y. მთელი რიცხვები Q რაციონალური რიცხვები R რეალური რიცხვები C რთული რიცხვები AUfi სიმრავლეების გაერთიანება APW-კვეთა სიმრავლეთა aea a ეკუთვნის A სიმრავლეს a "a a არ ეკუთვნის სიმრავლეს A g f რუკების შედგენილობა fug რთული რიცხვები i წარმოსახვითი ერთეული z რთული რიცხვი შერწყმულია K Z \r\ კომპლექსური რიცხვის აბსოლუტური სიდიდე (მოდული) z გეომეტრია A(x; y) , AB წერტილი A კოორდინატებით x და y სწორი სიბრტყეებით წრფე a პარალელურია b წრფის a წრფესთან. b წრფე a პერპენდიკულარულია b წრფეზე a კვეთს a სიბრტყეს P წერტილში სიბრტყე a პარალელურია p სიბრტყის სიბრტყე a პერპენდიკულარულია p სიბრტყის ვექტორზე თანმიმდევრობა და ფუნქციები K ) A/ df f\x) b \f(x) დ. x ფუნქციის f დიფერენციალური ფუნქციის მიმდევრობის ზრდა) ფუნქციის 1 წარმოებული x ანტიწარმოებულების სიმრავლე წერტილში, ან ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი / f ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი a-დან b-მდე

5 წინასიტყვაობა მათემატიკამ თავისი არსებობის 2500 წლის განმავლობაში დააგროვა უმდიდრესი ინსტრუმენტი ჩვენს ირგვლივ სამყაროს შესასწავლად. თუმცა, როგორც აკადემიკოსმა ა.ნ. კრილოვმა, გამოჩენილმა რუსმა მათემატიკოსმა და გემთმშენებელმა აღნიშნა, ადამიანი მიმართავს მათემატიკას „არ აღფრთოვანდეს უთვალავი საგანძურით“. უპირველეს ყოვლისა, მას უნდა გაეცნოს „საუკუნოვანი აპრობირებული იარაღები და ისწავლოს მათი სწორად და ოსტატურად გამოყენება“. ეს წიგნი გასწავლით როგორ გამოიყენოთ მათემატიკური ინსტრუმენტები, როგორიცაა ფუნქციები და მათი გრაფიკები, გეომეტრიული ფიგურები, ვექტორები და კოორდინატები, წარმოებული და ინტეგრალი. მიუხედავად იმისა, რომ ამ ცნებების უმეტესობა პირველად გაგიცანით ადრე, ეს წიგნი მათ ხელახლა წარმოგიდგენთ. ეს მოსახერხებელია მათთვის, ვინც ადრე შესწავლილი მასალა ცოტათი დაივიწყა და ყველასთვის სასარგებლოა, რადგან ნაცნობიც კი ახალ ასპექტებსა და კავშირებს გამოავლენს. სახელმძღვანელოსთან მუშაობის გასაადვილებლად გამოკვეთილია უმნიშვნელოვანესი დებულებები და ფორმულირებები. ილუსტრაციები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ, ამიტომ, ტექსტის უკეთ გასაგებად აუცილებელია ტექსტთან დაკავშირებული ნახატის გულდასმით გათვალისწინება (ძველ დროშიც კი იყენებდნენ მათემატიკის შესწავლის ამ მეთოდს ნახატის დასახატად და ამბობდნენ: „ნახე!“ ). გარდა უდავოსა პრაქტიკული ღირებულებამიღებული მათემატიკური ცოდნის მიხედვით, მათემატიკის შესწავლა წარუშლელ კვალს ტოვებს ყოველი ადამიანის სულზე. მათემატიკასთან ბევრი აერთიანებს ობიექტურობასა და პატიოსნებას, ჭეშმარიტების სურვილს და გონების ტრიუმფს. ბევრს აქვს მთელი ცხოვრება თავდაჯერებულობა, რომელიც წარმოიშვა იმ უდავო სირთულეების გადალახვისას, რაც მათ მათემატიკის შესწავლისას წააწყდა. დაბოლოს, უმეტესობა თქვენგანი ღიაა სამყაროს ჰარმონიისა და სილამაზის აღქმისთვის, რომელიც მათემატიკას შთანთქა, ამიტომ არ უნდა მიუდგეთ სახელმძღვანელოს თითოეულ გვერდს, თითოეულ დავალებას იმის შეფასებით, გამოიყენებს თუ არა მას ახალ ცხოვრებაში. სკოლის დამთავრების შემდეგ გელოდებათ. თემები, რომლებსაც ეძღვნება სახელმძღვანელო, რიცხვთა თეორია, სივრცითი სხეულები, ესნოვები მათემატიკური ანალიზი, ალბათობის თეორიის პრინციპები აქვს არა მარტო გამოყენებული მნიშვნელობა. ისინი შეიცავს მდიდარ იდეებს, რომელთა გაცნობა აუცილებელია ყველა ადამიანისთვის. ვიმედოვნებ, რომ მათემატიკის შესწავლა, რომელიც/სახელმძღვანელო უნდა დაგეხმაროთ, საშუალებას მოგცემთ გადაამოწმოთ მაღალი დონემათი შესაძლებლობები, გააძლიერებს სწავლის გაგრძელების სურვილს და მოუტანს ზიარების ბევრ მხიარულ მომენტს "უცვლელი კანონებით, რომლებიც აღნიშნავენ სამყაროს მთელ წესრიგს".

6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись ნატურალური რიცხვებიაქვს ხანგრძლივი ისტორია. თანამედროვე საზოგადოება იყენებს ათობითი სისტემას, რომელშიც შეყვანილია 10 ციფრი: 1.2 \u003d 1 + 1.3 \u003d 2 + 1, ..., 9 \u003d 8 + 1 და 0. რიცხვი 9-ის შემდეგ იწერება როგორც 10. შემდგომში ათეულებში, ასეულებში (10 x 10), ათასობით და ა.შ., თითოეული ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია როგორც a0 + + a ak10 k (ak f 0), სადაც 0< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в სხვადასხვა სისტემებიათობითი სისტემა 2010 რომაული სისტემა MMX ძველი ეგვიპტელების იეროგლიფური სისტემა (= ძვ. წ. 3000 წ.) O n 2010 = 2 X ბაბილონური (თექვსმეტობითი) სისტემა ("ძვ. წ. 3500 წ.) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10

7 ან ერთეული; m-ჯერ აღებული ერთიანობის n წილადი (ნატურალური რიცხვების ტიპი) რაციონალური რიცხვია. ის შეიძლება დაიწეროს როგორც ჩვეულებრივი წილადი. იგივე თანხის მიღება შესაძლებელია სხვადასხვა აქციების გამოყენებით. მაგალითად, გასაგებია, რომ პიროგა და პიროგა ერთი და იგივეა. ^ ^ ორი ჩვეულებრივი წილადი და უდრის Щ n2-ს ერთმანეთში (ანუ ისინი ერთი და იგივე რაციონალური რიცხვის ჩანაწერები არიან) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ნატურალური რიცხვები ml t9 txn2 და t2nx ემთხვევა: - = -<=>tgp2 = t2Hz. Пп 2 დადებითი რაციონალური რიცხვების აგების შემდეგ, მათ ჩვეულებრივი გზით ემატება უარყოფითი და ნული. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო Q-ით. მთელი რიცხვები m იდენტიფიცირებულია წილადებთან. 1 არის ჩართვები N-თან ერთად Q-თან ერთად. 4. რაციონალური რიცხვების Q სიმრავლეში ორი არითმეტიკული მოქმედება, შეკრება და გამრავლება, განისაზღვრება, ემორჩილება ცნობილი კანონებიშემცვლელი, ასოციაციური, გამანაწილებელი. რატომ სჭირდება ხალხს ნომრები? პირველ რიგში, ანგარიშისთვის. საგნების რაოდენობის შესადარებლად პირველად გამოიყენეს რამდენიმე სტანდარტული ობიექტი (თითები, კენჭი, ჩხირები). შემდეგ გამოიგონეს სიმბოლოები, რათა მიუთითონ რიცხვი კომპლექტებში (კოლექციები, კომპლექტები), რომლებსაც აქვთ თანაბარი ელემენტები. რიცხვის კონცეფციის განვითარების კიდევ ერთი წყარო იყო გაზომვის პრობლემა. სიდიდის საზომი ერთეულის არჩევისას (მაგალითად, სიგრძე), შესაძლებელი ხდება მასთან შედარება. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ არა მხოლოდ მთელი ერთეული, არამედ მისი ფრაქციები.

8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il ჩვეულებრივი წილადები რაციონალური რიცხვებით გამოთვლისას? I^UTIIVID როგორც აღინიშნა, ერთი და იგივე რაციონალური რიცხვი შეიძლება ჩაიწეროს სხვადასხვა წილადებში. მათ შორის კავშირი აღწერილია შემდეგი თეორემით., _ tl t9 t9 t3 თეორემა. თუ \u003d - და \u003d - W "s მტკიცებულება. W "s მაშინ საჭიროა დაამტკიცოთ, რომ jj ^ წილადების ტოლობის განმარტება ამისათვის თქვენ უნდა შეამოწმოთ მთელი რიცხვების ტოლობა: m ^ n3 \u003d m3ni. ჩვენ ვიყენებთ ამ ტოლობებს: m1p2 = m2px და m2p3 = m3p2 გავამრავლოთ პირველი მათგანი n3-ზე, ხოლო მეორე n1-ზე. ვიღებთ mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. მთელი რიცხვები m2p1p3 და m2p3nx ერთმანეთის ტოლია; ვიყენებთ მთელი რიცხვების გარდამავალობის თვისებას: txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1. მთელი რიცხვების ტოლობას m1p2p3 = m3p2nx გადავწერთ n2(m1p3 - m3rii) = 0. რიცხვი n2 (შუა წილადის მნიშვნელი) არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. თუმცა, თუ ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი არის ნული, მაშინ მათგან ერთი მაინც უნდა იყოს ნული. მივიღებთ, რომ txp3 - t3p1 = 0, ე.ი. mxn3 = m3nx, რაც დასამტკიცებელი იყო. როგორ ასრულებთ არითმეტიკულ მოქმედებებს საერთო წილადებზე? 1. წილადის შემცირება. 28 პრიტერი. ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. ეს Pie Chart გვიჩვენებს ხმების განაწილებას პარლამენტში სამ პარტიას შორის ლურჯი, რუხი და თეთრი. ეს განაწილება შეიძლება დაიწეროს წილადებად: = 180 საერთო რაოდენობაადგილები; " " 4 როგორც მთლიანი წილი, შეგიძლიათ აირჩიოთ ^: 12 კოლბის მოცულობის რა ნაწილი შეივსება, როდესაც სითხე ამოიწურება ორი იდენტური კოლბიდან? შეიძლება გაკეთდეს თანმიმდევრობით, მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორების პოვნა და მათზე გაყოფა:

9 მლ m2 _ mln2 + m2n1 SC «2 SC2 n2n! TGCPg + TP2Pu SchP2 გამოკლება m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 გამრავლება wii /7i2 _ m1m2 Sch p2 PxLg მნიშვნელი მათ უდიდესამდე საერთო გამყოფი(GCD): T_ "წილადი შეუქცევადია. მისი მრიცხველი და 15 მნიშვნელი არის თანმხლები რიცხვები. 2. წილადების შეკრება (გამოკლება). 5 3 მაგალითი შეკრებისთვის, თქვენ უნდა მიიყვანოთ წილადები საერთო მნიშვნელი. ამისათვის მოსახერხებელია მნიშვნელების დაშლა მარტივ ფაქტორებად და მათი უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM): 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. LCM (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ წილადების გამრავლება (გაყოფა) "მაგალითი. ( ):. ვწერთ ხელახლა და * V25 63J 7 შედეგს ერთი წილადის სახით. და შეამცირეთ იგი: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ კითხვები და სავარჯიშოები 1. ჩამოთვლილთაგან რომელს აქვს მნიშვნელობა 1-ის ტოლი: 14 და mid ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A \u003d f - 1-; 6) A \u003d)) A \u003d 2.36-1.12-0.88 + 0.64; 7) A =? 4) l L.“. C საქონლის თვითღირებულება პირველად შემცირდა ა, მეორედ ახალი ფასის b%-ით. რა შემთხვევაში, შედეგად, საქონლის ღირებულებამ შეადგინა საწყისი ფასის 60%: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; ბ = 10? O 2) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; რვა

10 ტ რიცხვითი გამონათქვამები: 1) "იღბლიანი" ავტობუსის ბილეთების რაოდენობა: IT" " 2) ალბათობა იმისა, რომ 30 კაციან კლასში არის შესატყვისი დაბადების დღეები: \100% J, l d 180 1, შეაფასეთ ქვემოთ ჩამოთვლილი რიცხვებიდან რომელია ყველაზე ახლოს ნომერი: )0.001; 2) 0.01; 3) 0.1; 4)1. 5. ცხრილი გვიჩვენებს ყინულის დნობის წერტილებს და წყლის დუღილის წერტილებს ოთხ ტემპერატურულ სკალაზე ცელსიუსი (C), ფარენჰეიტი (F), კელვინი (K) და რეუმური (R). თუ დავუშვებთ, რომ ადამიანის სხეულის ტემპერატურა ცელსიუს გრადუსში არის 37, გამოთვალეთ იგი სხვა სკალებით, თუ სასწორებს შორის კავშირი წრფივია: ინდიკატორის სკალა C F K R მდუღარე წყალი ყინულის დნება გაკვეთილი 2 რეალური რიცხვებირა იგულისხმება რეალურ რიცხვში? 1. რეალური ნომერი. რაციონალური რიცხვები არ იყო საკმარისი საზომი ამოცანების გადასაჭრელად. ეს აღმოაჩინეს 2,5 ათასზე მეტი წლის წინ ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსებმა, რომლებმაც დაადასტურეს, რომ კვადრატის დიაგონალი ერთეული გვერდით არ შეიძლება გაიზომოს მხოლოდ რაციონალური რიცხვების გამოყენებით, მაშინ როცა სხვები არ იყო ცნობილი. რაც შეეხება ნატურალური რიცხვების დაყენებას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კონკრეტული საგნები (თითები, ჩხირები), ხოლო საზომი ამოცანებისთვის შეგიძლიათ აირჩიოთ სტანდარტული მნიშვნელობა სეგმენტის სიგრძეზე და დააყენოთ რიცხვები გეომეტრიულად სეგმენტების მიხედვით, უფრო სწორად მათი დამოკიდებულების მიხედვით არჩეულთან. ერთეული სეგმენტი (მასშტაბის ერთეული). E \- T 4 ზოგადი ზომა 3 A 9 4

11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj

12 რიცხვი არის რიცხვები V2, რომელთა თხუთმეტი ათწილადი ადგილი იყო ზემოთ მოცემული, ან რიცხვი k (წრილობის თანაფარდობა დიამეტრთან): l \u003d 3. ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე აღინიშნება ასო R-ით: N c Z c Q c R. რატომ დაგჭირდათ რეალური რიცხვები და იყო თუ არა ისინი საკმარისი ამოცანების გადასაჭრელად? როგორც აღინიშნა, რაციონალურ რიცხვებში ახალი, ირაციონალური რიცხვების დამატება გამოწვეული იყო ნებისმიერი სეგმენტის სიგრძის გაზომვის აუცილებლობით. ამ გზით აგებული რეალური რიცხვების დახმარებით უკვე შესაძლებელი გახდა მრავალი სხვა სიდიდის გაზომვა, რომლებსაც სკალარული ეწოდებოდათ. ახალი პრობლემების გაჩენა მოითხოვდა რიცხვის ცნების შემდგომ განვითარებას, რაზეც მოგვიანებით ვისაუბრებთ. რატომ არ შეიძლება კვადრატის დიაგონალი ერთის ტოლი გვერდით გაიზომოს რაციონალური რიცხვით? ეს კითხვა შეიცავს VI საუკუნეში დადასტურებული ცნობილი თეორემის ფორმულირებას. ძვ.წ. მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ ერთეულის კვადრატის დიაგონალის სიგრძე შეიძლება დაიწეროს წილადად, რომელსაც მივიჩნევთ შეუმცირებლად. პითაგორას თეორემით ვიღებთ ტოლობას I = I m 1, ე.ი. I _ m 1 \u003d\n) U ან m 2 \u003d 2n 2. ვინაიდან მარჯვნივ არის ლუწი რიცხვი, მარცხნივ არის რიცხვი m g და აქედან გამომდინარე რიცხვი m არის ლუწი რიცხვები: m \u003d 2k . 2-ით ჩანაცვლებით და შემცირებით მივიღებთ: 2k 2 = n 2. იგივე მსჯელობით ვიღებთ, რომ ახლა n ასევე უნდა იყოს ლუწი რიცხვი. ის ფაქტი, რომ წილადი niuio wiiv^vudi გალინუნი რეალური რიცხვების ათწილადი - = 0, n 2 1, გაგრძელება წილადი - = 2 + L F = მწკრივი n 2, წრიული დიაგრამა წერტილი რიცხვის ღერძზე B (-2) 0 1 L ( 2.5) 11

13 Dcjmnnc MdieMdiHKH დროის ღერძზე - 600"" პითაგორას მრიცხველი და მნიშვნელი აღმოჩნდა ლუწი რიცხვები, რაც ეწინააღმდეგება წილადის შეუქცევადობის პირობას. ეს წინააღმდეგობა ამტკიცებს ევკლიდე არქიმედეს თეორემას დიოფანტ ალ-ხვარეზმის ფიბონაჩი დეკარტ ნიუტონი, ლაიბნიცი, ეილერი, გაუს კოლმოგოროვი როგორ მუშაობენ ისინი რეალურ რიცხვებთან? უსასრულო ათწილადი არის მიახლოებების თანმიმდევრობა სასრულ ათწილადებით მოცემულ რეალურ რიცხვთან. უსასრულო ათობითი წილადებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესასრულებლად ეს მოქმედებები შესრულებულია სასრულ ათწილადებზე. მაგალითად, დავამატებთ = 1, მივიღებთ: = 4 1.4 + 3.1 = 4.5 1.41 + 3.14 = 4.55 1.141 = 4.555 1.1415 = 4.5557 1.14159 = 4.55580 და ა.შ. ანალოგიურად, l 72 \u003d 4. რა თქმა უნდა, ასეთი გამოთვლები უნდა შესრულდეს კალკულატორის გამოყენებით, მაგრამ ამავე დროს, თვალყური ადევნეთ, თუ რამდენი ციფრი შეიძლება ჩაითვალოს სწორად. რეალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წერტილების სახით რიცხვით ხაზზე. თუ ორი რიცხვი a და b ნაჩვენებია A(a) და B(b) წერტილებით რეალურ ღერძზე, მაშინ A და B წერტილებს შორის მანძილი უდრის a და b რიცხვებს შორის სხვაობის მოდულის: \AB\. = \b - a\. მოდულს აქვს ორი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება: \ab\ = \a\ b( და \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?

14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu რიცხვი f 7. დაწერეთ შემდეგი რიცხვები პერიოდული ათობითი წილადების სახით: x> 2.1, 3, 4 , BUT ; 6) დაამტკიცეთ შემდეგი რიცხვების ირაციონალურობა: 1) 0, ; 2) 0, გაკვეთილი 3 სავარაუდო გამოთვლები რისი ცოდნაა სასარგებლო სავარაუდო გამოთვლების შესახებ? 1. L “3 მიახლოება I 1. მიახლოებითი მნიშვნელობა. მიეცით რიცხვი x. რიცხვს a ეწოდება x რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობა, გამოითვლება h > 0-მდე, თუ უტოლობა \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13

15 3. f 16 = 3, ჰც. კგ "A.. w -, Ct.. და W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. ძირის ნიშნის ქვეშ იწერება რიცხვი V0 ათწილადის შემდეგ 40 ცხრიანით, გამოთვალეთ ფესვი 40 ათწილადით. 4. შეამოწმეთ, რომ შემდეგი რიცხვების დამრგვალება მეორე ათწილადამდე სწორად არის გაკეთებული: 1) a = 1,1683, a ~ 0,17; 3) 72 „1.41; 5) ის 2" 9.86. 2) a = 0.2309, a ~ 0.23; 4) ^1 0.86; 2 5. მართალია, რომ გაანგარიშების ფარდობითი ცდომილება 1%-ზე ნაკლებია: 1) n «3.16; 3) რადიუსის წრის ფართობი) ^ "21; 2) 2 10 „1000; დაახლოებით თანაბარი; 5) 9 11 a 3 Yu 10? გაკვეთილი 4 რთული რიცხვები კომპლექსური რიცხვების გრაფიკული წარმოდგენა m r = a + s M (ა; ბ) რა არის რთული რიცხვი და როგორ სრულდება არითმეტიკული მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებთან? 1. რთული რიცხვები. რთული რიცხვი არის a + bi ფორმის რიცხვი, სადაც a და b რეალური რიცხვებია, a i არის სიმბოლო, რომელსაც წარმოსახვითი ერთეული ეწოდება. თექვსმეტი

18 კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო C. რეალური რიცხვი a იდენტიფიცირებულია რთული რიცხვით a + 0 r. ამრიგად, ჩვენ ვაფართოებთ სხვადასხვა რიცხვითი სიმრავლეების ჩართვათა ჯაჭვს: N c Z c Q c R c C. ყოველი რთული რიცხვი z არის a + b.i ფორმის რაღაც სიმბოლო. რიცხვს a ეწოდება z რიცხვის ნამდვილ ნაწილს, ხოლო რიცხვი b არის მისი წარმოსახვითი ნაწილი. შეკრების განმარტება გვიჩვენებს, რომ კომპლექსური რიცხვების შეკრებისას მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ცალკე ემატება. 2. რთული რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების წესები. რთული რიცხვები ემატება შემდეგი წესის მიხედვით: (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i. გამრავლების წესის მიხედვით i i = (0 + r) (0 + i) = = -1, ე.ი. წარმოსახვითი ერთეულის კვადრატი უდრის ნამდვილ რიცხვს -1. რთული რიცხვების გამრავლებისას უბრალოდ გახსენით ფრჩხილები ჩვეულებრივი წესების მიხედვით და შეცვალეთ r 2 -1-ით: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- რომ არა მხოლოდ z 2 = = -1, არამედ (-i) 2 = კომპლექსური რიცხვების კონიუგატი. კომპლექსურ რიცხვებს a + bi და a - bi ერთმანეთთან კონიუგატი ეწოდება. მათი ნამრავლი უდრის ნამდვილ პოზიტიურ რიცხვს a 2 + b 2. თუ z \u003d a + N f 0, მაშინ a 2 + b 2 f 0 და შეგვიძლია დავწეროთ იდენტურობა: (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi აქედან ირკვევა, რომ რიცხვი არის 2 + b 2 a 2 + b 2 არის a + bi რიცხვის შებრუნებული. შეუძლია გამოთვლა საპასუხო ნომერი, შეგიძლიათ ერთი რთული რიცხვის გაყოფა მეორეზე (ნულის გარდა). 4. რთული რიცხვების გამოსახულება. რიცხვი z = a + bi შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიბრტყის წერტილით კოორდინატებით (a, b) (მაგალითად, M(a, b)). ასეთი გამოსახულებით, რთული რიცხვების დამატება შეესაბამება 2 + z რეალური ღერძის კონიუგატულ რიცხვებს z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z Ы = \om\ კომპლექსური რიცხვების მოდული 17

19 რთული რიცხვების შეკრება რთული რიცხვების გამრავლების ზოგიერთი ინტერპრეტაცია განხილული იქნება ბრუნვისა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თავში. კონიუგატური რიცხვები z \u003d a + bi და z \u003d a - bi წარმოდგენილია აბსცისის ღერძის მიმართ სიმეტრიული წერტილებით. რიცხვს l / a 2 + b 2, რომელიც არის მანძილი z რიცხვის გამომსახველი წერტილიდან (ისინი ამბობენ უბრალოდ z წერტილიდან), საწყისამდე, ეწოდება რთული რიცხვის მოდული და აღინიშნება \r \. ჩვენ აღვნიშნავთ მარტივ იდენტობებს: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \ZiZ2\ = 2j z2; 4) z = z<=>ნამდვილი რიცხვი. საპირისპირო რთული რიცხვი კომპლექსური რიცხვების გამოკლება I = 2 რატომ გვჭირდება რთული რიცხვები? რთული რიცხვების გამოყენებით მათემატიკოსებს ახალი შესაძლებლობები აქვთ. მოდით შევხედოთ ზოგიერთ მათგანს. 1. ნებისმიერის ფესვების პოვნა შესაძლებელი გახდა ალგებრული განტოლებები. გაუსის თეორემა, რომელსაც ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა ეწოდება, ამბობს, რომ ყველა ალგებრულ განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რთული ფესვი. 2. სიბრტყე გარდაქმნები (პარალელური თარგმნა, ბრუნვა, ჰომოთეტურობა, ღერძული სიმეტრია და მათი კომბინაციები) იწერება როგორც მარტივი მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე. 3. რხევითი პროცესები მექანიკასა და ფიზიკაში (ხმისა და სინათლის ტალღების გავრცელება, ელექტრომაგნიტური ფენომენები, ალტერნატიული დენის თვისებები) შესწავლილია ბევრად უფრო მარტივად რთული რიცხვების გამოყენებით. ნებისმიერი ინჟინრისთვის ძალიან მნიშვნელოვანი ჩანს შემდეგი ფრაზა: "განიხილეთ გამტარი, რომლის მეშვეობითაც დენი მიედინება I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (ამპერები) ძალით", თუმცა ერთი შეხედვით ჩანს "წარმოსახვითი" დენს არ შეიძლება ჰქონდეს ფიზიკური მნიშვნელობა. თვრამეტი

20 I IV/ J - რთული რიცხვები მოსახერხებელია თუ არა გეომეტრიული ფიგურების დაყენება სიბრტყეზე? ეს ემყარება შემდეგ მარტივ წესს. თეორემა. ორი რთული რიცხვის სხვაობის მოდული უდრის მანძილს ამ რიცხვების გამომსახველ წერტილებს შორის. ნახაზი აჩვენებს, რომ z2 წერტილის დამაკავშირებელი ვექტორები zu წერტილთან და საწყისი წერტილი + (~z2) ერთმანეთის ტოლია. მაშასადამე, რიცხვი zx - z2\, + (~z2) წერტილიდან საწყისამდე მანძილის ტოლი, უდრის წერტილებსა და z2-ს შორის მანძილს, რაც დასამტკიცებელი იყო. \ z i ~ r2\ = \MgM2\ ორი რთული რიცხვის სხვაობის მოდული როგორ ხდება გამოთვლები რთული რიცხვებით? 1. არითმეტიკული მოქმედებები: (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4)(-5))i = r; i _ (-5 + 7i)(3 + 4i) _ i 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + თუ = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = სხვადასხვა მრუდის განტოლებების დაწერა ორი რთული რიცხვის სხვაობის მოდულის გეომეტრიული ინტერპრეტაციის გამოყენებით: 1 ) რადიუსის R რადიუსის წრე, რომელიც ცენტრირებულია საწყისზე: r = R; 2) R რადიუსის წრე, რომელიც ცენტრირებულია r0 წერტილში: z - Zq\ = R; 3) ელიფსი განისაზღვრება, როგორც წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლის მანძილების ჯამი სიბრტყეში ორ წერტილამდე მუდმივია: z - Zi + z - z21 = a. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 ელიფსი foci.fi(-1; 0) და F2(l; 0) 19

21 კითხვები და სავარჯიშოები 1. გამოთვალეთ: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r) (; 5) r 3 ; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. გააფართოვეთ ხაზოვანი ფაქტორები: 1) a 2 + 4b 2; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a 4 - b 4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x დახაზეთ სიბრტყეზე კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს: 1) \r\ \u003d 3; 3) გ გ< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >ერთი; 6) \iz - 1< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >ბ. ამ განტოლების ამონახსნების აგება

22 მთელი რიცხვი (და ნული). ax = b ფორმის განტოლებას, სადაც a და b არის მთელი რიცხვები და a Ф 0, ასევე ყოველთვის არ აქვს მთელი რიცხვი ამონახსნები. რაციონალური რიცხვების შემოღებით ჩვენ ვიღებთ შესაძლებლობას ჩავწეროთ ამ განტოლების ამონახსნები ნებისმიერი a და b რიცხვებისთვის (იგივე შეზღუდვით a Ф 0). x 2 = 2 განტოლების რაციონალურ რიცხვებში გადაუჭრელობამ გამოიწვია რეალური რიცხვების გამოჩენა, რომლებიც ახლა წარმოგვიდგენია უსასრულო ათობითი წილადების სახით. მათ შორის, უპირველეს ყოვლისა, გამოირჩეოდა რადიკალების საშუალებით გამოხატული, ე.ი. x n = a (a > 0) ფორმის განტოლებათა ფესვების მეშვეობით. ამ ციფრებს უფრო დეტალურად განვიხილავთ თავში. 2. რა თქმა უნდა, დახმარებით კვადრატული ფესვებიმოახერხა კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ამოცანის გამოკვლევა. ალ-ხვარეზმის მეთოდი კვადრატული განტოლების დადებითი ფესვის პოვნის l: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 კუბური განტოლება რადიკალების გამოყენებით ამოხსნა იტალიელმა მათემატიკოსებმა მე-16 საუკუნეში. კუბური განტოლების ამოხსნა x 3 = 1 (x - 1) (x 2 + X + 1) = 0 ალგებრული აღნიშვნაკვადრატული განტოლების რთული ფესვები გეომეტრიული გამოსახულებაგანტოლების ფესვების x 3 \u003d 1 აღსანიშნავია, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც განტოლებას სამი რეალური ფესვი აქვს, კვადრატული რადიკალის ქვეშ იქნება უარყოფითი რიცხვი და ნამდვილი ფესვიიწერება შერწყმული რთული რიცხვების ჯამის სახით. ასე რომ, ჯერ კიდევ მე -16 საუკუნეში. მათემატიკოსები მივიდნენ "წარმოსახვითი" რიცხვების შემოღების აუცილებლობამდე. იტალიელებმა სწრაფად შეამცირეს მეოთხე ხარისხის განტოლება კუბური მეთოდილ. ფერარის მიერ შემოთავაზებული მისი გამოსავალი გამოქვეყნდა დ. კარდანომ 1545 წელს თავის ცნობილ წიგნში Ars Magna. 21

23 D. Cardano () N. X. Abel () E. Galois () კარდანოს ფორმულა განტოლების ფესვების მოსაძებნად x 3 + px + q = 0: მომდევნო საფეხურს თითქმის სამასი წელი დასჭირდა, როდესაც ნორვეგიელმა მათემატიკოსმა ნ. ჰენრიკ აბელმა (იტალიელი პ. რუფინის პარალელურად) დაამტკიცა, რომ არ არსებობს ზოგადი ფორმულამეხუთე ხარისხის განტოლების ამოხსნა. განტოლებების სრული აღწერა, რომელთა ფესვები შეიძლება გამოიხატოს მათი კოეფიციენტების მიხედვით არითმეტიკული მოქმედებების და ფესვების ამოღების გამოყენებით, დაახლოებით ერთსა და იმავე დროს იყო მოცემული შესანიშნავი ფრანგი მათემატიკოსიე გალუა. მან მხოლოდ 21 წელი იცოცხლა და 1832 წელს დუელში გარდაიცვალა, მაგრამ სწორედ მის სახელთან არის დაკავშირებული თანამედროვე ალგებრის დაბადება. გალუას ღრმა ნამუშევრები მხოლოდ მე-19 საუკუნის ბოლოს იქნა გაგებული. ასე რომ, ჩვენ მოკლედ მივყვეთ მრავალწევრის ფესვების პოვნის ერთ ხაზს, განტოლების ფესვების გამოხატვას მისი კოეფიციენტების მეშვეობით არითმეტიკული ოპერაციების გამოყენებით. კიდევ ერთი ხაზი უფრო მეტად უკავშირდება მათემატიკურ ანალიზს. მრავალწევრით განსაზღვრული ფუნქციის გაუჩინარების საკითხი ტიპიური კითხვაა ფუნქციების თეორიაში. ის ფაქტი, რომ რეალური რიცხვები არ არის საკმარისი მრავალწევრის ფესვების აღსაწერად, ცხადი გახდა მე-16 საუკუნეში იტალიელების მუშაობის შემდეგაც. ბუნებრივი კითხვა იმის შესახებ, არის თუ არა საკმარისი რთული რიცხვები რომელიმე მრავალწევრის ფესვის საპოვნელად, საჭიროა თუ არა კომპლექსურ რიცხვებში ახალი რიცხვების დამატება, გადაჭრა გერმანელმა მათემატიკოსმა კ.ფ.გაუსმა და გამოაქვეყნა მე-18 საუკუნის ბოლოს. მან დაამტკიცა, რომ ნებისმიერ განტოლებას (თუნდაც რთული კოეფიციენტებით) აქვს რთული ფესვი. აქსიომები კონსტრუქციული გზა, რომელიც ჩვენ აღვწერეთ კითხვაზე: "რა არის რიცხვი?" არ არის ერთადერთი. ამ კითხვაზე პასუხის ნაცვლად, თანამედროვე მათემატიკა გვთავაზობს უფრო ზუსტად ჩამოაყალიბოს რა არის

რიცხვების 24 თვისება, რა ოპერაციების შესრულება შეიძლება მათთან. სხვადასხვა რიცხვთა სისტემას აქვს ამ ოპერაციების განსხვავებული თვისებები. ყველაზე მდიდარი სისტემა არის სფერო. რიცხვითი სისტემა აყალიბებს ველს, თუ ორივე მოქმედება (შეკრება და გამრავლება) საშუალებას იძლევა შესრულდეს შებრუნებული მოქმედებები (გამოკლება და გაყოფა). ნებისმიერ რიცხვთა სისტემას, რომელსაც აქვს ორი ოპერაცია, რომლისთვისაც ცხრა აქსიომაა, ეწოდება ველი. რაციონალური რიცხვების Q სიმრავლეები, რეალური რიცხვების R არის ველები. ნატურალური რიცხვების სიმრავლეები N, მთელი რიცხვები Z, დადებითი რიცხვები R* არ არის ველები. ველის აქსიომები სრულად არ აღწერს რეალური რიცხვების ყველა თვისებას, რომელიც ჩვენ გვჭირდება. მხოლოდ იმაზე საუბრობენ არითმეტიკული მოქმედებებიმათ ზემოთ. ასევე არსებობს თვისებების ფართო ჯგუფი, რომელიც დაკავშირებულია უტოლობის ცნებებთან და რიცხვებს შორის მანძილებთან. ამ თვისებებს დავუბრუნდებით მათემატიკური ანალიზის პრინციპების შესწავლისას (იხ. თავი 9). გარდა „სტანდარტული“ ველებისა Q და R, არის მრავალი სხვა ველი. მათ შორის განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ე.წ სასრული ველები, ე.ი. სისტემები, რომლებიც შედგება ელემენტების სასრული რაოდენობისგან და ამავე დროს არიან ველები. თუ ავიღებთ ერთ თვითნებურ მარტივ რიცხვს p და განვიხილავთ ნაშთებს სხვა თვითნებური მთელი რიცხვის p-ზე გაყოფის შემდეგ (იქ იქნება ზუსტად p: 0, 1, 2, ..., p - 1), მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ნაშთების შეკრება და გამრავლება. ისე ბუნებრივად რომ ჩამოყალიბდებიან ველი. ამისათვის თქვენ უნდა შეასრულოთ ჩვეულებრივი ოპერაციები ნაშთებზე, როგორც მთელ რიცხვებზე და მიღებული რიცხვი შეცვალოთ გაყოფის ნაშთით p-ზე (ამბობენ: გამოთვალეთ მოდულო p). მაგალითად, 5-ზე გაყოფის ნაშთებზე შეგიძლიათ შეასრულოთ ყველა ოპერაცია: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, ე.ი. -3 = 2 და -2 = 3 და ასე შემდეგ. აქსიომები 1. შეკრება და გამრავლება არის კომუტაციური და ასოციაციური, ე.ი. შემდეგი იდენტობები მოქმედებს: 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a (bc). 2. შეკრებას და გამრავლებას აქვს ნეიტრალური ელემენტები (ნული შეკრებისთვის და ერთი გამრავლებისთვის): 5) a + 0 = a; 6) 1 a = a. 3. შებრუნებული ოპერაციები შესაძლებელია: 7) ყოველი a რიცხვისთვის არსებობს საპირისპირო ნომერი(-და ისინი. a + + (-a) = 0; 8) a Ф 0 თითოეული რიცხვისთვის არის შებრუნებული რიცხვი a -1, ე.ი. a-a" 1 = განაწილების კანონი: 9) a(b + c) = ab + ac.

25 ნ ნ მ შ მ ნ ვ შიშშშშშ< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 ნატურალური რიცხვი; მაგრამ თვითნებური რიცხვი. შემდეგ "n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a: a რიცხვის 2 \u003d a-ა; a რიცხვის 3 \u003d a-a-a კუბი. p 2" ნატურალური რიცხვები განისაზღვრება თანმიმდევრობით, დაწყებული ერთიდან. (N \u003d 1 , 2, 3...). თუ ჩვენ ვიცით n რიცხვი, მაშინ შემდეგი რიცხვი იქნება n + 1. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად განვსაზღვროთ გრადუსები ბუნებრივი მაჩვენებელი: ჩვენ გვჯერა, რომ a 1 = a; ვიცით a", ჩვენ ვაყენებთ n + 1 = a p a. 2. ხარისხის ცნების განზოგადება თვითნებურ მთელ რიცხვებზე. ნებისმიერი რიცხვისთვის a * 0, ჩვენ განვსაზღვრავთ a p = a p სადაც p არის ნატურალური რიცხვი. დაამატეთ a-ს განმარტება. ხარისხი მაჩვენებლით: a 0 = a"" = 1, a * O. a" ნულოვანი 24

26 3. გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვითი უფსკრულით: გამრავლება: a t a n = a m + n; გაყოფა: a t: a n = a t ~ n; ექსპონენტაცია: (a n) n = a mp. 4. გეომეტრიული პროგრესია. გეომეტრიული პროგრესია არის მიმდევრობა, რომელიც მოცემულია პირველი წევრით a1 და განმეორებითი მიმართებით an+1 = an q, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს გამოთვალოს მისი რომელიმე წევრი წინას ცოდნაში. მუდმივ რიცხვს q ეწოდება პროგრესიის მნიშვნელი. ზოგადი ტერმინის ფორმულა: ap \u003d ax q p ~ 1. n წევრის ჯამი: Sn \u003d% q n -1 (q Ф 1). q-1 5. ძალაუფლების დამოკიდებულებები და ფუნქციები. ნებისმიერი მთელი რიცხვის არჩევით m, შეიძლება ავაშენოთ ძალაუფლების ფუნქცია y = kx m, რომელიც განისაზღვრება ყველა x-სთვის, თუ m არის ნატურალური რიცხვი, და ყველა x-სთვის ნულის გარდა, თუ m.< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х კვადრატული ფუნქცია y \u003d X 2 კუბური ფუნქცია (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. მაჩვენებლების გაზრდისას მრავლდება მაჩვენებლები, ხარისხების გამრავლებისას ისინი ემატება 2. დაალაგეთ ხარისხები ზრდადი თანმიმდევრობით:

27 rat / un fupptspp at lp ჩვენ ვამცირებთ ყველა გრადუსს ერთ ფუძემდე: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. ვინაიდან რიცხვი 2 > 1 და 2 * > 0 ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის k, მაშინ 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის k. მაშასადამე, ჩვენ ვაწყობთ მაჩვენებლებს ზრდის მიხედვით: -3< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. განსაზღვრეთ პირველი წევრი ფორმულიდან -ერთი]. x გრაფიკზე ჩანს, რომ ფუნქცია y მცირდება მითითებულ ინტერვალზე. მაშასადამე, ის იღებს M-ის უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარცხნივ 1_ 1 ბოლოს: M = -2 ~ 2 5. განსაზღვრეთ შენატანის ოდენობა. ბანკი ანაბარზე ყოველწლიურად ერიცხება x%-ს. წლის ბოლოს დეპოზიტს ემატება პროცენტი. როგორი იქნება წვლილი n წელიწადში? ავღნიშნოთ საწყისი წვლილი A-ით. კონქსით (წლის ბოლოს ის გახდება A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^ მაშასადამე, წელიწადში წვლილი მიიღება გამრავლებით. რიცხვი ^ = 1 x Jqq "გეომეტრიული პროგრესია A , Aq, Aq 2,... იძლევა შენატანების თანმიმდევრობას ყოველი წლისთვის.26

28 წვლილისთვის ფორმულა An n წლის შემდეგ Lp =.A^l + j ეწოდება რთული პროცენტის ფორმულას. შედგენილი ინტერესის ფორმულა А =А კითხვები და სავარჯიშოები 1. გამოთვალეთ: 1) 2 10 ; 3) "2.3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3)" 2 (0.1) "6 - (4-3) - 2. გაამარტივეთ: 5 "IttI: 3. რომელი რიცხვი უფრო დიდია: 1) ან Z 20; 2) a 3) Z99 3 ან () 3; 2) ან; 4. იპოვეთ x განტოლებიდან: 4) 9 "2 ან) 2 x \u003d 2) 10 2d: " 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი (a) უდრის 1-ს, ხოლო მნიშვნელი q \u003d 1.1. რა უმცირეს n-ზე გახდება ტერმინი an ორზე მეტი? 6. განსაზღვრეთ გრაფიკიდან, რომლისთვისაც x ფუნქციის მნიშვნელობები y \u003d 2x 2 მეტია ან ტოლია y \u003d X ფუნქციის მნიშვნელობებზე. 7. რა არის მნიშვნელობების სიმრავლე y \u003d x k ფუნქციების k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. იპოვეთ უმცირესი და უდიდესი ღირებულებაფუნქციები y \u003d x ~ 2 ინტერვალზე [-3; -2]. _8_ 27 „გაკვეთილი 2 ფესვი n-ე ხარისხირა არის ფესვი n-ე ხარისხიდა რა თვისებები აქვს? 1. განმარტება. მოდით n > 1 იყოს ნატურალური რიცხვი; მაგრამ თვითნებური რიცხვი. a-ს n-ე ფესვი არის რიცხვი b ისეთი, რომ b n = a. a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a a\u003e 0 \/a "\u003d y / a a\ u003e 0 27

29 p sfn 2 1.41 3 1.24 6 2.45 7 2.65 8 2.16 კუბის კიდე /1 / V 1 a V = a 3 a = Vv კვადრატული დიაგონალი მაგალითად, რიცხვი 3 არის მე-4 ხარისხის ფესვი 81 რიცხვიდან, ვინაიდან Z. 4 \u003d 81. რიცხვი -3 ასევე არის 81 რიცხვის მე-4 ფესვი, რადგან (-3) 4 ასევე არის 81. განტოლებების ენაზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განტოლების n-ე ფესვი a რიცხვიდან არის ფესვი x n = a. 2. არსებობა. > 0-სთვის, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n > 1, არის უნიკალური დადებითი ფესვი n-ე ხარისხი ნომრიდან ა. იგი აღინიშნება რადიკალური ნიშნით: a > 0-სთვის y/a არის რიცხვი b ისეთი, რომ b > 0 და b n = a. აღნიშვნა \[a ვრცელდება a = 0: \/0 = 0-მდე და a-მდე< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, ნატურალური რიცხვი) აქვს ფესვების შემდეგი რაოდენობა: 1) n არის ლუწი: a-სთვის ფესვები არ არსებობს< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n არის კენტი: ერთი ფესვი l/a ნებისმიერი a-სთვის. 4. რადიკალების თვისებები: 1) = a, b > 0; კუბის დიაგონალი 3) \u003d m 7a; a > 0; 4) 0< а < b =>^ ა. რატომ არის შემოტანილი n-ის ფესვებიგრადუსი? n-ე ფესვის პოვნა ან, როგორც ტრადიციულად ამბობენ, ფესვის ამოღება n-vi გრადუსიეს არის დადებითი რიცხვის ხარისხზე აყვანის საპირისპირო ოპერაცია:

30 a p = b<=>a = " და, o > და). მაგალითად, კუბის V მოცულობა a კიდეზე უდრის a-ს კუბს: V = a 3. პირიქით, V მოცულობის კუბის ზღვარი არის V-ის კუბური ფესვი: a = y/v. . n-ე ხარისხის ოპერაცია, დადებითი რიცხვის სიძლიერის ინვერსია რატომ არის სწორი ფესვების მითითებული თვისებები? 1. ფესვების არსებობის საკითხი რეალურად ახალი რიცხვების აგების საკითხია. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, კვადრატის დიაგონალი 1-ის გვერდით არის 2-ის კვადრატული ფესვი. იცოდნენ მხოლოდ რაციონალური რიცხვები და ეჭვი არ ეპარებოდათ კვადრატული დიაგონალის არსებობაში, ძველი ბერძენი მათემატიკოსები იძულებულნი იყვნენ აღმოეჩინათ რიცხვი n/2, ე.ი. კვადრატული ფესვების გათვალისწინება არა მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ასეთი ფესვები შეიძლება გამოიხატოს ადრე ცნობილი რაციონალური რიცხვებით. ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის აგების შემდეგ, მაგალითად, უსასრულო ათობითი წილადების გამოყენებით, მათემატიკოსებმა დაადგინეს y/a-ს არსებობა ნებისმიერი n-ისთვის და a > 0-ისთვის. როდესაც, მაგალითად, უარყოფითი რიცხვების კვადრატული ფესვები (რომელიც არ შეიძლება იყოს რეალურ რიცხვებს შორის. საჭირო იყო მე-16 საუკუნის იტალიელი მათემატიკოსები. ახალი ნომრების შემოღება მომიწია, რომლებზეც დარეკა დაიწყეს წარმოსახვითი რიცხვები. 2. ფესვების რაოდენობის საკითხი შედარებით ადვილად გადასაწყვეტია. ის, რომ დადებითი რიცხვის ერთზე მეტი დადებითი ფესვი არ შეიძლება იყოს, დასტურდება უტოლობების თვისებების გამოყენებით. მოდით b1 და b2 იყოს a-ს განსხვავებული დადებითი n-ე ფესვები. თუ რიცხვები განსხვავებულია, მაშინ ერთი მათგანი მეორეზე მეტია, მაგალითად, b1 > b2. უტოლობების დადებით წევრებზე გამრავლებით მივიღებთ bf > b2, ე.ი. a > a, რაც არასწორია. 3. რადიკალების თვისებები მოწმდება გრადუსების თვისებების გამოყენებით. მაგალითად, როგორ შეიძლება ამის დამტკიცება განმარტებით, y/ab დადებითია, საინტერესოა: რიცხვი y/a+y/b, სადაც a და b არის მთელი რიცხვები, რომლებიც არ არიან კვადრატები, არ შეიძლება იყოს მთელი რიცხვი, მაგრამ შეიძლება იყოს ძალიან ახლოს. ვარჯიში: ში ათობითი აღნიშვნარიცხვები l/v ხუთი ათობითი ადგილი ასეთია: ..., გამოიყენეთ კალკულატორი ამ რიცხვის მთელი ნაწილის გამოსათვლელად. მაგალითები ^8=^5-1/8=2^/5 რადიკალების პირველი თვისების მიხედვით; გაამარტივეთ რადიკალების შემცველი შემდეგი გამონათქვამები:

31 გაამარტივეთ რადიკალების შემცველი შემდეგი გამონათქვამები:. Vl-2^3+^9. კვადრატული ფესვის ქვეშ არის სრული მოედანი I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1. 2-ის კვადრატული ფესვის ამოღებისას გავითვალისწინეთ a: 1_z / z ნიშანი<0=>^/3-1>0. ამრიგად: ლ/ლ - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w. და IVUTUpUi "U pauii" * "" ვიცით, რომ ასეთი რიცხვი უნიკალურია. მოდით შევამოწმოთ, რომ რიცხვი y[a აკმაყოფილებს ამ პირობებს. ეს არის დადებითი (როგორც ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი) და მისი n-ე ხარისხიუდრის ab: (Va Ф)У = (Ta) "(Tfc)" = a b. როგორ წყდება პრობლემები root-ის გამოყენებით? მოცემულია: ბგერათა სიხშირეების თანმიმდევრობა ქმნის გეომეტრიულ პროგრესიას; აგ = ა; a10 = 2a. იპოვეთ: ქ. ამოხსნა: რადგან a10 \u003d axq 9, მაშინ q აკმაყოფილებს განტოლებას 2a \u003d a q g, ანუ q g \u003d 2 და \u003d V (= 1/3-1; 1 "ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს არასრულ კვადრატზე. რიცხვებისა და 1-ის ჯამი (n/2 + 1) და მივიღებთ რიცხვებს რადიკალის ნიშნის ქვეშ, ხარისხების მიხედვით მარტივი რიცხვებიდა გამოიყენე) \J ^/2-ლ/ზ 5 ^ კითხვები და სავარჯიშოები 1. ჩამოთვლილი რიცხვებიდან რომელია რაციონალური: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/b4; 3) + ; 4) ვ? [ > sli ooo+vioooo v / 2. ტოლობები ყოველთვის მართალია 1) =а 3 ; 2) =a 4? 3. გამოთვალეთ: 1) Tb TG0 სთ/15; 2) V5-Vl25-^216; 3) 4) ^9-4>/5. ოცდაათი

32 1),/0.999 ან 0.999; 3) 3/10000 ან 21; 2) ^2009 ან 2^2008; 1 + V2 4) ^ + თუ 2^2-3? 5. გაამარტივეთ გამოთქმა: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr'Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5 "3) 1-4/2" 4) V2 + V3 + V5 "გაკვეთილი 3 გრადუსი რა იგულისხმება ხარისხით თვითნებური მაჩვენებლით? 1. x გრადუსი x რიცხვის სხვადასხვა მინიჭებისთვის. მოდით დადებითი რიცხვი მოცემულია a. როგორ გავზარდოთ ის x-ის ხარისხზე? პასუხი დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ არის მოცემული რიცხვი x: 1) x არის მთელი რიცხვი. როგორ განისაზღვრება ხარისხი თვითნებური მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ჩვენ გავიმეორეთ ადრე, 2) x არის რაციონალური რიცხვი, დაწერილი k-ში, როგორც x-, pral. სადაც და k არის მთელი რიცხვი, n არის ბუნებრივი განმარტებით, a n = \a k., მოცემული რაციონალური მიახლოებების მიმდევრობით x0, x1r x2,..., xn,... xt რიცხვები რაციონალურია, ისინი შეიძლება დაიწეროს k, როგორც ჩვეულებრივი წილადები x, =. შემდეგ Wh ხდება ცალსახად განსაზღვრული რიცხვები h.] მიმდევრობა y0, yi..., yk1 არის მიახლოებების თანმიმდევრობა გარკვეული რიცხვი y, რომელიც მიღებულია როგორც ცულის ძალა. თქვენი ხარისხები. გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით გადადის ხარისხებად ნებისმიერი მაჩვენებლით: ისტორიის მინიშნებადადებითი წილადური ინდიკატორები იყო პირველი, რომელიც გამოიყენა ფრანგმა მეცნიერმა ნ. ორემმა (). ნული და მთელი რიცხვები უარყოფითი მაჩვენებლებიგამოჩნდა 100 წელზე მეტი ხნის შემდეგ და ასევე საფრანგეთში (ნ. შუკე). სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკები დადებითი წილადის მაჩვენებლებით მაგალითი 2 n-ის ხარისხის გამოსათვლელად, ჩვენ წარმოვადგენთ ts რიცხვს, როგორც უსასრულო ათობითი წილადი l \u003d 3, ჩვენ ვწერთ ათობითი მიახლოებების თანმიმდევრობას l რიცხვზე XQ 3, xt სახით. 31 10 "3141 Xo \u003d 1000 და ა.შ. "31

33 შემდეგ განიხილეთ რიცხვები 2 x "= 8, 2*i = 8.574, 2*2= 10^2 iit = 8.815 და ა.შ. ეს თანმიმდევრობა განსაზღვრავს ზოგიერთ რიცხვს y, რომელიც არის 2 რიცხვის სიმძლავრე". რიცხვი 2 "-ის პირველი ათობითი ადგილები ასეთია: 2" \u003d 8, გრადუსების თვისებები (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a b 3! l U 3 J g "b 12 მაგალითები, როდესაც მრავლდება მაჩვენებლების ხარისხი; Z 2 Z 3 \u003d \u003d \u003d Z 5 გამრავლებისას, ემატება მაჩვენებლები. მართლაც, თუ r \u003d \u003d \u003d, TO 003d \u003d " 2 P 1-" 2 ერთის მხრივ, და r \u003d a "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32

34 2) თუ რაციონალურ მიახლოებათა თანმიმდევრობას შევცვლით იმავე რიცხვზე, მიახლოვდება თუ არა ხარისხთა შესაბამისი მიმდევრობა იმავე რიცხვს? 3. რაციონალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხების თვისებები დასტურდება რადიკალების თვისებების საფუძველზე და შემდეგ გადადის თვითნებურ მაჩვენებლებზე. როგორ გამოიყენება ხარისხები თვითნებური ინდიკატორით პრობლემების გადაჭრაში? 1. გრადუსების გამოთვლა ფესვების მეშვეობით: > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. შემცირება ერთ ფუძემდე: 1 z ჩვენ ვწერთ რიცხვებს 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I, როგორც 3 რიცხვის ხარისხები რაციონალური მაჩვენებლით: X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (Z 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = სთ! 3. გამონათქვამების ტრანსფორმაცია 4 1 /? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. უმარტივესი განტოლებების ამოხსნა: 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1 ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => ЛГ = _ 2. ბერნულის უტოლობა ძალების შედარებისას ხშირად უხდება სხვადასხვა უტოლობების გამოყენება. სასარგებლო უთანასწორობა(ცნობილი ბერნულის უტოლობის განსაკუთრებული შემთხვევა): მოდით x > 0, n > 1, შემდეგ (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x. რჩება უტოლობის შემოწმება n = 2-ისთვის. სინამდვილეში, ბერნულის უტოლობა მართალია არა მხოლოდ x > 0-ისთვის, არამედ -1-ისთვისაც.< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >r და a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8"r - 1) და s-r 0. მიიღეთ - x a "~ r -1< (1 + дс)" -1<-. п х Окончательно: а" -а г < а г. п Ясно, что за счет выбора большого п разность a s - а г может быть сколь угодно малой. 33

35 კითხვები და სავარჯიშოები 1. რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხად ჩამოწერეთ: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 3/25; "ში"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>ᲛᲔ); კ) ნაძვი. 3. გააკეთეთ შემდეგი: i l l 1) * 28; 2) \ "; 3) 4) Uz3 / 9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. დაალაგე რიცხვები ზრდის მიხედვით: S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 სთ; ს ლ 5 5) წა 2) ს ჯ; 6) "1" 93 2) I z I; s; 9 Z; 34; 3) 2 4; ; (-3) 4; ; J1 4) Z 3; (-2) 3; 2 e. 5. დაამტკიცე უთანასწორობა :)< ;) 33 >4^ >55; 4) > 1. 6. ამოხსენით განტოლებები ძალაუფლების ფუნქციების (ან მათი კომბინაციების) გამოსახვით მის მარცხნივ და მარჯვენა ნაწილები: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 მ 3) Zx 3 \u003d \ x - 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; 6) x z \u003d x \ 2

36 გაკვეთილი 4 ლოგარითმები რა არის ლოგარითმი? 1. განმარტება. c რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე არის რიცხვი b ისეთი, რომ a b = c, ე.ი. მაჩვენებელი, რომელზეც ფუძე უნდა გაიზარდოს c-ის მისაღებად: b = logac. საფუძველი და რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს დადებითი. გარდა ამისა, ვარაუდობენ, რომ a Ф 1. თუ საფუძველი a \u003d 10, მაშინ c რიცხვის ასეთ ლოგარითმს ეწოდება ათობითი და აღინიშნება lgc, ე.ი. lgc = log10c. 2. ლოგარითმების თვისებები. ხარისხებისა და ლოგარითმების თვისებები ურთიერთდაკავშირებულია: ისტორიული ფონი ლოგარითმების პირველი ცხრილები რეალურად ააგო გერმანელმა მათემატიკოსმა მ. შტიფელმა (). შოტლანდიელმა მათემატიკოსმა ჯ.ნაპიერმა თავის ნაშრომში „ლოგარითმების საოცარი ცხრილის აღწერა“ (1614) გამოკვეთა ლოგარითმების თვისებები, ცხრილის გამოყენების წესები და გამოთვლების მაგალითები მოიყვანა. მას შემდეგ, დიდი ხნის განმავლობაში, ლოგარითმებს ეძახდნენ "არათანაბარ". ძალაუფლების თვისებები ლოგარითმები ჟურნალი(c1c2) = logac! + logac2 ლოგა = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = ლოგა n 3. ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა. ტოლობები a b = c და b = logac გამოხატავს იგივე მიმართებას a, b და c რიცხვებს შორის. ტოლობაში a b = c რიცხვის ლოგარითმის სახით გამოსახვის ჩანაცვლებით, მივიღებთ მთავარ ლოგარითმულ იდენტობას: a log c = c. c-ის სიმძლავრის გამოსახულების ჩანაცვლებით ტოლობით b = logac, მივიღებთ კიდევ ერთ იდენტურობას: logaa ft = b. 4. ახალ ბაზაზე გადასვლა. რიცხვების ლოგარითმი ერთმანეთის პროპორციულია სხვადასხვა მიზეზის გამო: ჯ.ნაპიერი () ჯ.ნაპიერის მიუხედავად, შვეიცარიელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და საათის მწარმოებელი ი.ბურგი (), რომელიც მუშაობდა დიდ ი.კეპლერთან, გამოქვეყნდა 1620 წელს ანალოგიურად. , თუმცა ნაკლებად სრულყოფილი, ლოგარითმული ცხრილები. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობის ლოგაქსი = fclogbx. alog C _c

37 ლოგარითმების გამოყენება 1. ცვლადი მასის რაკეტის ფრენა. ციოლკოვსკის ფორმულა აკავშირებს რაკეტის სიჩქარეს და მასას m: v = kvx\g, m სადაც v1 არის გამავალი აირების სიჩქარე; მ0 რაკეტის გაშვების მასა; k კოეფიციენტი. გაზის გადინების სიჩქარე Wj საწვავის წვის დროს დაბალია (ამჟამად ის 2 კმ/წმ-ზე ნაკლები ან ტოლია). ლოგარითმი ძალიან ნელა იზრდება და კოსმოსური სიჩქარის მისაღწევად აუცილებელია თანაფარდობა დიდი იყოს, ე.ი. მიეცით თითქმის მთელი საწყისი მასა საწვავისთვის. 2. ხმის საიზოლაციო კედლები. კედლების ხმის იზოლაციის კოეფიციენტი იზომება შემდეგი ფორმულით: სადაც p0 არის ხმის წნევა შთანთქმამდე; p არის კედელში გამავალი ბგერის წნევა; და ზოგიერთი მუდმივი, რომელიც გამოთვლებში აღებულია 20 დბ-ის ტოლი. თუ ხმის საიზოლაციო კოეფიციენტი D a არის 20 dB, მაშინ lg ^ - \u003d 1 და P p0 \u003d Yur, ანუ კედელი ამცირებს ხმის წნევას 10-ჯერ (ხის კარს აქვს ასეთი ხმის იზოლაცია). Р ლოგარითმების თვისებების გამოყენება 1. ლოგარითმების გამოთვლა. log2256 = log22 8 = 8; lg0.001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = პროპორციულობის კოეფიციენტი k გამოითვლება შემდეგნაირად: k = log, a ან k = logab. მას უწოდებენ გადასვლის მოდულს ერთი ფუძიდან. ლოგარითმი მეორეზე. კერძოდ, logax = log!-, rx რადგან loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C რატომ არის საჭირო ლოგარითმები? ასტრონომების ცხოვრება. მართლაც, პირველი მიზანი ლოგარითმების რთული გამოთვლების გამარტივება იყო, რომლებშიც ლოგარითმების გამოყენებით გამრავლება შეიცვალა მიმატებით. ბოლო დრომდე ყველა ინჟინერს ჯიბეში ჰქონდა სლაიდის წესი, რომლითაც შეგეძლოთ შეასრულოთ სხვადასხვა გამოთვლები, რომლებიც ახლა სრულდება კალკულატორზე. ლოგარითმებში შესაძლებელია ამოცანების ამოხსნა, რომლებიც შებრუნებულია სიმძლავრის მიმართ: თუ a x = b, მაშინ უცნობი x შეიძლება დაიწეროს ლოგაბის სახით, ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვანია არა ჩაწერის შესაძლებლობა, არამედ ის, რომ b შეცვლა. , ანუ x = ლოგას და bj-ის ფუნქციის გათვალისწინებით აღმოვაჩენთ ახალ ჰას ფუნქციური დამოკიდებულება. ლოგარითმული ფუნქციები მნიშვნელოვნად შეავსებს დამოკიდებულების მარაგს შედარებით ხელმისაწვდომი მარტივი შესწავლა. რატომ აქვთ ლოგარითმებს ასეთი მოსახერხებელი თვისებები? 1. ლოგარითმების წესების დადასტურება. ყველა ლოგარითმის წესი დადასტურებულია სიმძლავრის თვისებების გამოყენებით. დავამტკიცოთ, მაგალითად, ნამრავლის ლოგარითმის წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ლოგარითმების ჯამის ტოლია. 36

38 აღნიშნე ლოგაკი! = bly logac2 = b2. ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის მიხედვით, გვაქვს Y \u003d cx, a h \u003d c2- გავამრავლოთ ეს ტოლობები: abiabz \u003d CiC2\u003e გრადუსების თვისების მიხედვით a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, ანუ Clc2. \u003d a bl + b2. ლოგარითმის განმარტებით bz + + b2 = loga(cic2), შემდეგ l0ga(c!c2) = logac! + logac2, რისი დამტკიცება გვინდოდა. საიდანაც loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta ეს ფორმულა ხშირად იკითხება შემდეგნაირად: რიცხვის ლოგარითმი ახალ ფუძესთან არის რიცხვის ლოგარითმი ძველ ფუძემდე გაყოფილი ახალი ფუძის ლოგარითმზე ძველ ფუძემდე პროპორციულობის ფაქტორი შეიძლება იყოს იწერება როგორც k = log ab, ვინაიდან logai > logba = 1 (ფორმულაში ჩადეთ x = b) 2. ლოგარითმი 2 f მოცემულია: A = (looa 3 &j. იპოვეთ: lga. ამოხსნა. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. პოტენციაცია (გამოხატვის პოვნა მისი ლოგარითმით) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 = log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. გადასვლა ერთ ბაზაზე. მოცემულია: A = ლოგი ა - log^a og8a. 4 გადადით საფუძველზე 2. გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ log22* = k ეს დაგეხმარებათ სიტყვიერად იპოვოთ გადასვლის მოდული. 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 th i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" П ] 6 log2a. ^ კითხვები და სავარჯიშოები 1. გამოთვალეთ: 1) log a, ლოგალი, ლოგაა 5, ლოგაი, ლოგავ^, ლოგა^/ა 3; 1 a f? მოცემული გამოხატულებაბაზაში a: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab

39 3. იპოვეთ A გამოთქმა ლოგარითმით: 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - In cos L; (In არის ლოგარითმი e ფუძით (e "2.71828), რომელსაც ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმი); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. დაადგინეთ რიცხვებიდან რომელია მეტი: 5) log34 თუ 1; 1) log32 ან 0; 2) log j 3 ან 0; 6) ჟურნალი! ან 1; n 8 9) შესვლა! 7 ან ჟურნალი, 10; 10) შესვლა, ან ჟურნალი!. Z 5 Z 7 3) logs-ან 7) log23 ან log25; 4) logx ან 0; 8) log27 ან l g2-; 5. შეცვალეთ ლოგარითმები log, a, log8a, log! a, log2a, log3a საბაზისო ლოგარითმებში იპოვეთ: 1) log9, თუ logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b. 2) log915 თუ log 25 = a; გაკვეთილი 5 ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები შვიდი არითმეტიკული მოქმედებები შეკრება გამრავლება განზომილება a + b = c გამოკლების გაყოფა ფესვის ამოღება ლოგარითმი c-b = a c-a = b a-b = c I- a b = c c b = a logac = b რას იძლევა ახალი ხარისხები და ლოგარითმები ფუნქციების შესწავლა? 1. ერთი დამოკიდებულების სამი ფუნქცია. განვიხილოთ სამი ცვლადი x, y და z, რომლებიც დაკავშირებულია დამოკიდებულებით z x = y. მოდით დავაფიქსიროთ r = a ცვლადის მნიშვნელობა იმით, რომ დაკმაყოფილდეს პირობები a > 0 და Φ 1. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ურთიერთობა დანარჩენ ორ ცვლადს შორის, როგორც y = ax. x-ის თვითნებურად შეცვლით, ვიღებთ ექსპონენციალურ ფუნქციას, ანუ ექსპონენციალს. გამოვსახოთ x ცვლადი y-ის ფუნქციის სახით იგივე მიმართებიდან y = ax: x = ლოგაი. y-ის არგუმენტის შეცვლით მივიღებთ ლოგარითმულ ფუნქციას. თუ იმავე თანაფარდობით r x = y ვაფიქსირებთ x = k ინდექსს, მაშინ მივიღებთ უკვე ნაცნობ სიმძლავრის ფუნქციას y = z k. მეტი პროგრამული უზრუნველყოფა

40 მიიღებს ერთ სიმძლავრის ფუნქციას, 1 z-დან y \ z = y k. რა თქმა უნდა, ყველა ამ გადასვლებში უნდა დაიცვას ცვლადებზე დაწესებული შეზღუდვები. ჩვენ უკვე გავაკეთეთ ეს ექსპონენციალური ფუნქციისთვის y = a x, დაშვებით, რომ a > 0 და Φ 1. ლოგარითმული ფუნქციისთვის x = ლოგაი, დამატებით უნდა მოვითხოვოთ, რომ y იყოს დადებითი, რადგან x > 0, და განვსაზღვროთ x დან. x = y მიმართება აუცილებელია იმისთვის, რომ y იყოს 0-ზე მეტი. თავად იფიქრეთ, რა შეზღუდვები უნდა დააწესოთ ცვლადებზე, რათა განიხილოთ სიმძლავრის ფუნქციები. 2. y \u003d a x ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი: განსაზღვრების დომენი: ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე R; ერთფეროვნება: a > 1-ისთვის, ფუნქცია y \u003d a x იზრდება, 0-ისთვის< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; მუდმივი ნიშნის ინტერვალები: - a> 1 y = 0 x = 1-ისთვის; ზე< 0 при 0 < х < 1; у >0 x > 1-ისთვის; - 0-ზე< а < 1 у < 0 при х >ერთი; y > 0 0-ზე< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >1 იზრდება განმარტების მთელ დომენზე, 0-ზე< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2

41 რადიოაქტიური დაშლა პოპულაციის ზრდა ბარომეტრიული ფორმულა ლოგარითმების ცხრილი a log2a log a 2 1 0,47712-დან 1,01030-მდე (იპოვეთ ამ ცხრილის რიცხვებს შორის მიმართებები!) წინა გაკვეთილი). რადიოაქტიური დაშლა. რადიოაქტიური ნივთიერების მასის ცვლილება ხდება ფორმულის მიხედვით m(t) = m0-2~ s, სადაც m0 არის ნივთიერების მასა საწყის მომენტში t = 0; t არის მატერიის მასა t დროს; k არის გარკვეული მუდმივი (ნახევარგამოყოფის პერიოდი). Მოსახლეობის ზრდა. ქვეყანაში მოსახლეობის ცვლილება მოკლე დროში კარგი სიზუსტით არის აღწერილი ფორმულით N = N02 at, სადაც N0 არის ხალხის რაოდენობა t = 0-ზე; N არის ხალხის რაოდენობა t დროს; მაგრამ გარკვეული მუდმივი. მსგავსი ფორმულა გამოიყენება ცხოველთა პოპულაციაში ინდივიდების რაოდენობის ცვლილების გამოსათვლელად გარკვეულ პირობებში (მაგალითად, როდესაც არის საკმარისი საკვები და არ არის გარე მტრები). ბარომეტრული ფორმულა. ჰაერის წნევა მცირდება სიმაღლესთან ერთად (მუდმივ ტემპერატურაზე) კანონის მიხედვით p = p0e n, სადაც p0 არის წნევა ზღვის დონეზე (h = 0); p წნევა h სიმაღლეზე; H არის გარკვეული მუდმივი ტემპერატურის მიხედვით. 20 CJ ტემპერატურაზე - 7,7 კმ. 2. ფონდის როლი ა. აუცილებელია თუ არა განიხილოს ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები a-ს სხვადასხვა ფუძით? ფაქტობრივად, საკმარისი იქნება შემოვიფარგლოთ ერთი ფუძით, მაგალითად, მივიღოთ a = 10. მართლაც, a* = 10**, სადაც k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10**, k \u003d lga. სხვა ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მიხედვით, ვიღებთ ლოგას * = k \ gx, სადაც k \u003d!. lga ამიტომ, y \u003d a x ფორმის ფუნქციების ნაცვლად, ჩვენ ვიღებთ შეუძლია განიხილოს ფუნქციები იგივე ფუძით, მაგრამ კოეფიციენტით არგუმენტის მნიშვნელობით: y = 10** ანალოგიურად, ლოგარითმული ფუნქციებისთვის, 40

42 განვიხილავთ ფუნქციებს ფიქსირებული ფუძით, მაგრამ კოეფიციენტით ფუნქციის მნიშვნელობით: y = k\gx. ზოგიერთი ბაზა განსაკუთრებულ როლს ასრულებს: a \u003d 10 (ათწილადი ლოგარითმი). ვინაიდან ჩვენ ვწერთ რიცხვებს ათობითი აღნიშვნით, რიცხვის A \u003d Yu "ერთეულის სახით დაწერა გვეხმარება A რიცხვის რიგითობის გაგებაში. გაითვალისწინეთ, რომ ნატურალური რიცხვისთვის A რიცხვი + 1 აჩვენებს ციფრების რაოდენობას ათწილადში. A რიცხვის აღნიშვნა ([a] აღნიშნავს a რიცხვის მთელ ნაწილს); a \u003d 2 (ორობითი ლოგარითმი. კომპიუტერულ მეცნიერებაში გამოიყენება ორობითი რიცხვების სისტემა; a \u003d e (ბუნებრივი ლოგარითმი). ეს რიცხვი არის ლ.ეილერის სახელით არის ირაციონალური და დაახლოებით 2.7-ის ტოლია რატომ არის ჩამოთვლილი თვისებები ექსპონენციალური და 1. ექსპონენციალური ფუნქციის ერთფეროვნება ავიღოთ ფუძე a > 1. ვამტკიცებთ, რომ xx< х2 =>a * 1< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 x > 0-ისთვის (იფიქრეთ რატომ). შემდეგ შეასრულეთ ტრანსფორმაცია: a* 2 - a* 1 = = a* 1 (a* 2- * 1-1). ამ პროდუქტში ორივე ფაქტორი დადებითია, ამიტომ a* 2 > a* 1. a-ს ჩანაცვლებით მივიღებთ a-ს დადასტურებას, რომ y = a x 0-ზე< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. დავამტკიცოთ, რომ 0< < х2 =>ლოგოქსი!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 x > 1-ისთვის (იფიქრეთ რატომ). შევასრულოთ ტრანსფორმაცია: loga x2 - loga xr = => 0, ვინაიდან 0< хг < х2 =>> შეცვალეთ a, შემდეგ 0-ით< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41

43 ფუნქციების გრაფიკი y \u003d a "და y \u003d ლოგოქსი და განმარტებები. 3. y \u003d a x და y \u003d ლოგა ფუნქციების გრაფიკების სიმეტრია; t. ამ ფუნქციების გრაფიკები ერთმანეთის მიმართ სიმეტრიულია. სწორი ხაზი y \u003d x. ავიღოთ წერტილი P(c; d) y \u003d a x ფუნქციის გრაფიკზე. პირობით d = a. მაშინ c = logad და წერტილი Q(d; c) დევს y = \ogax ფუნქციის გრაფიკზე. PhQ წერტილები სიმეტრიულია ერთმანეთის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ y = x. როგორ გამოიყენება ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების თვისებები ამოცანების გადაჭრაში? რიცხვითი გამონათქვამების მნიშვნელობების შედარება a * 1\u003e a "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, ა< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. ფუნქცია იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე, ასე რომ, ნებისმიერი რიცხვისთვის xx და x2 ისეთი, რომ xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. ჩვენ გამოვიყენეთ ერთფეროვნება დენის ფუნქცია y \u003d x 4 x\u003e 0-სთვის: ნებისმიერი 0-სთვის< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. ამიტომ 15< 16 =>log215< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4). პასუხი: x< 0 и х >4, ან x e (-oo; 0) და u (4; +oo). 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4). ახლა აუცილებელია ორი უტოლობის ერთდროულად შესრულება (x > 0; s ანუ D: x > 4. x-4> 0, 42

44 KSHLOKrri. JL S t, HJIil L fc: "t-cuj. 3. ინტერვალზე მოცემული ფუნქციის დიაპაზონის (OZ) პოვნა: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x. 2 ფუნქცია y - 2 x იზრდება მთელი რიცხვითი ღერძის გასწვრივ 2. მისი უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე მიიღწევა მარცხენა ბოლოში, ანუ x = 0-ზე (y = -), ყველაზე დიდი მნიშვნელობა მარჯვენა ბოლოში. 2 x = 2 => y \u003d 2. როდესაც x იცვლება 0-დან 2-მდე, y ფუნქციის მნიშვნელობები ავსებს უფსკრული 2-დან. 2 პასუხი:< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0 და F 1; a > 1, x1< х2 =>ა*ი< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a>1.0<х1<х2=>=> ჟურნალი*!< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo "a* = x log X log x logs a logax = logi X a ^ კითხვები და სავარჯიშოები 1. მიუთითეთ ქვემოთ ჩამოთვლილი ექსპონენციალური ფუნქციებიდან რომელი იზრდება და რომელი მცირდება მთელ რიცხვთა ღერძზე: 1) g/ = 5*; 3) j, = fjj; 5) y = 2 x; 2) y \u003d Z- 1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. შექმენით შემდეგი ფუნქციების გრაფიკები: 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3 *; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2* -1; 6) r/ = 4 x იპოვეთ ინტერვალზე მოცემული ფუნქციების უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები: 1) y = 2 X + 2, [-1; ერთი]; 3) გ / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1]. 43

45 A .. Wuyu ^ uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2-x 2);/ = log2 (l - x 2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. იპოვეთ ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციების დიაპაზონები: 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2 (3x - 1), ; 4) y = log x + log2jc, . გაკვეთილი 6 დემონსტრირება და ლოგარითმული განტოლებებიდა უტოლობა მაგალითები 1. უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა: 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა: log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d უმარტივესი ტოლობების ამოხსნა:. 3 x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >2; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10" გ 2<=>x > lg უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა: log2x > -1; x>1. Si ODZ: x > 0; ერთი< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >ერთი; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 ჟურნალი x > -1<=>ODZ:* > 0; 20< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. რისი დამახსოვრებაა გამოსადეგი ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას? 1. უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა: (a > 0, a # 1) და x = a k<=>x = k ჩვენ ვადარებთ სიმძლავრეებს იმავე ფუძით. (a > 0, a Ф 1, b > 0) და x = b<=>x = ლოგაფი. 2. უმარტივესი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა: (a > 0, a Ф 1), ლოგაქსი = ლოგაფი<=>x = k; ლოგაქსი = ბ<=>x = a b. 3. უმარტივესთა ამოხსნა ექსპონენციალური უტოლობა: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (0< а < 1), а х >კ<=>X< k; (а >1, b > 0), ხოლო x > b<=>x > logafc; (0< а < 1, Ъ >0), და x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >ბ<=>x არის ნებისმიერი რიცხვი. 4. უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნა: (a > 1, k > 0), ლოგაქსი > ლოგაფი x>k; 44

46 (a > 1), ლოგაქსი< Ь <=>ო< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>x Zx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 პასუხი: (-4; -3) და (0; 1). ექსპონენციალური უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა ინდიკატორი არის x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l - i = 3 o i = x = 5.<=> 2 1 -* = <=>1 - x = log25 o x = 1 - log25. იმის ნაცვლად, რომ დაწეროთ 5 \u003d 2 1o6a5, შეგიძლიათ განტოლების ორივე ნაწილის ლოგარითმი 2 ბაზაში: 1 - x \u003d log x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. ტერმინები განსხვავდება 5 x-დან მხოლოდ მუდმივი ფაქტორებით : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5 x = 5<=>x = 1.2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 გადაწყვეტილებების გარეშე => x \u003d 1. -0.37 log ^ \u003d -1 + log3 2 "-0.37 45

47 ლოგარითმული უტოლობა \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3. ახლა გადასვლა არ ინარჩუნებს ფესვის ეკვივალენტობას წრფივი განტოლება 2 - x = = 5-2x არ მოხვდება საწყისი განტოლების ODZ-ში. x \u003d 3-ზე, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ფუნქციების მნიშვნელობები ნამდვილად ტოლია: 2-3 \u003d \u003d -1, მაგრამ უარყოფითი => ფესვები არ არის. 7 ჟურნალი! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 გადავიდეთ მე-2 საფუძველზე: 2 nx) ფორმის განტოლება \u003d 2 უდრის f (x) \u003d a განტოლებას. ზოგადად, განტოლება a 2x + pa x + q \u003d O მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე y 2 + py + q \u003d O ცვლადის შეცვლით a x \u003d y. განტოლების „გაძლიერებისას“ ე.ი. განტოლებიდან განტოლებაზე გადასვლისას, log2/(x) = დაფიქსირება) = 2", არ არის საჭირო ODZ-ზე ფიქრი, ანუ არ არის საჭირო პირობის შემოწმება f(x) > 0, ვინაიდან ნებისმიერი x, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლების ფიქს) = 2", f(x) ტოლი 2", არის დადებითი. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. გადაწერეთ განტოლება: ( log2*)^-l lj = 3<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. უმარტივეს უტოლობაზე გადასვლები შესრულებულია x-ის მსგავსად<-<^2 2х <2" 2 <^>მე-2<-2<^ х>და log2 (2 -x)<0=>მე-2<1=>w>1. გარდამავალი არ იყო თანაბარი. ჩვენ უნდა დავამატოთ პირობა 2-x>0<=>x<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, \x< 2, <=>(2<1, х>1. პასუხი: 1< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46

48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10 x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Z x -5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4 x +2 2x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x -3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1 "x \u003d; 3 19) 7 2x x - 7 = 0; 2 x + 2 "x 17 20) 2x -2 x ამოხსენი უტოლობა: 1 1) 2 x< 16; 3) >ერთი; 2 5) 4 x1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >27; 4)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > ამოხსენი განტოლებები: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2 (l - 3x) = 3; 4) log4 (2 - x) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; თ 4. ამოხსენით უტოლობა: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2 (* - 7) = log2 (ll - x); 9) log3 (x - 5) = log3 (2 - x); 10) log5 (* 2-4x) = log5 (3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. საუბარი სიმძლავრეებისა და ლოგარითმების გამოთვლა ფონი ახლა, როცა ყველა ადამიანს შეუძლია ადვილად შეიარაღდეს კალკულატორით ან უფრო მძლავრი გამოთვლითი ხელსაწყოთი, ძნელი წარმოსადგენია, რამხელა უბედურება უქმნიდა ადამიანს წარსულში გამოთვლებმა. ლოგარითმების გამოგონება უზარმაზარი ნაბიჯი იყო ამოხსნისკენ პრაქტიკული ამოცანებიასოცირდება კომპიუტერთან. ლოგარითმების გამოყენების უნარი გამრავლების შეკრებამდე დასაყვანად და 47-ის აგება

49 გამრავლების ხარისხზე საჭირო იყო მე-17 საუკუნის დასაწყისიდან არსებული ლოგარითმების ქვეცხრილების შედგენა. ბოლო დრომდე ბიბლიოთეკებს ჰქონდათ ცხრილების სქელი მოცულობები, რომლებშიც მოცემულია ლოგარითმების მნიშვნელობები მრავალი ათწილადით, ცალკე "ოთხნიშნა ლოგარითმების ცხრილი" შედიოდა სასკოლო სახელმძღვანელოების სავალდებულო კომპლექტში და თითოეული ინჟინერი ატარებდა ჯიბეში სლაიდის წესი, რომლითაც ყველა სკოლის მოსწავლეს უნდა შეეძლოს მუშაობა. თავად გამოთვლების შესრულების სიმარტივემ კიდევ ერთი პრობლემა გაამწვავა: ესმის თუ არა ადამიანს, რომ გამოთვლა სურს, როგორ დააყენოს გამოთვლითი დავალება კომპიუტერისთვის ან სხვა ტექნიკური მოწყობილობისთვის, როგორ თარგმნოს ეს დავალება ამ მოწყობილობისთვის გასაგებ ენაზე. ხარისხების გაანგარიშებისას უნდა ისწავლოს მათი სხვადასხვა სახელებისა და აღნიშვნების მიღმა დანახვა საღი აზრი, შეიგრძნო მათ შორის კავშირი, შეიძინო გამოცდილება და ნდობა, რომ ყოველთვის შეგიძლია (შესაძლოა წიგნების და მასწავლებლების დახმარებით) გაარკვიო რთული და შრომატევადი ფორმულები. ლოგარითმები (მიუხედავად მათი აღნიშვნის სირთულისა) ზუსტად არის ადაპტირებული, რათა ერთმანეთთან დააკავშირონ ძალასთან დაკავშირებული სხვადასხვა პრობლემები. გამოთვლით ამოცანებში არის სხვადასხვა რიცხვის ძალა. (2.1) სხვადასხვა კომბინაციები, მაგალითად, გამოთქმის A \u003d 3 გამოთვლისას, აუცილებელია სხვადასხვა რიცხვების ხარისხზე აყვანა, გამრავლება და ხარისხების გაყოფა. რატომ ამდენი გრადუსი? შესაძლებელია თუ არა ერთი ფუნდამენტის ხარისხით გავლა? Რა თქმა უნდა შეგიძლიათ. A გამოთქმის გამოსათვლელად კალკულატორის გამოყენებით, რომელსაც შეუძლია 10 5 *i - K) 10 * 2 გამოთვალოს 10*, ყველა რიცხვი უნდა შემცირდეს 10-ის ხარისხამდე: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ სადაც ^ k 2n k3 რიცხვების ლოგარითმები 2,1; 7 და 3 მე-10 საფუძველში. ყურადღებიანმა მკითხველმა შეიძლება დამატებით შეამჩნიოს, რომ 3 7 2.1 = და გააკეთოს გამარტივებები: A = u -7 * "" 1 " 16 *" -6, მოშორება 2.1 რიცხვის ლოგარითმს. ძალაუფლების გამოთვლის წესები პირველი წესი. აირჩიეთ ერთი მოსახერხებელი ბაზა, მაგალითად, a და შეამცირეთ ნებისმიერი სიმძლავრე a ფუძემდე, ე.ი. წარმოადგენენ ნებისმიერ ხარისხს c*-ს სახით kx ზოგიერთი k-ისთვის. ეს კოეფიციენტი k არის ლოგარითმი: c \u003d a log e, მაშასადამე, ლოგას k-ით აღვნიშნავთ, მივიღებთ: c x \u003d (a "" g " c f \u003d \u003d a kx. ეს წესი საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ერთი ბაზისი. ზოგიერთ პრობლემაში მოსახერხებელია აიღოთ a = 10 ( ათობითი ლოგარითმები), სხვებში (განსაკუთრებით დისკრეტულ პრობლემებში) a = 2, სხვებში, უნივერსალური ბაზა e, რომელიც მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც თქვენ უნდა შეაფასოთ ზრდის ტემპი ( ბუნებრივი ლოგარითმები).

50 მეორე წესი. ლოგარითმების აღებისას ასევე შეგიძლიათ აირჩიოთ ერთი მოსახერხებელი ბაზა და ყველა ლოგარითმი ამ ბაზამდე შეამციროთ. ამისათვის არსებობს სპეციალური ფორმულა, რომელიც ადრე იქნა მიღებული. ზოგიერთ ამოცანში მოსახერხებელია ლოგარითმების აღება 10-ზე (ათწილადი ლოგარითმები), სხვა ამოცანებში სასარგებლო იქნება ბუნებრივი ლოგარითმები, მესამე (დისკრეტულ) ამოცანებში მათ ხშირად იყენებენ. ბინარული ლოგარითმებილოგარითმები 2. ამდენად, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ მათემატიკამ შექმნა ძალებთან მუშაობის გამარტივების აპარატი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ განსხვავებულად წარმოდგენილი გამონათქვამები და ფუნქციები.

51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50

52 წრფესა და სიბრტყეს არ აქვთ საერთო წერტილები: წრფე სიბრტყის პარალელურია. 4. ორი ხაზის განლაგება: ორი ხაზი დევს ერთ სიბრტყეში. მაშინ არის ორი შესაძლებლობა: ან იკვეთება, ანუ აქვთ ერთი საერთო წერტილი, ან არიან პარალელური, ე.ი. არ გქონდეთ საერთო წერტილები (და არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ შემთხვევაში ხაზები დევს იმავე სიბრტყეში); არ იწვა იმავე თვითმფრინავში. ასეთ ხაზებს გადაკვეთას უწოდებენ. რა თქმა უნდა, დახრილ ხაზებს არ აქვთ საერთო წერტილები, წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი იმავე სიბრტყეში იქნებოდნენ. 5. როგორ გავარკვიოთ, იკვეთება თუ არა ორი წრფე: იპოვეთ სიბრტყე, რომელშიც ამ წრფეებიდან ერთი დევს, მეორე კი ამ სიბრტყეს კვეთს, მაგრამ იმავდროულად ისეთ წერტილში, რომელიც არ დევს პირველ წრფეზე; თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ ისინი არ არიან პარალელური, მაგრამ შეიძლება განთავსდეს ორ პარალელურ სიბრტყეში. რატომ არის სწორი ხაზების და სიბრტყეების შედარებითი პოზიციის ჩამოთვლა? ეს საკმაოდ რთული კითხვაა. ვიზუალური თვალსაზრისით, ყოველივე ზემოთქმული (ან თითქმის ყველა) აშკარაა. თუმცა, ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფაქტის დამტკიცება შეუძლებელი იქნება; ისინი იყენებენ წერტილს, სწორ ხაზს, სიბრტყეს, სივრცის თავდაპირველ, საწყის ცნებებს და ჩვენ არაფერი გვაქვს დასაყრდენი, გარდა ჩვენი ვიზუალური წარმოდგენებისა და ინტუიციისა. ევკლიდეს დროიდან მოყოლებული, პირველადი ცნებების ურთიერთობა აღწერილია აქსიომების გარკვეული კონვენციებით, საიდანაც ლოგიკურად შეიძლება ახალი შედეგების მიღება. რა თქმა უნდა, აქსიომების ძალიან ბევრი თავდაპირველი შეთანხმება გაკეთდა (და კიდევ რამდენიმე, რომელიც ასევე აუცილებელია მკაცრი მტკიცებულებებისთვის, არ არის ჩამოყალიბებული), მათი რიცხვი შეიძლება შემცირდეს. მოდით დავამტკიცოთ, მაგალითად, დახრილი ხაზების პირველი კრიტერიუმი წინა მტკიცებების მითითებით. სწორი ხაზისა და სიბრტყის განლაგება a a ორი სწორი წრფის განლაგება a p b = O «IIb 51 I

53 ujv.lli ^uish ^oi irpshshs Ts I 1-2, UJlUUttUUlD a, რომელიც შეიცავს წრფეს და აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი P წრფესთან 12. აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ Zx და 12 წრფეები იკვეთება, ე.ი. დაწექი იმავე თვითმფრინავში. თუ წრფეები და 12 დევს რომელიმე სიბრტყეში (3), მაშინ წრფე li და წერტილი P, რომელიც არ დევს ამ წრფეზე, იქნება ამ სიბრტყეში. იგივე ობიექტები დევს a სიბრტყეში. ვინაიდან მხოლოდ ერთია. სიბრტყე, რომელიც შეიცავს წრფეს და არა მის კუთვნილ წერტილს, მაშინ სიბრტყე p ემთხვევა a სიბრტყეს. თუმცა, პირობით, წრფე 12 არ დევს a სიბრტყეში და მას აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი. მიღებული წინააღმდეგობა ადასტურებს. თეორემა.კუბის სახეები?პირველი ნიშანი გადამკვეთი წრფეების მოცემული:12 e a, n a = P, P e 12 დამტკიცება: 1x-12. განვიხილოთ კუბი ABCDA "B" C "D". ხაზები და სიბრტყეები, რომლებიც გადიან წვეროებზე. , კუბის კიდეებს ან სახეებს, წვეროების აღმნიშვნელი ასოების დახმარებით აღვნიშნავთ.მაგალითად, სწორ ხაზს AB ან სიბრტყეს AA "BB". დავაფიქსიროთ ერთი კიდე, მაგალითად, AA". 1) რომელი კიდეებია. პარალელურად კიდეზე AA "? ეს არის კიდეები BB, CC, DD 2) რა კიდეებია AA წრფის გადამკვეთ ხაზებზე? ეს არის კიდეები AD, AB, A"D" და A"B". 3) რა კიდეები დევს ხაზებზე, რომლებიც იკვეთება AA წრფესთან? ეს არის კიდეები B "C", C "D", BC და CD. დასადასტურებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ დახრილი ხაზების ნიშანი. ასე რომ, სიბრტყე A "B" BA შეიცავს AA წრფეს და კვეთს B წრფეს "C". მსგავსი თვითმფრინავები შეიძლება მოიძებნოს დარჩენილი სამი კიდეზე. 4) რამდენი წყვილი პარალელური კიდეა? ერთი კიდესთვის მის პარალელურად სამი კიდეა. სულ 12 კიდეა, ანუ 52

54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC მეორის პარალელურად) იქნება 3 12 = 36. უბრალოდ იქნება იმდენივე ნახევარი პარალელური წყვილი, რადგან თითოეული მათგანი ორჯერ არის დათვლილი (მაგალითად, AA "BB", BB. "ᲐᲐ"). პასუხი: 18 წყვილი. 5) რამდენი წყვილი გადაკვეთის კიდეები და წყვილი გადაკვეთის კიდეებია? გაანგარიშება ხორციელდება იმავე გზით: (4 12) : 2 = 24 და (4 12) : 2 = 24. მოდით შევამოწმოთ, გათვალისწინებულია თუ არა ყველა წყვილი კიდე. საერთო ჯამში, წყვილების რაოდენობაა (1211):2 = 66. მეორეს მხრივ, = 66. 66 წყვილი კიდეებიდან თითოეული მოხვდა პარალელური, გადამკვეთი ან გადაკვეთის წყვილების ზუსტად ერთ ჯგუფში. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ, რომ (6-5) : 2 = 15 წყვილი სიბრტყეებიდან, რომლებიც შეიცავს კუბის სახეებს, არის 3 წყვილი პარალელური (საპირისპირო სახეების წყვილი) და 12 წყვილი გადამკვეთი: (4-6) : 2. პარ (სწორი ხაზი, სიბრტყე) არის 12-6 = 72. არის 6-4 = 24 წყვილი, რომლისთვისაც წრფე დევს სიბრტყეში. არის 6-4 = 24 წყვილი, რომლის წრფე პარალელურია. სიბრტყემდე და იმდენივე წყვილი, რომლებისთვისაც ხაზი კვეთს სიბრტყეს. პასუხი: \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C " D "AA" ^ BC AA" CD კითხვები და სავარჯიშოები 1. როგორ შეიძლება განისაზღვროს თვითმფრინავი 2. როგორ შეიძლება განთავსდეს ორი სიბრტყე 3. როგორ შეიძლება განთავსდეს ხაზი და თვითმფრინავი 4. როგორ შეიძლება განთავსდეს ორი ხაზი? ? . 8. კუბი ABCDA"B"C"D" მოცემულია. ჩამოთვალეთ კიდეები, რომლებიც მდებარეობს AA წრფესთან გადამკვეთ წრფეებზე". 9. მოცემულია კუბი ABCDA"B"C"D". ჩამოთვალეთ კიდეები, რომლებიც დევს AA წრფესთან გადამკვეთ წრფეებზე". 53

55 წინა კიდის გარეთ MCJJCO otu irimush p კვეთს BB"D"D სიბრტყეს რაღაც სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელიც უნდა იყოს MN-ის პარალელურად (მახასიათებელი 2). წერტილი R მდებარეობს გადაკვეთის ამ ხაზზე. ამრიგად, ჩვენ მივიღებთ ამ წრფეს BB "D" D სიბრტყეში სწორი ხაზის დახაზვით R წერტილის გავლით, დიაგონალის პარალელურადბ.დ. ეს ხაზი კვეთს კიდეებს BB" და DD" ზოგიერთ წერტილში S და T. ხუთკუთხედი MSPTN არის საჭირო მონაკვეთი. თუ CC წრფეზე P წერტილს ავიღებთ „C წერტილზე ოდნავ მაღლა“, მაშინ განყოფილებაში მივიღებთ ექვსკუთხედს, რომლის ერთ-ერთი გვერდი იქნება MN-ის პარალელურად (მახასიათებელი 3). როდესაც ეს მონაკვეთი გადის კუბის ცენტრში, თქვენ მიიღებთ რეგულარულ ექვსკუთხედს. შეამოწმეთ ეს განცხადება და განიხილეთ კუბის სხვა მონაკვეთები, რომლებიც გადის MN ხაზში. კითხვები და სავარჯიშოები 1. ჩამოაყალიბეთ სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი. 2. ჩამოაყალიბეთ ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი. 3. რა ფიგურების მიღება შესაძლებელია განყოფილებაში სამკუთხა პრიზმათვითმფრინავი? 4. რა ფიგურების მიღება შეიძლება კუბის მონაკვეთში თვითმფრინავით? 5. დაამტკიცეთ, რომ ABCDA"B"D"C" კუბის წერტილებში (A, D, B") და (C", B, D) გამავალი სიბრტყეები პარალელურია 6. ABCDA კუბის რომელი კიდეებია. "B"D "C" იკვეთება წრფესთან MN გაკვეთილი 3 კუთხეები წრფეებსა და სიბრტყეებს შორის კუთხე წრფეებს შორის როგორ განისაზღვრება კუთხეები წრფეებსა და სიბრტყეებს შორის? ვერტიკალური კუთხეები). სივრცეში ორ სწორ ხაზს შორის კუთხის დასაყენებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ თვითნებური წერტილი და დახაზოთ ხაზები მონაცემების პარალელურად მის მეშვეობით. აშენებული სიბრტყის კუთხეების მნიშვნელობები არ იქნება დამოკიდებული საწყისი წერტილის არჩევანზე. 56

56 სივრცეში ორ წრფეს, რომლებიც შეესაბამება მართ კუთხეს, ეწოდება პერპენდიკულარული. 2. სწორი ხაზი, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული. ეს არის ამ სიბრტყის ნებისმიერი ხაზის პერპენდიკულარული წრფეების სახელი. ამ კონცეფციის გამოყენებით, შეიძლება განვსაზღვროთ წერტილის ორთოგონალური პროექცია სიბრტყეზე. პროექცია a სიბრტყეზე P წერტილის, რომელიც არ დევს ამ სიბრტყეში, არის P წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება a სიბრტყეს, რომ ხაზი PP” იყოს a სიბრტყის პერპენდიკულარული. a სიბრტყეში მდებარე წერტილის პროექცია ითვლება თავად ამ წერტილად. თუ გსურთ გარკვეული ფიგურის დაპროექტება a სიბრტყეზე, თქვენ უნდა დააპროექტოთ ამ ფიგურის ყველა წერტილი მასზე. 3. კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის. მოდით გავაპროექტოთ სწორი ხაზი სიბრტყეზე. თუ წრფე სიბრტყის პერპენდიკულარულია, მაშინ მისი პროექცია იქნება ერთი წერტილი. თუ არა, მაშინ პროექცია იქნება სწორი ხაზი. ამ შემთხვევაში ნათქვამია, რომ ხაზი თვითმფრინავისკენ არის დახრილი. კუთხე დახრილ სიბრტყესა და სიბრტყეს შორის არის კუთხე სწორ ხაზსა და მის პროექციას ამ სიბრტყეზე. 4. კუთხე ორ სიბრტყეს შორის. გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის გასაზომად აუცილებელია ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე წერტილის შერჩევა და მასში სწორი ხაზის გავლება თითოეულ სიბრტყეში, გადაკვეთის ხაზის პერპენდიკულარულად. ამ ხაზებს შორის კუთხე ითვლება სიბრტყეებს შორის კუთხედ. ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია, მათ შორის კუთხე სწორია. თუ რატომ გვჭირდება პერპენდიკულარობის ცნება სივრცეში? წრფე პერპენდიკულარულია m±n, m±a, mlb, m±c სიბრტყის პერპენდიკულარულია ორთოგონალური პროექცია ^^ სიბრტყეებს შორის კუთხე პერპენდიკულარულობის დახმარებით შესაძლებელია დადგინდეს და გამოვთვალოთ სივრცეში სხვადასხვა მანძილი. 1. მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე გამოითვლება როგორც ამ წერტილიდან სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის სიგრძე (მანძილი მოცემული წერტილიდან მის პროექციამდე სიბრტყეზე). 57

57 L a ± P მანძილების განსაზღვრა ta 2. მანძილი ორს შორის პარალელური სიბრტყეებიგანიხილება ამ სიბრტყეებს შორის ჩასმული საერთო პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე. 3. თუ სიბრტყეზე მოცემულია გარკვეული ფიგურა, მაშინ მანძილი სივრცის თვითნებური წერტილიდან ამ ფიგურამდე განისაზღვრება, როგორც უმცირესი მანძილს შორის მოცემული წერტილიდან ამ ფიგურის თვითნებურ წერტილამდე. დააპროექტეთ ეს წერტილი თვითმფრინავზე. მაშინ მოცემულ წერტილთან ყველაზე ახლოს მდებარე ფიგურის წერტილიც ყველაზე ახლოს იქნება მის პროექციასთან და პირიქით, მოცემულ წერტილთან ფიგურის წერტილის საპოვნელად საკმარისია მის პროექციასთან ყველაზე ახლოს მდებარე წერტილის პოვნა. 4. კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის, რომელიც განისაზღვრება, როგორც კუთხე სწორ ხაზსა და მის პროექციას შორის, იქნება ყველაზე პატარა იმ კუთხეებს შორის, რომლებსაც ეს სწორი ხაზი ქმნის სიბრტყის თვითნებური სწორი ხაზებით. 5. მანძილი ორ გადამკვეთ წრფეს შორის გამოითვლება საერთო პერპენდიკულურის სიგრძით. a-b, ajua, h ± a, h ± b როგორ გონივრულად განვსაზღვროთ და გამოვთვალოთ კუთხეები წრფეებსა და სიბრტყეებს შორის სივრცეში? ამისთვის სასარგებლოა ვექტორული გამოთვლების და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენება. ეს საკითხი შემდგომში იქნება განხილული (იხ. თავი 5). ახლა როგორც კარგი მაგალითიგანიხილეთ კუთხეები სხვადასხვა წრფესა და სიბრტყეს შორის კუბში. 1. კუბის ყოველი კიდე, მაგალითად, ზღვარი AA", კუბის ორი სახის პერპენდიკულარულია. იგი პერპენდიკულარულია ამ სახეებზე მდებარე ნებისმიერი წრფის მიმართ, კერძოდ, რვა კიდეზე. 2. კუბის თითოეული სახე არის ოთხი სხვა სახის პერპენდიკულარული 3. განვიხილოთ კუბის ნებისმიერი დიაგონალი, მაგალითად, AC ". მისი პროექცია ABCD სიბრტყეზე იქნება AC ფუძის დიაგონალი. AC დიაგონალის დახრის კუთხე a "ფუძის სიბრტყის მიმართ არის კუთხე C" AC. ტრიგონოს გამოთვლა მარტივია

კუთხის 58 მეტრიკული ფუნქცია a მართკუთხა სამკუთხედის გამოყენებით AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. განვიხილოთ მონაკვეთი, რომელიც გადის კუბის ორ საპირისპირო კიდეზე (დიაგონალური მონაკვეთი), მაგალითად, განყოფილება AB "C" D. მისი კუთხე ABCD საბაზისო სიბრტყესთან განისაზღვრება, როგორც კუთხე C "D და DC ხაზებს შორის. ეს კუთხე ტოლია. კუთხე A "OA იქნება სასურველი, რადგან AO და A" O პერპენდიკულარულია სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზთან: tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ კითხვები და სავარჯიშოები 1. როგორ განვსაზღვროთ კუთხე დახრილ ხაზებს შორის სივრცეში? 2. რა წრფეს ეწოდება სიბრტყის პერპენდიკულარული? 3. როგორ დგინდება კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის? 4. როგორ გამოითვლება კუთხე ორ სიბრტყეს შორის? 5. როგორ დგინდება მანძილი პარალელურ სიბრტყეებს შორის? 6. როგორ განისაზღვრება მანძილი გადამკვეთ ხაზებს შორის? SH CONVERSATION ევკლიდეს გეომეტრია შესავალი ლოგიკური სრულყოფილების მოდელი ორი ათას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში არის გეომეტრიის პრინციპების ექსპოზიცია, რომელიც ევკლიდემ მიიღო III საუკუნეში. ძვ.წ. შეიძლება ითქვას, რომ ეს ექსპოზიცია კაცობრიობის ისტორიაში მკაცრი მათემატიკური თეორიის ერთადერთი მაგალითია, რომლითაც 59

59 ევკლიდე (ძვ. წ. 43-ე საუკუნის ბოლოს) ძველი ბერძენი მათემატიკოსი, ავტორი ნაშრომისა "დასაწყისები" 13 წიგნში, რომელიც ასახავს გეომეტრიის საფუძვლებს, რიცხვთა თეორიას, ტერიტორიების და მოცულობების განსაზღვრის მეთოდს, მათ შორის საზღვრების თეორიის ელემენტებს და გაცილებით მეტი. ვასახელებ ადამიანს. აქამდე გეომეტრიის სახელმძღვანელოების უმეტესობა ევკლიდეს მიერ მითითებულ გზას მიჰყვება და, მაგალითად, ბოლო დრომდე ინგლისელი სკოლის მოსწავლეები უბრალოდ სახელმძღვანელოდ იყენებდნენ ევკლიდეს ელემენტების თანამედროვე თარგმანს. რა თქმა უნდა, XX საუკუნის ბოლოს. გავრცელდა სხვა შეხედულებებიც. ეკუთვნიან სხვადასხვა საკითხები. აქ არის რამდენიმე მათგანი. შესაძლებელია თუ არა (და არის თუ არა სასარგებლო) გეომეტრიის შესწავლა მის აქსიომატურ საფუძველზე უარის თქმა? საჭიროა თუ არა საერთოდ რაიმე აქსიომატიური თეორიის გაცნობა ზოგადი განათლებისა და კულტურის ფარგლებში? თუ ასეა, არის თუ არა ევკლიდეს გეომეტრია ამისთვის შესაფერისი და შესაძლებელია თუ არა უფრო მარტივი და ხელმისაწვდომი მაგალითების პოვნა? რამდენად უნაკლოა თავად ევკლიდეს გეომეტრია? ამ საკითხებს არ შევეხებით. ამ წიგნის სტრუქტურა დადებით პასუხს იძლევა კითხვაზე, შესაძლებელია თუ არა მათემატიკის შესწავლისას აქსიომატური მეთოდის გაცნობის გარეშე. მაგრამ ჩვენ გვჯერა, რომ ყველას კულტურის კაციუნდა იცნობდეს ევკლიდეს გეომეტრიის საკითხის ისტორიას, თუმცა არ დააკავშიროს იგი არც გეომეტრიის ფაქტობრივ შესწავლასთან და არც ახალი მათემატიკური მეთოდის დაუფლების მიზნით. ევკლიდეს აქსიომატიკა ევკლიდეს ელემენტების პირველი გვერდი (1505 წლის გამოცემა) ევკლიდეს ელემენტები (უფრო ზუსტად, ცამეტი წიგნიდან თითოეული, რომელიც ამ ნაშრომს ადგენს) იხსნება ძირითადი ცნებების განმარტებებით. აქ მოცემულია რამდენიმე განმარტება დასაწყისის პირველი გვერდიდან: „წერტილი არის ის, რომელსაც არ აქვს ნაწილები“; ”ხაზი არის სიგრძე სიგანის გარეშე. ხაზის ბოლოები წერტილებია; ”ზედაპირი არის ის, რომელსაც აქვს მხოლოდ სიგრძე და სიგანე. ხაზის ზედაპირის ბოლოები "; „საზღვარი არის ის, რაც არის რაღაცის კიდური“; "ფიგურა არის ის, რაც შეიცავს ნებისმიერ საზღვრებს." დეფინიციებს მოჰყვება ძირითადი დებულებები, რომლებიც მიღებულია მტკიცებულების გარეშე,

60vj. ევკლიდეს მიერ პოსტულატებსა და აქსიომებს შორის განსხვავება არც თუ ისე ნათელია.) აქ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი. 1. სწორი ხაზის დახატვა შესაძლებელია ყველა წერტილიდან ყოველ მეორე წერტილამდე. 2. თუ ორ წრფეზე ჩამოვარდნილი წრფე ერთ მხარეს ქმნის შიდა კუთხეებს, რომელთა ჯამი ორ წრფეზე ნაკლებია, მაშინ, განუსაზღვრელი ვადით გაშლილი, ეს წრფეები იკვეთება ამ მხარეს. ეს არის ცნობილი მეხუთე პოსტულატი, რომელიც ექვივალენტურია პარალელის უნიკალურობის აქსიომასთან. შემდეგ ძირითადი ცნებებისა და აქსიომების დახმარებით ხდება თეორემების (წინადადებების) დამტკიცება წმინდა ლოგიკური გზით. ამრიგად, როგორც მეოთხე წინადადება, ევკლიდე ამტკიცებს „სამკუთხედთა თანასწორობის პირველ ნიშანს“. რა თქმა უნდა, ევკლიდე იყენებს ბევრ რამეს, რაც რეალურად არ არის აქსიომებში (მაგალითად, არაფერია ფიგურების ზედმეტად გადანაწილებაზე, რომელიც ხშირად გამოიყენება როგორც ერთგვარი სააზროვნო ექსპერიმენტი). თუმცა, რამდენიმე სარედაქციო და ენობრივი დეტალების გამოკლებით, ევკლიდეს სიმკაცრის დონე მე-19 საუკუნის ბოლომდე საკმაოდ დამაკმაყოფილებლად ითვლებოდა. ევკლიდეს გეომეტრიის თანამედროვე აქსიომატიკა როგორც აღინიშნა, თითქმის ყველა სასკოლო სახელმძღვანელოებიგეომეტრიები ამრავლებენ ამა თუ იმ აქსიომას და, როგორც წესი, კურსის დასაწყისში. ამავდროულად, ისინი ცდილობენ სიას რაც შეიძლება მარტივი და ამავდროულად მოსახერხებელი გახადონ თეორემების დასამტკიცებლად. ასეთი კონსტრუქციის მოდელი, მათემატიკის მიღწევებისა და ენის გათვალისწინებით, რომელიც განვითარდა მე-19 საუკუნის ბოლოს, არის მის მიერ შექმნილი გერმანელი მათემატიკოსის ჰილბერტის აქსიომების შესანიშნავი (თუმცა არც თუ ისე მარტივი) სისტემა. 1899. დ. ჰილბერტი გამოყოფს განუსაზღვრელი (ძირითადი) ობიექტების სამ სისტემას: წერტილებს, ხაზებს და სიბრტყეებს. შემდეგ მათ შორის „ურთიერთობები“ პოსტულირებულია (მიკუთვნება, შორის ყოფნა, თანასწორობა, კონგრუენტი). ეს დებულებები ქმნიან აქსიომების ხუთ ჯგუფს. მაგალითად, შემდეგი დებულება მოხვდა აქსიომების მეორე ჯგუფში („წესრიგის აქსიომები“), რომელზეც 1882 წელს გერმანელმა გეომეტრმა G. Pasch-მა მიაქცია ყურადღება, როგორც აუცილებელ აქსიომას: „თუ სწორი ხაზი შემოდის სამკუთხედის შიგნით. მისი ერთ-ერთი მხარე, მაგრამ არა ზემოდან, მაშინ ის უნდა გამოვიდეს მისგან მეორე მხრიდან. მეოთხე ჯგუფი შედგება ერთი აქსიომისგან პარალელიზმთან დაკავშირებით: „a წრფეს მიღმა მდებარე ნებისმიერ წერტილში გადის მაქსიმუმ ერთი წრფე a-ს პარალელურად“. 61

61 d" მეხუთე ჯგუფში შედის ორი აკიშმა უწყვეტობის შესახებ, მათ შორის არქიმედეს ეგრეთ წოდებული აქსიომაც: "ნებისმიერი a და b სეგმენტებისთვის, a-ს ტოლი სეგმენტები შეიძლება დაიდოს b-ის გასწვრივ იმდენჯერ, რომ დაფაროს b სეგმენტი." არაევკლიდეს გეომეტრია ორი ათასი წლის განმავლობაში არავის ეპარებოდა ეჭვი (და არავის ეპარება ეჭვი დღემდე) ევკლიდეს აქსიომატიკის ღირებულებაში. ერთადერთი კითხვა, რომელსაც პროფესიონალი მათემატიკოსები და მოყვარულები გამუდმებით უბრუნდებოდნენ, ასეთი იყო: „შეუძლებელია თუ არა ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატის დამტკიცება დანარჩენი აქსიომებიდან გარკვეული თეორემის სახით“. ათასობით წიგნი და სტატია დაიწერა ამ თემაზე, მაგრამ საუკეთესო რაც გაკეთდა არის პარალელიზმის აქსიომა სხვა დებულებით ჩანაცვლება, რომელიც ბევრად უფრო აშკარა ჩანდა (და ამიტომ ხშირად შეუმჩნეველი), მაგრამ რომელიც ზუსტად ექვივალენტური აღმოჩნდა. მეხუთე პოსტულატი. XIX საუკუნის შუა ხანებისთვის. ცხადი გახდა, რომ მეხუთე პოსტულატი დამოუკიდებელია ევკლიდეს დანარჩენი აქსიომატიკისგან იმ გასაოცარი გაგებით, რომ ამ დანარჩენ სისტემას დაუმატეთ აქსიომა, რომელიც უარყოფს მეხუთე პოსტულატს (მაგალითად, ისეთი ფორმით, რომ გადის მინიმუმ ორი სტრიქონი. მოცემული პარალელურად ნებისმიერი წერტილის გავლით) მივიღებთ ახალ, არაკონტრაქტიკულ სისტემას, რომელშიც შეგვიძლია გამოვყოთ ისეთივე შორეული და მნიშვნელოვანი თეორემები, როგორიც ევკლიდეს გეომეტრიაშია მიღებული. ასეთ სისტემას, რომელშიც დაკმაყოფილებულია აქსიომების მითითებული სია (მეხუთე პოსტულატის უარყოფის ჩათვლით), ეწოდა "არაევკლიდური გეომეტრია". პირველად ასეთი სისტემა ნათლად აღწერა გამოჩენილმა რუსმა მათემატიკოსმა ნ.ი. ლობაჩევსკიმ, რომელმაც მოხსენება წარადგინა ყაზანის უნივერსიტეტში 1826 წელს, ხოლო ოთხი წლის შემდეგ დეტალურად ნიკოლაი ივანოვიჩ ლობაჩევსკის () რუსი მათემატიკოსის მიერ; ავტორი" გეომეტრიული კვლევაპარალელური წრფეების თეორიაზე“, თარგმნა გერმანული, „არაევკლიდური გეომეტრიის“ შემქმნელი (ლობაჩევსკის გეომეტრია). მას უწოდეს „კოპერნიკი გეომეტრიაში“, რადგან მან მთლიანად შეცვალა გეომეტრიის შეხედულებების მთელი არსებული სისტემა. მათემატიკის განვითარებისთვის მნიშვნელოვანი იყო არა მხოლოდ ლობაჩევსკის მიერ დადასტურებული კონკრეტული თეორემები, არამედ ბევრად უფრო მეტად მისი მიდგომა მეცნიერების საფუძვლებთან. მსგავსი შედეგები მოიპოვა კ.გაუსმა, მაგრამ მას არ ეყო გამბედაობა, დაესრულებინა და გამოექვეყნებინა, მაგრამ ჰქონდა მეცნიერული პატიოსნება, წარედგინა ლობაჩევსკი არჩევისთვის გეტინგენის სამეცნიერო საზოგადოების წევრად და პირადად ეცნობებინა არჩევნების შესახებ. .

62 მათემატიკოსმა ჯ.ბოიაიმ გამოაქვეყნა მსგავსი შინაარსის ნაშრომი. კიდევ 40 წლის შემდეგ, აშენდა ზედაპირების მაგალითები, რომლებზეც შესრულებულია ლობაჩევსკის გეომეტრია. გეომეტრიიდან ლოგიკამდე მოძრაობის მნიშვნელობა ევკლიდედან ლობაჩევსკისკენ და შემდგომ ჰილბერტისკენ (ან ამ მნიშვნელობიდან ერთი მაინც) გეომეტრიული ვიზუალიზაციისგან განთავისუფლებაშია. ჰილბერტის სისტემაში თქვენ არ გჭირდებათ იცოდეთ როგორ "გამოიყურება" წერტილები და ხაზები. ისინი შეიძლება (და უნდა) განიხილებოდეს, როგორც ობიექტები, რომელთა შესახებაც ცნობილია მხოლოდ ის, რაც აღწერილია აქსიომებში. ამრიგად, აქსიომებიდან გამომდინარე, ახალ შედეგებს ვიღებთ მხოლოდ ლოგიკის დახმარებით. ეს შეხედულება ბადებს ორ ახალ კითხვას. პირველ რიგში, თავად გეომეტრიის შესახებ. საკმარისად ღრმა განცხადებების დიდი რაოდენობის მიღება აქსიომების შედეგების სახით (როგორც, მაგალითად, გააკეთა ლობაჩევსკიმ) თავისთავად არ ადასტურებს აგებული სისტემის თანმიმდევრულობას. უკვე XIX საუკუნის ბოლოს. გაირკვა, რომ შესაძლებელია ახალი სისტემების თანმიმდევრულობის დამტკიცება მოდელების დახმარებით, რომლებიც ახორციელებენ სისტემის აქსიომებს. ამრიგად, ჰილბერტი მიუთითებს ევკლიდური გეომეტრიის ასაგებად რიცხვების დახმარებით. კიდევ ერთი შეკითხვა დაკავშირებულია თავად ლოგიკის ანალიზთან, რომელიც დიდი ინტენსივობით განხორციელდა მე-20 საუკუნეში.

63 კომბინატორიკა ანოტაცია 1 კომბინატორიული კონსტრუქციები მორზეს კოდი ანბანი შედგება ორი სიმბოლოსგან: წერტილი და ტირე. სიტყვების აგება სიგრძის სიტყვები. 1 რომელი კონსტრუქციები (კონსტრუქციები) გამოიყენება კომბინატორიკაში ყველაზე ხშირად? 1. სიტყვების აგება. განვიხილოთ პერსონაჟების რამდენიმე ნაკრები. ამ სიმბოლოებს დაერქმევა ასოები, ხოლო ასოების მთელ კომპლექტს ანბანი. 2 სიგრძის სიტყვები სიტყვა არის მოცემული ანბანის ასოების თანმიმდევრობა. სიგრძის სიტყვები 3 ანბანის თითოეული ასო შეიძლება გამოყენებულ იქნას ერთხელ, რამდენჯერმე ან საერთოდ. ამოცანა 1. დაითვალეთ k სიგრძის სიტყვების რაოდენობა n ასოს ანბანში. k სიგრძის სიტყვაში k ადგილია. პირველ რიგში ვდებთ რომელიმე n ასოს. როდესაც შემდეგი ადგილი ივსება, შესაძლებლობების რაოდენობა იზრდება n-ჯერ. პასუხი: n p... n = n k n ასოების ანბანში k k სიგრძის სიტყვების რაოდენობა n k-ის ტოლია 2. განლაგება. განვიხილოთ ობიექტების ნაკრები. მოამზადეთ სერია ცარიელი ადგილები. განვასხვავებთ ადგილების რიგითობას პირველი, მეორე და ა.შ. რიგის შევსება ნიშნავს მის თითოეულ ადგილას მოთავსებას რომელიმე ობიექტის მოცემული ნაკრებიდან (თითოეული ობიექტის გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ ერთხელ). 54

64 მოცემული სიმრავლის ობიექტებით სავსე მწკრივს განლაგება ეწოდება (ობიექტებს ვათავსებთ გარკვეულ ადგილებში). ნაკრებში ობიექტების რაოდენობა იყოს n-ის ტოლი, ხოლო მწკრივის სიგრძე (მასში ადგილების რაოდენობა) უდრის k-ს ამოცანა 2. გამოთვალეთ n ობიექტის განლაგების რიცხვი A kn k ადგილას. 1-ლი დავალებისგან განსხვავებით, სადაც ასო შეიძლება გამოყენებულ იქნას არაერთხელ, ამ დავალებაში, როდესაც მოვათავსებთ საგანს გარკვეულ ადგილას, ვიღებთ მას კომპლექტიდან (ობიექტების ტომარა) და აღარ გვაქვს (ის აღარ გამოჩნდება. ) . ჩვენ პირველ ადგილზე ვაყენებთ რომელიმე n ობიექტს. ყოველ მომდევნო ეტაპზე, შესაძლებლობების რაოდენობა მცირდება ერთით. პასუხი: n(n - 1)(n - 2)... = n(n - 1)... (n - k + h ფაქტორები + 1). გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო ფაქტორი არის n - (k - 1) = n - k + 1. გაითვალისწინეთ, რომ თუ k > n, მაშინ ერთ-ერთი ფაქტორი იქნება ნული, ვინაიდან შეუძლებელია n ობიექტმა დაიკავოს n-ზე მეტი ადგილის რაოდენობა 3. პერმუტაცია. განვიხილოთ ნაკრები, რომელიც შეიცავს n ობიექტს. ჩვენ გვინდა მათი მოწესრიგება, ე.ი. მოწყობა. ეს შეიძლება გაკეთდეს ობიექტების ნუმერაციით. ობიექტების მოწესრიგებულ კომპლექტს პერმუტაცია ეწოდება. ეს ტერმინი წარმოიშვა იმის გამო, რომ თავიდან ობიექტები იღებდნენ, რატომღაც აწყობდნენ და შეკვეთის სხვა გზები მოითხოვდა ამ ობიექტების გადაკეთებას. ამოცანა 3. გამოთვალეთ n ობიექტის პერმუტაციების Pn რიცხვი. ნათელია, რომ ეს პრობლემა ემთხვევა განლაგების პრობლემას იმ შემთხვევაში, როდესაც ობიექტების რაოდენობა ემთხვევა ადგილების რაოდენობას, ჩვენ ვაწყობთ ყველა n ობიექტს n ხელმისაწვდომი ადგილის გამოყენებით. მე-2 ამოცანის მსჯელობის გამეორება იწვევს შემდეგ პასუხს: n(n - 1) ვინაიდან ფაქტორების რაოდენობა არის n, ბოლო რიცხვი იქნება 1. მოსახერხებელია ფაქტორების გადალაგება და შედეგის ნამრავლის სახით ჩაწერა. ნატურალური რიცხვები 1-დან n-მდე: n = = n\ (წაიკითხეთ "n ფაქტორიალი"). ორასოიანი სიტყვა სამი ასოს ანბანში aa ab ac ba bb bc ca s SS განთავსება სამი ობიექტის ორ ადგილას განთავსება n ობიექტის k ადგილზე განთავსება ადგილების რაოდენობა შესაძლო განლაგების რაოდენობა 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 სულ ვარიანტები: n(n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)

გადასაჭრელი 65 დიზაინი კომბინაციური პრობლემები? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl მაგალითები პერმუტაცია P4 = 4! = = 24 განთავსება P n\ K = L ft (n-k) \ l! A = ( l-0)! l! l! l! = = l! ​​(l-l)! Oh! Anagram cab cabd cadb cdab dcab სიტყვა გადაწყობილი ასოებით (განლაგება, პერმუტაცია) კონსტრუქცია, შედგენის მეთოდი და ვარიანტების ჩამოთვლა უნდა იყოს გაანალიზებულია 1. ორობითი პასუხები ადამიანს უსვამენ 10 კითხვას, თითოეულ მათგანს პასუხობს "დიახ" ან "არა". სხვადასხვა ვარიანტებიპასუხი 10-ვე კითხვაზე? პირველ კითხვაზე პასუხის 2 ვარიანტია. თუ რამდენიმე კითხვაზე პასუხი უკვე აგებულია, შემდეგზე პასუხი გააორმაგებს ვარიანტების რაოდენობას. პასუხი = 2 10 = რა თქმა უნდა, ამ პრობლემაში იყო სიტყვების აგება ორ ასოს ანბანში. 2. მრავალჯერადი არჩევანის ტესტები. ადამიანს შესთავაზეს 6 კითხვის ტესტი. თითოეულ კითხვას უნდა გაეცეს პასუხი 5 შესაძლო პასუხიდან ერთ-ერთით. რამდენი განსხვავებული პასუხია ტესტის 6-ვე კითხვაზე? პირველ კითხვაზე შესაძლებელია 5 პასუხი. შემდეგ კითხვაზე გადასვლისას ვარიანტების რაოდენობა 5-ჯერ გაიზრდება. პასუხი: = 5 6 = დიზაინი შენარჩუნებულია. ანბანში ასოების რაოდენობა შეიცვალა, ახლა ისინი არიან სიტყვები სხვადასხვა ასოებით. ანბანში 10 ასოა. 3 სიგრძის რამდენი სიტყვის აგება შეიძლება არაგანმეორებადი ასოებით? პირველ რიგში ვსვამთ 10 ასოდან რომელიმეს, მეორეში ნებისმიერს, გარდა იმისა, რომელიც უკვე პირველია აღებული. ჩვენ ვიღებთ 10-9 ვარიანტს. მესამე ადგილზე შეგიძლიათ განათავსოთ 8 გამოუყენებელი ასოდან რომელიმე. პასუხი: = 720. განლაგების დიზაინი გამოყენებულია სამ ადგილას (გამეორების გარეშე) 10 ასო იყო განთავსებული. 4. სიტყვების ანაგრამები სხვადასხვა ასოებით. რამდენი ანაგრამაა სიტყვა KATER? ამ სიტყვის ხუთივე ასო განსხვავებულია. შეგიძლიათ გადააწყოთ 5 ასო 5! გზები. პასუხი: P5 = 5! =

66 fy კითხვები და სავარჯიშოები 1. რა იგულისხმება ამ ანბანში სიტყვაში? 2. რამდენი 5 სიგრძის სიტყვაა 6 ასოს ანბანში? 3. არსებობს n ასოს ანბანი. განიხილება m განუმეორებელი ასოებისაგან შემდგარი სიტყვები. კომბინატორიკის რა კონცეფცია უნდა იქნას გამოყენებული ასეთი სიტყვების აღსაწერად? 4. რამდენი 3 სიგრძის სიტყვაა 6 ასოანი ანბანის არ განმეორებადი ასოებით? 5. რა არის პერმუტაცია? 6. 6 ასოს რამდენი გადანაცვლებაა? 7. როგორ უკავშირდება ცნებები „განთავსება“ და „პერმუტაცია“? 8. რამდენჯერ ნაკლებია 10 ობიექტის ოთხ ადგილას განლაგების რაოდენობა ერთი და იგივე საგნების ექვს ადგილას განლაგების რაოდენობაზე? გაკვეთილი 2 კომბინატორიკის წესები რა არის კომბინატორიული გამოთვლების ძირითადი წესები? 1. დამატების წესი. დაე, A სიმრავლეს ჰქონდეს m ელემენტები, ხოლო B სიმრავლეს n ელემენტი. თუ A და B სიმრავლეებს არ აქვთ საერთო ელემენტები, მაშინ ელემენტების რაოდენობა მათ გაერთიანებაში არის m + n. შეგვიძლია ვთქვათ: თუ ორი ტომარა შეიცავს სხვადასხვა საგანს და მათ ერთად ვასხამთ, მაშინ მათი საერთო რაოდენობის საპოვნელად, უნდა დაამატოთ ობიექტების რაოდენობა თითოეულ ჩანთაში. თუ სასრული X სიმრავლისთვის X-ით აღვნიშნავთ მისი ელემენტების რაოდენობას, მაშინ შეკრების წესი შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: თუ A n B = 0, მაშინ \A და B\ = \A\ + \B\. ეს წესი ადვილად შეიძლება განზოგადდეს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც A და B სიმრავლეებს აქვთ საერთო ნაწილი. 2. გამონაკლისის შეტანის წესი. დაე, A და B სიმრავლეს ჰქონდეს საერთო ნაწილი k ელემენტებთან. მაშინ A და B სიმრავლეთა გაერთიანებაში ელემენტების რაოდენობა უდრის m + n - k, ე.ი. \A u B\ \u003d \A\ + B - \A n B. ცხადია, რომ რიცხვების ტიპის მიმატებით ჩვენ ორჯერ ვითვლით საერთო ელემენტებს. კომბინატორიკის წესები შეკრების წესი A n B \u003d 0 J] A და B \ \u003d A + B

გამორიცხვის ჩანართები A u B\ = A + B - \A n B\ ვრცელდება სიმრავლეების თვითნებური რაოდენობის გაერთიანებაზე. 3. გამრავლების წესი. A და B სიმრავლეების ელემენტებისაგან შემდგარი წყვილების რაოდენობა უდრის ამ სიმრავლეების ელემენტების ნამრავლს. ორი კომპლექტის ელემენტების წყვილთა ნაკრები ხშირად აღინიშნება პროდუქტის ნიშნით. შემდეგ გამრავლების წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: [A x B\ \u003d A x B. გამრავლების წესი მარტივად შეიძლება აიხსნას ცხრილის გამოყენებით. თუ მართკუთხა ცხრილს ვაფორმებთ და მის სტრიქონებს A სიმრავლის ელემენტებით დავნიშნავთ (აღნიშნავთ), ხოლო სვეტებს B სიმრავლის ელემენტებით, მაშინ ცხრილის უჯრები შეესაბამება წყვილებს (a; b), სადაც a e A, b e B. ცხრილის უჯრედების რაოდენობა აშკარად უდრის მწკრივების და სვეტების რაოდენობის ნამრავლს. \A + B + C\ = \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 გამრავლების წესი \A x B = A x B როგორ გამოიყენება კომბინატორიკის წესები ამოცანების ამოხსნისას? 1. ტერმინების რაოდენობა. განვიხილოთ ნამრავლი (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be). რამდენი მონომი (მსგავსების შემცირებამდე) მიიღება „ფრჩხილების ფრჩხილებზე“ გამრავლებით? იგივე კითხვა შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს: "რამდენი წყვილი შეიძლება გაკეთდეს პირველი და მეორე ფრჩხილებში მონომებისგან?" ვირჩევთ პირველ ფრჩხილში სამი მონომიდან ნებისმიერს და მეორეში ექვსიდან ნებისმიერს. წყვილების რაოდენობა 3-6 = 18 გამოიყენება გამრავლების წესი. 2. მენიუ. მენიუში მოცემულია 5 მადა, 3 პირველი კერძი, 4 მეორე კერძი და 3 დესერტი. რამდენი გზით შეიძლება ოთხჯერადი კერძის შეკვეთა? შეკვეთაზე ფიქრისას ოთხ სახელს ვაკეთებთ: 1) საჭმელი; 2) პირველი კურსი; 3) მეორე კურსი; 4) დესერტი. ამ ოთხეულის პირველ სტრიქონში შეგვყავს მოცემული ხუთი ვარიანტიდან რომელიმე, მეორეში სამიდან რომელიმეს და ა.შ. საერთო რაოდენობა

68 [=180. ეს გამრავლების წესის განზოგადების მაგალითია. ჩვენ ვაკეთებთ არა მხოლოდ წყვილებს, არამედ ორი, სამი, ოთხი ან მეტი ობიექტის კომპლექტებს. 3. მანქანის ნომრები. მანქანის ნომერი შედგება სამი ასოსა და სამი ნომრისგან. გამოყენებულია 20 ასო და 10-ვე რიცხვი. ასევე მოქმედებს რიცხვი, რომელსაც აქვს სამივე ნული (მაგალითად, A000AA). რამდენი ასეთი რიცხვის დამზადება შეიძლება? ნომერში არის 6 ადგილი. პირველი, მეხუთე და მეექვსე არის ასოებისთვის, მეორე, მესამე, მეოთხე რიცხვებისთვის. ადგილები ივსება ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. პასუხი: = სიტყვების რაოდენობა. ანბანში 4 ასოა. რამდენი სიტყვის დამზადება შეიძლება ამ ანბანის ასოებიდან, რომელთაც არაუმეტეს 3 ასო აქვთ? 4 ასოანი ანბანიდან k სიგრძის სიტყვების რაოდენობაა 4*. სხვადასხვა სიგრძის სიტყვების ნაკრებებს არ აქვთ საერთო ელემენტები. ჩვენ ვიყენებთ დამატების წესს. პასუხი: = = მოსწავლეთა რაოდენობა. თითოეული მოსწავლე სწავლობს ენას კლასში. პარალელურად 20 სტუდენტი სწავლობს ინგლისურს, 12 ფრანგულს და 7 სტუდენტი ორივე ენას. რამდენი მოსწავლეა კლასში? თუ შევკრებთ იმ სტუდენტების რაოდენობას, რომლებიც სწავლობენ ინგლისურ და ფრანგულს, მაშინ ვითვლით ყველა სტუდენტს, მაგრამ ვინც ორ ენას ისწავლის, ორჯერ დაითვლება. ჩვენ ვიყენებთ ჩართვის წესს. პასუხი: = "ერთხელ მაინც". კამათელი იყრება ზედიზედ ორჯერ. რამდენჯერ ამოვა რიცხვი 6 ერთხელ მაინც? ყველა შემთხვევას ორ კლასად დავყოფთ: რიცხვი 6 არასოდეს ამოვარდება, რიცხვი 6 ერთხელ მაინც ამოვარდება. ამ კლასებს საერთო ელემენტები არ აქვთ. სულ პარამეტრები, ე.ი. ორი ციფრის მიმდევრობების რაოდენობა 6 ციფრიანი ზღვრით არის b 2, 5 ციფრის მინდვრით (ყველა ექვსის გარდა) არის 5 2. გამოიყენეთ მიმატების წესი: b 2 \u003d x. პასუხი: b = 11. კერძი კურსების რაოდენობა დამწყები 5 პირველი 3 მეორე 4 დესერტი 3 ოთხჯერადი სადილის ვარიანტების რაოდენობა: = 180. სანომრე ნიშნები A000AA რიცხვების რაოდენობა: = სიტყვების რაოდენობა ასოების რაოდენობა ანბანში 4 სიტყვის სიგრძე k სიტყვების რაოდენობა 4* k = 3 => შეკრების წესით: = 84 მოსწავლეთა რაოდენობა კლასში მოსწავლეთა რაოდენობა: = 25 „ერთხელ მაინც“ კლასი 1: არასდროს არ შემოვიდა 6. კლასი 2: ერთხელ მაინც შემოვიდა 6. 69

69 კითხვები და სავარჯიშოები 1. როგორ განვსაზღვროთ ელემენტების საერთო რაოდენობა ორ კომპლექტში, თუ ცნობილია ელემენტების რაოდენობა თითოეულ კომპლექტში და ზოგიერთი ელემენტი შეიძლება იყოს საერთო? 2. რა არის გამრავლების წესი? 3. ტესტის დავალებაში ოთხი მაგალითია. თითოეული მაგალითისთვის არის 5 პასუხი. რამდენი გზით შეგიძლიათ აირჩიოთ პასუხი კითხვაზე? 4. კამათელიზედიზედ ორჯერ დააგდეს. ქულების თითოეული შესაძლო ჯამისთვის დათვალეთ შესაძლო არჩევანის რაოდენობა. შემოწმება: თითოეული შესაძლო თანხის ოფციების დამატებით, თქვენ უნდა მიიღოთ ოპციების საერთო რაოდენობა. გაკვეთილი 3 ორბიტების რაოდენობა ორბიტა არის იდენტური (ექვივალენტური) ვარიანტების ნაკრები განლაგება განლაგება k ელემენტებიდან m ელემენტების გამეორების გარეშე მაგალითები შეგიძლიათ 6 ადამიანი ზედიზედ 6! (720) გზები; მრგვალ მაგიდასთან 6 ადამიანი შეიძლება იყოს 5! (120) გზა; თუ არის 5 ბიჭი და 5 გოგონა, არსებობს 5!5!2 5 გზა ბიჭი-გოგო წყვილების სვეტის შესაქმნელად. კომბინატორული გამოთვლები როგორ ითვალისწინებს კომბინაციებს, რომლებიც ერთნაირად ითვლება? ვარიანტების რაოდენობის დათვლისას ხშირად საჭიროა ერთი და იგივე ვარიანტების განხილვა (იდენტიფიცირება) რომელიმე ატრიბუტის მიხედვით. თუ გავაერთიანებთ ყველა ვარიანტს, რომლებიც ერთნაირად განიხილება, მივიღებთ კომპლექტს, რომელსაც ორბიტა ეწოდება. 1. მრგვალი მაგიდა. ზედიზედ დავჯდებით 6 კაცს. ეს შეიძლება გაკეთდეს 6! გზები. ახლა დავდგათ ისინი მრგვალ მაგიდასთან. განვიხილავთ ადამიანების მოწყობის იგივე გზებს, რომელთა მიღებაც შესაძლებელია მაგიდის წრეში მობრუნებით. ავიღოთ ერთი მოწყობა და სუფრას მოვატრიალებთ. ჩვენ მივიღებთ ექვსი მოწყობის ორბიტას. ორბიტების საერთო რაოდენობა 6-ჯერ ნაკლები იქნება ყველა მოწყობის რაოდენობაზე. 6! პასუხი: = 5! = წყვილების რაოდენობა. არის 5 ბიჭი და 5 გოგო. რამდენი გზით შეიძლება მათი განლაგება ბიჭი-გოგოს წყვილებისგან შემდგარ სვეტში? ჩვენ განვიხილავთ სვეტებს, რომლებშიც ბიჭი დგას მარცხნივ ან მარჯვნივ. შემდეგ გზების საერთო რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად: ბიჭებისთვის რიგის არჩევა

70 ^V/^y pill^u ^VDUICIV 5! გზები. ავიღოთ ერთი განლაგება წყვილებში და დავიწყოთ მარცხენა და მარჯვენა პოზიციების წყვილებში შეცვლა. ერთი განლაგებიდან ვიღებთ 2 5 = 32 სხვას (ჩვენ ვცვლით პოზიციებს თითოეულ წყვილში ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად). ვარიანტების ორბიტებში გაერთიანებით და აღვნიშნავთ, რომ თითოეულ ორბიტაზე ელემენტების რაოდენობა იგივეა, უდრის 32-ს, მივიღებთ შედეგს. 1 /.\ პასუხი: (5!) V "კომბინაციების რაოდენობა. რა რაოდენობით შეიძლება შეირჩეს k ელემენტების ქვესიმრავლე (უწესრიგო!) n ელემენტის შემცველი სიმრავლიდან? შეკვეთით, პასუხს მივიღებდით n(n - 1) ფორმით... (n - k + 1) განლაგების რაოდენობა. შეუთავსეთ განლაგება ორბიტებში არჩეული k ხალხის შეცვლით (გადაწყობით). ეს შეიძლება გაკეთდეს. k\ გზებით.ორბიტების რაოდენობა არის n (n-l)-. ..-(n-ft + l) ტოლი იქნება. მივიღეთ ელემენტების ნიმუში, რომელშიც ელემენტების რიგს მნიშვნელობა არ აქვს. ადრე ქვესიმრავლეები ეწოდა კომბინაციები, ამიტომ მიღებულ რიცხვს ეწოდება "კომბინაციების რაოდენობა n-დან k-მდე" და აღინიშნება c*. აღნიშვნა = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! თვისება CS = С""* კომბინაციები 4. ანაგრამების რაოდენობა. ადრე ვითვლიდით სიტყვის ანაგრამების რაოდენობას სხვადასხვა ასოებით. თუ სიტყვაში ასოების რაოდენობა n-ის ტოლია, მაშინ ეს რიცხვი უდრის n ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობას, ანუ რიცხვს n\. II f და t ქვეჯგუფების რაოდენობა რამდენი ხერხით შეიძლება შეირჩეს ექვსკაციანი ჯგუფიდან სამი კაციანი ქვეჯგუფი? ჯერ სამ ადგილს მოვამზადებთ და რიგზე მოვათავსებთ სამ ადამიანს. ეს შეიძლება გაკეთდეს == 120 გზით. ახლა ჩვენ ერთ ორბიტაში ვაერთიანებთ ისეთ წყობებს, რომლებიც არ განსხვავდებიან სამეულის შემადგენლობით, მაგრამ განსხვავდებიან მხოლოდ მათი დარგვის თანმიმდევრობით. თითოეულ ორბიტაზე 3 იქნება! = 6 თანავარსკვლავედი პასუხი: 20. 3! (D მაგალითი კომბინაციების რაოდენობა მოცემულია ელემენტების სიმრავლე: x \u003d (1, 2, 3). ამ სიმრავლიდან აუცილებელია ორი ელემენტის ქვესიმრავლეების შექმნა. იქნება სამი მათგანი: (1, 2), ( 1, 3), (2, 3). თითოეული ქვეჯგუფის ელემენტებიდან შეიძლება ჩამოყალიბდეს 2! ორბიტა 2 სიგრძით: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) (3, 2), რომლებიც არის განლაგება სამი ელემენტის ორის გამეორების გარეშე და მათი რიცხვი უდრის Al = 3 2 = 6. მეორეს მხრივ, ეს რიცხვი უდრის 2! C => a? Al \u003d 2! C - "3 - 2! 71

71 კომბინაციების რაოდენობა სწორ ხაზზე აიღეს ათი ქულა. რამდენი სეგმენტი იქნა მიღებული, რომლის ბოლოებია ეს წერტილები? c "=t=th 45 - ნიუტონის ბინომი (a + b) n = a "(1 + x) n (ფრჩხილებში a" და აღინიშნა b / a მეშვეობით განვიხილოთ ბინომის (1 + x) n გაფართოება ხარისხებში. x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x". ak კოეფიციენტები მოცემულია k ფორმულით \ ვამრავლებთ 1 + x ფორმის n ფრჩხილს ერთმანეთში. ხარისხი x k, თქვენ უნდა აირჩიოთ x ​​მათგან L-ში, ხოლო დანარჩენი n - k 1. n-დან k ობიექტების არჩევის ვარიანტების რაოდენობა არის კომბინაციების რაოდენობა, რომელიც ჩვენ განვსაზღვრეთ n-დან k-მდე, ანუ რიცხვი. C *. მოხერხებულობისთვის ვივარაუდებთ = 1 და ვწერთ ბინომიურ ფორმულას შემდეგნაირად: (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n. იდენტური ასოები. მაგალითად, ვიპოვოთ სიტყვის ABOUT ანაგრამების რაოდენობა. ეს არის რვა ასოანი სიტყვა და მასში ასო O გვხვდება 4-ჯერ, K ორჯერ, ხოლო ასოები L და T ერთხელ. მოდით, ერთი და იგივე ასოები განსხვავებული იყოს (მაგალითად, დავწეროთ ისინი სხვადასხვა შრიფტი K და K). ახლა 8-ვე ასო განსხვავებულია და ამ სიტყვის ანაგრამების რაოდენობა არის 8!. მოდით გავაერთიანოთ ისინი ორბიტებში, განვსაზღვროთ იგივე, მაგრამ განსხვავებულად დაწერილი ასოები O და K. გადაწყობა სხვადასხვა მართლწერაასო O (4! გზა) და K (2! გზა), ვიღებთ ორბიტას 4! 2! = 48 სიტყვა. ორიგინალური სიტყვის ანაგრამების რაოდენობის მისაღებად საჭიროა 8! გაყოფილი ორბიტის სიგრძეზე. რვა! პასუხი: = ! როგორ გავზარდოთ მონომების ჯამი ხარისხზე? 1. ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა. ფრაზა „ნიუტონის ბინომი“ დიდი ხანია სიმბოლოა მათემატიკის სირთულისა და გაუგებრობისა. რეალურად კითხვაზესაკმაოდ მარტივი რამის შესახებ: თუ აიღებთ ბინომალს (ბინომს) a + b, აწევთ მას ხარისხზე და დაუმატებთ მსგავს წევრებს, მიიღებთ a k b l ფორმის მონომების ჯამს რამდენიმე კოეფიციენტით. ამ კოეფიციენტების გამოთვლის ფორმულა ასოცირდება ი.ნიუტონის სახელთან, თუმცა მას გაცილებით ადრე იყენებდნენ. a + b ბინომურ ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ ფორმულას: თქვენ იცნობთ 2, 3, 4. ციფრებს C* ეწოდება ორობითი კოეფიციენტები 2. ბინომინალური კოეფიციენტების თვისებები 1) განსაკუთრებული შემთხვევები სასარგებლოა პირველის გახსენება. კოეფიციენტები: _ ჰა(ჰა-1)(ი-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72

72 ა) უუ/იატო ჰ-კრქზ ფიკტირიილ. CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - შეიძლება გარდაიქმნას უფრო სიმეტრიულ ფორმად, k\ მრიცხველისა და მნიშვნელის (ga - A;)-ზე გამრავლებით!. მრიცხველში აღდგება ყველა რიცხვი 1-დან ჰა-მდე. ვიღებთ ფორმულას C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k). VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + Sun) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = 2-ისთვის. 2 AC = av3. პასუხი: 1) 0; 2) av3. ფრჩხილებში გამოსახულებები უნდა გამრავლდეს ვადით ტერმინზე და გავითვალისწინოთ, რომ i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = მანძილი. მანძილი ორ წერტილს შორის AG და A2 სივრცეში შეიძლება გამოითვალოს სკალარული პროდუქტის გამოყენებით:. 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2. ჩვენ ვწერთ სკალარული კვადრატს კოორდინატებში: -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf. ვიღებთ ფორმულას \AxAg\ \u003d yj ( x 2 -Xxf + (y 2 ~ Y1 f + („2 ~ *i f, რომელიც განაზოგადებს პითაგორას თეორემას სივრცისთვის.

84 ცნება კოორდინატებისა და ვექტორების ენაში? ეს კეთდება ამოხსნის გამოთვლითი ალგორითმების შესაქმნელად გეომეტრიული პრობლემები. ამის საფუძველია სივრცეში სხვადასხვა ფიგურების განტოლებები და, უპირველეს ყოვლისა, სიბრტყისა და სფეროს (ბურთის ზედაპირის) განტოლებები. 1. სიბრტყის განტოლება. სიბრტყე შეიძლება განისაზღვროს მასში შემავალი ერთი წერტილით i^oc-^o? ჯ/ო! 2 o) და ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული ვექტორი n (მას სიბრტყის ნორმალური ვექტორი ეწოდება). საჭირო და საკმარისი მდგომარეობარომ წერტილი P(x; y; d) ეკუთვნის სიბრტყეს, არის შემდეგი: [op-op0) 1 n ან სახით - * ტოლობა PP0 n = 0. ნორმალური p(a; B) კოორდინატების მიცემით. ; C), ვიღებთ განტოლების სიბრტყეს კოორდინატთა სახით: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. ფრჩხილების გახსნა და რიცხვის აღნიშვნა (Ax0 + + Vy0 + Cz0) D-მდე მივიღებთ სტანდარტული განტოლებათვითმფრინავი სახით Ax + By + Cz + D = = 0. ეს არის სიბრტყეზე სწორი ხაზის ცნობილი განტოლების ანალოგი. გაითვალისწინეთ, რომ ნორმალური ვექტორი n არ არის ცალსახად განსაზღვრული; ის შეიძლება გამრავლდეს ნებისმიერ რიცხვზე. 2. სფეროს განტოლება. წერტილი P(x; y; r) მდებარეობს სფეროზე C(a; b; c) ცენტრით და R რადიუსით, თუ პირობა \PC\ 2 = R 2 დაკმაყოფილებულია. ეს პირობა მარტივად შეიძლება გადაიწეროს კოორდინატებში: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R 2. ეს განტოლებაგანზოგადებს წრის განტოლებას სიბრტყეში. პროდუქტები კოორდინატებში a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 სიბრტყის განტოლება PP01p 1 "Ax + By + Cz + D \u003d 0 შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება შემდეგი პირობებით: p (1; 2; 3), P0 (1; 0; 0). ამოხსნა: PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა: x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. სფეროს განტოლება ^ კითხვები და სავარჯიშოები 1. როგორ განისაზღვრება ვექტორების სკალარული ნამრავლი? 2. როგორ გამოითვლება სკალარული ნამრავლი კოორდინატებში? 3. რა არის სკალარული პროდუქტის ძირითადი თვისებები? 85