In diesem Artikel erfährst du, wie du mathematische Probleme lösen kannst, wenn du nicht weißt, wo du anfangen sollst.

Beim Lösen von Problemen geraten Schulkinder oft in "Betäubung" - in ihren Köpfen herrscht Nebel, Gedanken haben sich irgendwo verstreut und es scheint, dass es nicht mehr möglich ist, sie zu sammeln.

Ich möchte ein Beispiel für die Lösung eines Problems aus Bank eröffnen Aufgaben zu zeigen, welche einfache Schritte was Sie tun müssen, um Ihre Gedanken zu sammeln und Probleme richtig zu lösen.

Wie man Probleme löst. Aufgabe B13 (Nr. 26582)

Der Radfahrer ging konstante Geschwindigkeit von Stadt A nach Stadt B beträgt die Entfernung zwischen ihnen 98 km. Am nächsten Tag fuhr er mit einer Geschwindigkeit von 7 km/h mehr als zuvor zurück. Unterwegs machte er 7 Stunden Halt. Dadurch verbrachte er auf dem Rückweg genauso viel Zeit wie auf dem Weg von A nach B. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers auf dem Weg von A nach B. Geben Sie die Antwort in km/h an.

1. Lesen Sie das Problem sorgfältig durch. Vielleicht mehrmals.

2. Wir bestimmen, um welchen Prozess es sich bei dem Problem handelt und welche Formeln diesen Prozess beschreiben. Wir schreiben diese Formeln auf. BEI dieser Fall dies ist eine Bewegungsaufgabe, und die Formel, die diesen Vorgang beschreibt, lautet S=vt.

3. Wir schreiben die Dimension jeder Variablen aus, die Teil der Gleichung ist:

• S - Entfernung - km
• v - Geschwindigkeit - km/h
• t - Zeit - h

Die Kenntnis der Dimension hilft uns bei der Überprüfung der resultierenden Formeln.

4. Wir schreiben alle Zahlen auf, die in der Bedingung des Problems gefunden werden, wir schreiben, was sie bedeuten und ihre Dimension:

98 km - Entfernung zwischen den Städten,

7 km/h – so viel wie die Geschwindigkeit eines Fahrradfahrers Weg zurück mehr als die Geschwindigkeit auf dem Weg von Stadt A nach Stadt B,

7 Stunden - die Zeit, in der der Radfahrer angehalten hat (diesmal ist er nicht gefahren)

5. Lesen Sie die Problemfrage erneut.

6. Wir entscheiden, welchen Wert wir für das Unbekannte annehmen. Es ist zweckmäßig, für das Unbekannte den Wert zu nehmen, der im Problem bekannt sein muss. In diesem Fall ist dies die Geschwindigkeit des Radfahrers auf dem Weg von A nach B.

Also: Die Geschwindigkeit des Radfahrers auf dem Weg von A nach B sei x. Da dann die Geschwindigkeit des Radfahrers auf dem Rückweg um 7 km/h größer ist als die Geschwindigkeit auf dem Weg von Stadt A nach Stadt B, dann ist sie gleich x+7.

7. Wir machen eine Gleichung. Dazu drücken wir den dritten Wert der Bewegungsgleichung (Zeit) durch die ersten beiden aus. Dann:

• die Zeit, die der Radfahrer brauchte, um von A nach B zu gelangen, ist 98/x,

• und auf der Straße von B nach A - 98 / (x + 7) + 7 - denken Sie daran, dass der Radfahrer auf dem Rückweg 7 Stunden angehalten hat, dh seine Fahrzeit ist die Summe der Fahrzeit und des Parkens Zeit.

Die Gleichung ist für die Zeit. Noch einmal lesen wir in der Bedingung des Problems, dass es um die Zeit geht: Folglich verbrachte er auf dem Rückweg genauso viel Zeit wie auf dem Weg von A nach B. Das heißt, die Zeit „dort“ ist gleich der Zeit zurück". Wir setzen die Zeit „hin“ und die Zeit „zurück“ gleich. Wir erhalten die Gleichung:

98/x=98/(x+7)+7.

Wir überprüfen noch einmal die Dimensionen der in die Gleichung aufgenommenen Größen - Sie müssen sicherstellen, dass beispielsweise keine Stunden zu Kilometern addiert werden.

8. Wir lösen die Gleichung. Jetzt müssen wir uns darauf konzentrieren, die Gleichung zu lösen. Dazu bestimmen wir, welcher Art diese Gleichung ist. Da das Unbekannte im Nenner der Brüche steht, ist dies rationale gleichung. Um es zu lösen, müssen Sie alle Terme nach links verschieben und die Brüche zu bringen gemeinsamer Nenner. Beachten Sie, dass die Zahlen 98 und 7 Vielfache von 7 sind.

Um die Lösung zu vereinfachen, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 7. Wir erhalten die Gleichung: 14/x=14/(x+7)+1

Danach übertragen wir alle Terme nach links, bringen sie auf einen gemeinsamen Nenner und setzen den Zähler mit Null gleich.

Wir erhalten im Zähler: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 wie Begriffe und lösen Sie die quadratische Gleichung.

Seine Wurzeln sind -14 und 7.

Die Zahl -14 passt nicht zur Bedingung des Problems: Die Geschwindigkeit muss positiv sein.

Wir lesen noch einmal die Frage des Problems und korrelieren sie mit dem gefundenen Wert: Für das Unbekannte haben wir die Geschwindigkeit des Radfahrers auf dem Weg von A nach B genommen, und wir müssen den gleichen Wert finden.

Antwort: 7 km/h.

Wie man Probleme löst. Ergebnis

Beachten Sie, dass wir den gesamten Lösungsweg des Problems in kleine Teile unterteilt haben und uns in jedem Abschnitt genau auf das Denken konzentriert haben spezifische Aktion. Und erst nachdem diese Aktion ausgeführt wurde, erfolgte der nächste Schritt.

Wenn nicht klar ist, was zu tun ist, müssen Sie entscheiden, was kleiner Schritt Sie können es sofort tun, es tun und dann über das nächste nachdenken.

Um zu lernen, wie man typische löst logische Aufgaben, einfach und nicht standardisiert Mathe Probleme, ist es wichtig, die grundlegenden Techniken und Methoden zu ihrer Lösung zu kennen. Tatsächlich ist es in vielen Fällen möglich, dasselbe Problem zu lösen und auf unterschiedliche Weise zur richtigen Antwort zu gelangen.

Wenn Sie die verschiedenen Lösungsmethoden kennen und verstehen, können Sie feststellen, welche Methode für jeden Fall am besten geeignet ist, sodass Sie den schnellsten und einfachsten Weg wählen können, um eine Antwort zu erhalten.

Zu den „klassischen“ logischen Aufgaben gehören Textaufgaben, deren Zweck es ist, Objekte zu erkennen oder gemäß vorgegebenen Bedingungen in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen.

Komplexere und spannende Aufgabentypen sind Aufgaben, bei denen bestimmte Aussagen wahr und andere falsch sind. Die Aufgaben des Bewegens, Verschiebens, Wiegens, Ausgießens sind die größten leuchtende Beispiele große Auswahl nicht standardmäßige Aufgaben zur Logik.

Grundlegende Methoden zum Lösen logischer Probleme

• Argumentationsmethode;
• Verwenden von Wahrheitstabellen;
• Blockdiagrammmethode;
• Mittel der logischen Algebra (Aussagenalgebra);
• Grafik (einschließlich "tree logische Bedingungen“, das Euler-Kreis-Verfahren);
• Methode des mathematischen Billards.

Schauen wir uns drei beliebte Methoden zur Lösung logischer Probleme an, die wir in der Grundschule (Kinder im Alter von 6 bis 12 Jahren) empfehlen:

• Methode des sequentiellen Denkens;
• eine Art Argumentationsmethode - "vom Ende her";
• tabellarischer Weg.

Methode des sequentiellen Denkens

Der einfachste Weg, einfache Probleme zu lösen, besteht darin, nacheinander alle bekannten Bedingungen zu verwenden. Schlussfolgerungen aus den Aussagen, die die Bedingungen des Problems sind, führen allmählich zur Beantwortung der gestellten Frage.

Auf dem Tisch sind Blau , Grün , Braun und Orange

Der dritte ist der Stift mit den meisten Buchstaben im Namen. Blau der bleistift liegt dazwischen Braun und Orange .

Legen Sie die Stifte in der beschriebenen Reihenfolge aus.

Lösung:

Wir streiten. Wir nutzen die Bedingungen des Problems konsequent, um Rückschlüsse auf die Position zu formulieren, auf der jeder nächste Stift liegen sollte.

• Die meisten Buchstaben im Wort "braun", also liegt es an dritter Stelle.
• Es ist bekannt, dass ein blauer Stift zwischen Braun und Orange liegt. Es gibt nur eine Position rechts von Braun, was bedeutet, dass es möglich ist, Blau zwischen Braun und einem anderen Stift nur links von Braun zu platzieren.
• Die nächste Schlussfolgerung basiert auf der vorherigen: Der blaue Stift befindet sich an der zweiten Position und der orangefarbene an der ersten.
• Für den grünen Stift links letzte Position- Er ist Vierter.

Methode beenden

Diese Art der Lösung ist eine Art Argumentationsmethode und eignet sich hervorragend für Probleme, bei denen wir das Ergebnis bestimmter Aktionen kennen und es darum geht, das ursprüngliche Bild wiederherzustellen.

Großmutter backte Bagels für ihre drei Enkelkinder und ließ sie auf dem Tisch liegen. Kolya lief zuerst, um etwas zu essen. Ich zählte alle Bagels, nahm meinen Anteil und rannte davon.
Anya kam später ins Haus. Sie wusste nicht, dass Kolya die Bagels bereits genommen, gezählt und, indem sie sie in drei Teile geteilt hatte, ihren Anteil nahm.
Der dritte kam Gena, der auch den Rest des Gebäcks in drei Teile teilte und sich seinen Anteil nahm.
Es sind noch 8 Bagels auf dem Tisch.

Wie viele von den acht verbleibenden Bagels sollte jede Person essen, damit alle gleich essen?

Lösung:

Beginnen wir die Diskussion am Ende.
Gena hinterließ 8 Bagels für Anya und Kolya (4 für jeden). Es stellt sich heraus, dass er selbst 4 Bagels gegessen hat: 8 + 4 = 12.
Anya hinterließ den Brüdern 12 Bagels (je 6). Also hat sie selbst 6 Stück gegessen: 12 + 6 = 18.
Kolya hat 18 Bagels für die Jungs hinterlassen. Also hat er selbst 9 gegessen: 18 + 9 = 27.

Großmutter legte 27 Bagels auf den Tisch und hoffte, dass jeder 9 Stück bekommen würde. Da Kolya seinen Anteil bereits gegessen hat, muss Anya 3 und Gena 5 Bagels essen.

Logische Probleme mit Wahrheitstabellen lösen

Das Wesen der Methode besteht darin, die Bedingungen des Problems und die Ergebnisse der Argumentation in speziell für das Problem zusammengestellten Tabellen festzuhalten. Je nachdem, ob die Aussage wahr oder falsch ist, werden die entsprechenden Zellen der Tabelle mit den Zeichen „+“ und „-“ oder „1“ und „0“ gefüllt.

Drei Athleten ( rot , blau und grün) spielte Basketball.
Als der Ball im Korb war, rief der Rote aus: "Der Ball wurde von dem Blauen erzielt."
Blau widersprach: „Grün hat den Ball erzielt.“
Zeleny sagte: "Ich habe kein Tor gemacht."

Wer hat den Ball geworfen, wenn nur einer der drei gelogen hat?

Lösung:

Zuerst wird eine Tabelle erstellt: Links notieren sie alle Aussagen, die in der Bedingung enthalten sind, und oben - Möglichkeiten Antwort.

Dann wird die Tabelle der Reihe nach ausgefüllt: wahre aussagen mit einem „+“-Zeichen und falsche Angaben mit einem „-“-Zeichen markieren.

Betrachten Sie die erste Antwortoption („Der Ball wurde geworfen rot"), analysiere die links geschriebenen Aussagen und ergänze sie Der Erste Säule.
Basierend auf unserer Annahme („der Ball wurde geworfen rot“), ist die Aussage „Der Ball wurde von Blau geworfen“ eine Lüge. Wir geben die Zelle "-" ein.
Auch die Aussage „Ball erzielt Grün“ ist eine Lüge. Wir füllen die Zelle mit dem Zeichen "-".
Die grüne Aussage „Ich habe nicht getroffen“ ist wahr. Wir geben die Zelle "+" ein.

Betrachten Sie die zweite Antwort (nehmen Sie an, dass Ball grün geworfen) und Fülle zweite Säule.
Die Aussage „Blau hat den Ball geworfen“ ist eine Lüge. Wir geben die Zelle "-" ein.
Die Aussage „Ball hat grün gepunktet « - Wahrheit. Füllen Sie die Zelle mit einem „+“-Zeichen aus.
Die grüne Aussage "Ich habe nicht getroffen" ist eine Lüge. Wir geben die Zelle "-" ein.

Und schließlich die dritte Option: Nehmen wir an, dass "der Ball geworfen wird blau«.
Dann die Aussage „Ball geworfen blau « - Wahrheit. Wir geben die Zelle "+" ein.
Die Aussage „der Ball hat grün gepunktet“ ist eine Lüge. Wir füllen die Zelle mit dem Zeichen "-". Die grüne Aussage „Ich habe nicht getroffen“ ist wahr. Wir geben die Zelle "+" ein.

Da laut Bedingung nur einer der drei Typen gelogen hat, wählen wir in der ausgefüllten Tabelle eine solche Antwortoption aus, wo sie sein wird einziger falsche Aussage (in der Spalte ein Zeichen "-"). Die dritte Spalte passt.

Die richtige Antwort ist also, dass der Ball von dem Blauen geworfen wurde.

Flussdiagramm-Methode

Es wird die Flussdiagrammmethode betrachtet Die beste Option zur Lösung von Problemen beim Wiegen und Ausgießen von Flüssigkeiten. Alternativer Weg Die Lösung dieser Art von Problemen - die Methode der Aufzählung von Optionen - ist nicht immer optimal, und es ist ziemlich schwierig, sie als systemisch zu bezeichnen.

Das Verfahren zum Lösen von Problemen mit der Flussdiagrammmethode ist wie folgt:

• grafisch (Flussdiagramm) den Arbeitsablauf beschreiben;
• bestimmen Sie die Reihenfolge ihrer Umsetzung;
• in der Tabelle fixieren wir die aktuellen Zustände.

Mehr über diese und andere Möglichkeiten, logische Probleme zu lösen, mit Beispielen und einer Beschreibung der Lösung, erzählen wir in voller Kurs LogicLike über die Entwicklung des logischen Denkens.

Erraten Sie die am meisten gesammelten, speziell für regelmäßige Leser unseres Blogs und Schüler von LogicLike, lösen Sie logische Probleme online zusammen mit Tausenden von Kindern und Erwachsenen!

Durchschnitt Allgemeinbildung

UMK-Linie G. K. Muravina. Algebra und Anfänge mathematische Analyse(10-11) (tief)

Linie UMK Merzljak. Algebra und die Anfänge der Analysis (10-11) (U)

Mathe

Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik (Profilebene): Aufgaben, Lösungen und Erklärungen

Wir analysieren Aufgaben und lösen Beispiele mit dem Lehrer

Prüfungszettel Profilebene dauert 3 Stunden 55 Minuten (235 Minuten).

Mindestschwelle- 27 Punkte.

Die Prüfungsarbeit besteht aus zwei Teilen, die sich in Inhalt, Umfang und Anzahl der Aufgaben unterscheiden.

Das bestimmende Merkmal jedes Teils der Arbeit ist die Form der Aufgaben:

• Teil 1 enthält 8 Aufgaben (Aufgaben 1-8) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs;
• Teil 2 enthält 4 Aufgaben (Aufgaben 9-12) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs und 7 Aufgaben (Aufgaben 13-19) mit einer ausführlichen Antwort (vollständige Niederschrift der Entscheidung mit Begründung für die durchgeführte Aktionen).

Panova Svetlana Anatolievna, Mathematiklehrer die höchste Kategorie Schulen, 20 Jahre Berufserfahrung:

„Um ein Schulzeugnis zu erhalten, muss ein Absolvent zwei bestehen obligatorische Prüfung in Formular VERWENDEN, eine davon ist Mathematik. In Übereinstimmung mit dem Entwicklungskonzept Mathematikunterricht in Russische Föderation Der USE in Mathematics ist in zwei Stufen unterteilt: Basic und Speciality. Heute werden wir Optionen für die Profilebene betrachten.

Aufgabe Nummer 1- Kontrollen mit den Teilnehmern Fähigkeit BENUTZEN wenden Sie die im Laufe der 5-9-Klassen in elementarer Mathematik erworbenen Fähigkeiten an, in praktische Tätigkeiten. Der Teilnehmer muss über Rechenfähigkeiten verfügen, mit rationalen Zahlen arbeiten können, runden können Dezimalstellen in der Lage sein, eine Maßeinheit in eine andere umzurechnen.

Beispiel 1 In der Wohnung, in der Petr lebt, wurde ein Spesenzähler installiert kaltes Wasser(Zähler). Am 1. Mai zeigte der Zähler einen Verbrauch von 172 Kubikmetern an. m Wasser und am ersten Juni - 177 Kubikmeter. m. Welchen Betrag sollte Peter für Mai für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis von 1 cu. m kaltes Wasser sind 34 Rubel 17 Kopeken? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an.

Lösung:

1) Ermitteln Sie die pro Monat verbrauchte Wassermenge:

177 - 172 = 5 (m³)

2) Finden Sie heraus, wie viel Geld für das verbrauchte Wasser bezahlt wird:

34,17 5 = 170,85 (reiben)

Antworten: 170,85.

Aufgabe Nummer 2- ist eine der einfachsten Aufgaben der Prüfung. Die Mehrheit der Absolventen kommt damit erfolgreich zurecht, was auf den Besitz der Definition des Funktionsbegriffs hinweist. Aufgabentyp Nr. 2 gemäß Anforderungsverschlüsseler ist eine Aufgabe zur Anwendung erworbener Kenntnisse und Fähigkeiten in praktischen Tätigkeiten und Alltagsleben. Aufgabe Nummer 2 besteht aus einer Beschreibung mit den Funktionen verschiedener echte Abhängigkeiten zwischen Mengen und Interpretation ihrer Graphen. Aufgabe Nummer 2 testet die Fähigkeit, Informationen zu extrahieren, die in Tabellen, Diagrammen und Grafiken dargestellt sind. Absolventen müssen in der Lage sein, den Wert einer Funktion durch den Wert des Arguments when zu bestimmen verschiedene Wege Definieren einer Funktion und Beschreiben des Verhaltens und der Eigenschaften der Funktion gemäß ihrem Graphen. Es ist auch notwendig, das Maximum oder finden zu können kleinster Wert und Graphen der untersuchten Funktionen erstellen. Die Fehler, die beim Lesen der Bedingungen des Problems und beim Lesen des Diagramms gemacht werden, sind zufälliger Natur.

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Beispiel 2 Die Abbildung zeigt die Veränderung des Tauschwerts einer Aktie eines Bergbauunternehmens in der ersten Aprilhälfte 2017. Am 7. April kaufte der Geschäftsmann 1.000 Aktien dieses Unternehmens. Am 10. April verkaufte er drei Viertel der gekauften Aktien und am 13. April alle restlichen. Wie viel hat der Geschäftsmann durch diese Operationen verloren?

Lösung:

2) 1000 3/4 = 750 (Aktien) - machen 3/4 aller gekauften Aktien aus.

6) 247500 + 77500 = 325000 (Rubel) - der Geschäftsmann erhielt nach dem Verkauf von 1000 Aktien.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (Rubel) - der Geschäftsmann hat infolge aller Operationen verloren.

Antworten: 15000.

Aufgabe Nummer 3- ist eine Aufgabe Grundstufe Der erste Teil testet die Fähigkeit, Aktionen mit auszuführen geometrische Formen zu den Inhalten der Lehrveranstaltung "Planimetrie". In Aufgabe 3 geht es um die Möglichkeit, die Fläche einer Figur zu berechnen kariertes Papier, Rechenfähigkeit Grad Maßnahmen Ecken, Umfänge berechnen usw.

Beispiel 3 Ermitteln Sie die Fläche eines auf kariertes Papier gezeichneten Rechtecks ​​mit einer Zellengröße von 1 cm x 1 cm (siehe Abbildung). Geben Sie Ihre Antwort in Quadratzentimetern an.

Lösung: Um die Fläche dieser Figur zu berechnen, können Sie die Peak-Formel verwenden:

Um die Fläche zu berechnen gegebenes Rechteck Nehmen wir die Formel von Pick:

S= B +	G
	2

wo V = 10, G = 6, also

S = 18 +	6
	2

Antworten: 20.

Siehe auch: Einheitliche Staatsprüfung Physik: Schwingungsprobleme lösen

Aufgabe Nummer 4- die Aufgabenstellung der Lehrveranstaltung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik". Getestet wird die Fähigkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in der einfachsten Situation zu berechnen.

Beispiel 4 Auf dem Kreis befinden sich 5 rote und 1 blauer Punkt. Bestimmen Sie, welche Polygone größer sind: die mit allen roten Eckpunkten oder die mit einem der blauen Eckpunkte. Geben Sie in Ihrer Antwort an, wie viele mehr von dem einen als vom anderen.

Lösung: 1) Wir verwenden die Formel für die Anzahl der Kombinationen aus n Elemente von k:

alle Ecken sind rot.

3) Ein Fünfeck mit allen roten Eckpunkten.

4) 10 + 5 + 1 = 16 Polygone mit allen roten Eckpunkten.

deren Ecken rot sind oder mit einer blauen Ecke.

deren Ecken rot sind oder mit einer blauen Ecke.

8) Ein Sechseck, dessen Eckpunkte rot sind, mit einem blauen Eckpunkt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 Polygone, die alle rote Eckpunkte oder einen blauen Eckpunkt haben.

10) 42 - 16 = 26 Polygone, die den blauen Punkt verwenden.

11) 26 - 16 = 10 Polygone - wie viele Polygone, bei denen einer der Eckpunkte ein blauer Punkt ist, sind mehr als Polygone, bei denen alle Eckpunkte nur rot sind.

Antworten: 10.

Aufgabe Nummer 5- Das Grundniveau des ersten Teils testet die Fähigkeit, die einfachsten Gleichungen (irrational, exponentiell, trigonometrisch, logarithmisch) zu lösen.

Beispiel 5 Lösen Sie Gleichung 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Lösung. Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichung durch 5 3 + X≠ 0, erhalten wir

2 3 + x	= 0,4 bzw		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

woraus folgt, dass 3 + x = 1, x = –2.

Antworten: –2.

Aufgabe Nummer 6 durch Planimetrie zu finden geometrische Größen(Längen, Winkel, Flächen), Modellierung reale Situationen in der Sprache der Geometrie. Studium der gebauten Modelle mit geometrische Konzepte und Theoreme. Die Quelle der Schwierigkeiten ist meist Unwissenheit bzw falsche Anwendung notwendige Theoreme der Planimetrie.

Fläche eines Dreiecks ABC gleich 129. DE- Mittellinie, seitlich parallel AB. Finden Sie die Fläche des Trapezes EIN BETT.

Lösung. Dreieck CDEähnlich einem Dreieck TAXI an zwei Ecken, da die Ecke am Scheitelpunkt C Allgemein, Winkel CDE gleich dem Winkel TAXI wie entsprechende Winkel bei DE || AB Sekante AC. Als DE ist die Mittellinie des Dreiecks nach Zustand, dann nach Eigenschaft Mittellinie | DE = (1/2)AB. Der Ähnlichkeitskoeffizient ist also 0,5. Quadrate ähnliche Figuren verhalten sich wie das Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten, also

Folglich, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Aufgabe Nummer 7- überprüft die Anwendung der Ableitung auf das Studium der Funktion. Zum erfolgreiche Umsetzung ein sinnvoller, nicht-formaler Besitz des Konzepts eines Derivats ist notwendig.

Beispiel 7 Zum Graphen der Funktion j = f(x) an der Stelle mit der Abszisse x 0 wird eine Tangente gezeichnet, die senkrecht zu der Geraden steht, die durch die Punkte (4; 3) und (3; -1) dieses Graphen geht. Finden f′( x 0).

Lösung. 1) Wir verwenden die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei geht gegebene Punkte und finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte (4; 3) und (3; -1) verläuft.

(j – j 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(j 2 – j 1)

(j – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(j – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–j + 3 = –4x+ 16| · (-eines)

j – 3 = 4x – 16

j = 4x– 13, wo k 1 = 4.

2) Finden Sie die Steigung der Tangente k 2, die senkrecht zur Linie steht j = 4x– 13, wo k 1 = 4, nach der Formel:

3) Neigung Tangente - die Ableitung der Funktion am Kontaktpunkt. Meint, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Antworten: –0,25.

Aufgabe Nummer 8- überprüft die Kenntnisse der elementaren Stereometrie bei den Prüfungsteilnehmern, die Fähigkeit, Formeln zum Auffinden von Flächen und Volumen von Figuren anzuwenden, Diederwinkel, Volumen ähnlicher Figuren vergleichen, Aktionen mit geometrischen Formen, Koordinaten und Vektoren ausführen können usw.

Das Volumen eines um eine Kugel umschriebenen Würfels ist 216. Finde den Radius der Kugel.

Lösung. 1) v Würfel = a 3 (wo a ist die Kantenlänge des Würfels), also

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Da die Kugel in einen Würfel eingeschrieben ist, bedeutet dies, dass die Länge des Kugeldurchmessers gleich der Länge der Würfelkante ist d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Aufgabe Nummer 9- verlangt vom Absolventen, zu transformieren und zu vereinfachen algebraische Ausdrücke. Aufgabe Nummer 9 fortgeschrittenes Level Schwierigkeiten bei kurzen Antworten. Aufgaben aus dem Abschnitt "Berechnungen und Transformationen" in der USE sind in mehrere Typen unterteilt:

numerische Konvertierungen rationale Ausdrücke;

Transformationen von algebraischen Ausdrücken und Brüchen;

numerische/alphabetische Konvertierungen irrationale Ausdrücke;

Aktionen mit Grad;

Transformation logarithmische Ausdrücke;

1. Konvertierung numerischer/buchstabiger trigonometrischer Ausdrücke.

Beispiel 9 Berechnen Sie tgα, wenn bekannt ist, dass cos2α = 0,6 und

3π	< α < π.
4

Lösung. 1) Verwenden wir die Formel Doppeltes Argument: cos2α = 2 cos 2 α – 1 und finde

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos2α		0,8		8		4		4		4

Daher ist tan 2 α = ± 0,5.

3) Nach Bedingung

3π	< α < π,
4

daher ist α der Winkel des zweiten Viertels und tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Antworten: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Aufgabe Nummer 10- überprüft die Fähigkeit der Schüler, das Erlernte anzuwenden frühes Wissen und Fähigkeiten in der Praxis und im Alltag. Wir können sagen, dass dies Probleme in der Physik und nicht in der Mathematik sind, sondern alle notwendige Formeln und Werte sind in der Bedingung angegeben. Die Probleme reduzieren sich auf die Lösung eines linearen Oder quadratische Gleichung, entweder linear oder quadratische Ungleichung. Daher ist es notwendig, solche Gleichungen und Ungleichungen lösen und die Antwort bestimmen zu können. Die Antwort muss in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs erfolgen.

Zwei Massekörper m= 2 kg bei gleicher Geschwindigkeit v= 10 m/s in einem Winkel von 2α zueinander. Die bei ihrem absolut unelastischen Stoß freigesetzte Energie (in Joule) wird durch den Ausdruck bestimmt Q = mv 2 Sünde 2 α. Unter welchem ​​kleinsten Winkel 2α (in Grad) müssen sich die Körper bewegen, damit beim Aufprall mindestens 50 Joule freigesetzt werden?
Lösung. Um das Problem zu lösen, müssen wir die Ungleichung Q ≥ 50 auf dem Intervall 2α ∈ (0°; 180°) lösen.

mv 2 Sünde 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Da α ∈ (0°; 90°), werden wir nur lösen

Wir stellen die Lösung der Ungleichung grafisch dar:

Da nach Annahme α ∈ (0°; 90°) bedeutet dies, dass 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Aufgabe Nummer 11- ist typisch, stellt sich aber für Studierende als schwierig heraus. Die Hauptschwierigkeiten liegen in der Konstruktion eines mathematischen Modells (Aufstellen einer Gleichung). Aufgabe Nummer 11 testet die Fähigkeit, Textaufgaben zu lösen.

Beispiel 11. Auf der Spring Break, Frühjahrsurlaub, Frühjahrsferien Die 11-Klässlerin Vasya musste 560 Trainingsaufgaben lösen, um sich auf die Prüfung vorzubereiten. Am 18. März, am letzten Schultag, löste Vasya 5 Aufgaben. Dann löste er jeden Tag gleich viele Aufgaben mehr als am Vortag. Bestimmen Sie, wie viele Probleme Vasya am letzten Urlaubstag am 2. April gelöst hat.

Lösung: Bezeichnen a 1 = 5 - die Anzahl der Aufgaben, die Vasya am 18. März gelöst hat, d– tägliche Anzahl der von Vasya gelösten Aufgaben, n= 16 - die Anzahl der Tage vom 18. März bis einschließlich 2. April, S 16 = 560 – gesamt Aufgaben, a 16 - die Anzahl der Aufgaben, die Vasya am 2. April gelöst hat. Wenn Sie wissen, dass Vasya jeden Tag die gleiche Anzahl von Aufgaben mehr als am Vortag gelöst hat, können Sie die Formeln verwenden, um die Summe zu finden arithmetische Progression:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Antworten: 65.

Aufgabe Nummer 12- die Fähigkeit der Schüler überprüfen, Aktionen mit Funktionen auszuführen, in der Lage sein, die Ableitung auf das Studium der Funktion anzuwenden.

Finden Sie den maximalen Punkt einer Funktion j= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Lösung: 1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: x + 9 > 0, x> –9, also x ∈ (–9; ∞).

2) Finden Sie die Ableitung der Funktion:

4) Der gefundene Punkt gehört zum Intervall (–9; ∞). Wir definieren die Vorzeichen der Ableitung der Funktion und stellen das Verhalten der Funktion in der Abbildung dar:

Der gewünschte Maximalpunkt x = –8.

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Aufgabe Nummer 13- eine erhöhte Komplexität mit einer detaillierten Antwort, die die Fähigkeit testet, Gleichungen zu lösen, die unter den Aufgaben mit einer detaillierten Antwort einer erhöhten Komplexität am erfolgreichsten gelöst werden.

a) Lösen Sie die Gleichung 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, Zugehörigkeit zum Segment.

Lösung: a) Sei log 3 (2cos x) = t, dann 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2 cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ weil |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2 cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

dann weil x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Finden Sie die Wurzeln, die auf dem Segment liegen .

Das ist aus der Abbildung ersichtlich angegebenen Abschnitt gehören zu den Wurzeln

11π	und	13π	.
6		6

Antworten: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Aufgabe Nummer 14- Fortgeschrittene Stufe bezieht sich auf die Aufgaben des zweiten Teils mit ausführlicher Beantwortung. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Elemente. Im ersten Absatz muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Absatz berechnet werden.

Der Umfangsdurchmesser der Basis des Zylinders beträgt 20, die Mantellinie des Zylinders 28. Die Ebene schneidet seine Basis entlang Sehnen der Länge 12 und 16. Der Abstand zwischen den Sehnen beträgt 2√197.

a) Beweisen Sie, dass die Mittelpunkte der Grundflächen des Zylinders auf derselben Seite dieser Ebene liegen.

b) Finden Sie den Winkel zwischen dieser Ebene und der Ebene der Basis des Zylinders.

Lösung: a) Eine Sehne der Länge 12 hat einen Abstand = 8 vom Mittelpunkt des Grundkreises, und eine Sehne der Länge 16 hat ebenfalls einen Abstand von 6. Daher ist der Abstand ihrer Projektionen auf eine Ebene parallel zu dem Basen der Zylinder ist entweder 8 + 6 = 14 oder 8 − 6 = 2.

Dann ist der Abstand zwischen den Akkorden entweder

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Bedingungsgemäß wurde der zweite Fall verwirklicht, bei dem die Vorsprünge der Sehnen auf einer Seite der Zylinderachse liegen. Die Achse schneidet sich also nicht Flugzeug gegeben innerhalb des Zylinders, das heißt, die Basen liegen auf einer Seite davon. Was bewiesen werden musste.

b) Bezeichnen wir die Mittelpunkte der Basen mit O 1 und O 2. Ziehen wir von der Mitte der Basis mit einer Sehne der Länge 12 die Mittelsenkrechte zu dieser Sehne (sie hat, wie bereits erwähnt, eine Länge von 8) und von der Mitte der anderen Basis zu einer anderen Sehne. Sie liegen in derselben Ebene β senkrecht zu diesen Sehnen. Nennen wir den Mittelpunkt der kleineren Sehne B, größer als A, und die Projektion von A auf die zweite Basis H (H ∈ β). Dann stehen AB,AH ∈ β und damit AB,AH senkrecht auf der Sehne, also der Schnittgerade der Basis mit der gegebenen Ebene.

Der erforderliche Winkel ist also

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Aufgabe Nummer 15- ein erhöhter Komplexitätsgrad mit einer detaillierten Antwort, überprüft die Fähigkeit, Ungleichheiten zu lösen, die am erfolgreichsten gelösten Aufgaben mit einer detaillierten Antwort eines erhöhten Komplexitätsgrades.

Beispiel 15 Lösen Sie die Ungleichung | x 2 – 3x| Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Lösung: Der Definitionsbereich dieser Ungleichung ist das Intervall (–1; +∞). Betrachten Sie drei Fälle getrennt:

1) Lass x 2 – 3x= 0, d.h. X= 0 bzw X= 3. In diesem Fall wird diese Ungleichung wahr, daher werden diese Werte in die Lösung aufgenommen.

2) Lassen Sie jetzt x 2 – 3x> 0, d.h. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). In diesem Fall kann diese Ungleichung in die Form umgeschrieben werden ( x 2 – 3x) Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 und teile durch positiver Ausdruck x 2 – 3x. Wir erhalten Protokoll 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 bzw x≤ -0,5. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs haben wir x ∈ (–1; –0,5].

3) Überlegen Sie abschließend x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). In diesem Fall wird die ursprüngliche Ungleichung in die Form (3 x – x 2) Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Nach Division durch einen positiven Ausdruck 3 x – x 2 erhalten wir log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Unter Berücksichtigung der Fläche haben wir x ∈ (0; 1].

Durch Kombinieren der erhaltenen Lösungen erhalten wir x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Antworten: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Aufgabe Nummer 16- Fortgeschrittene Stufe bezieht sich auf die Aufgaben des zweiten Teils mit ausführlicher Beantwortung. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen, Koordinaten und Vektoren auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Elemente. Im ersten Absatz muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Absatz berechnet werden.

BEI gleichschenkligen Dreiecks ABC mit einem Winkel von 120° am Scheitelpunkt A wird eine Winkelhalbierende BD gezeichnet. BEI Dreieck ABC Das Rechteck DEFH wird so eingeschrieben, dass die Seite FH auf dem Segment BC liegt und die Spitze E auf dem Segment AB liegt. a) Beweisen Sie, dass FH = 2DH ist. b) Finden Sie die Fläche des Rechtecks ​​DEFH, wenn AB = 4.

Lösung: a)

1) ΔBEF - rechteckig, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, dann EF = BE aufgrund der Eigenschaft des Schenkels gegenüber dem Winkel von 30°.

2) Sei EF = DH = x, dann ist BE = 2 x, Bf = x√3 nach dem Satz des Pythagoras.

3) Da Δ ABC gleichschenklig, also ∠B = ∠C = 30˚.

BD ist die Winkelhalbierende von ∠B, also ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Betrachten Sie ΔDBH - rechteckig, weil DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = EDEF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Antworten: 24 – 12√3.

Aufgabe Nummer 17- eine Aufgabe mit einer detaillierten Antwort, diese Aufgabe testet die Anwendung von Wissen und Fähigkeiten in praktischen Aktivitäten und im Alltag, die Fähigkeit zu bauen und zu erforschen Mathematische Modelle. Diese Aufgabe - Textaufgabe mit wirtschaftlichem Inhalt.

Beispiel 17. Das Depot in Höhe von 20 Millionen Rubel soll für vier Jahre eröffnet werden. Am Ende eines jeden Jahres erhöht die Bank die Einlage um 10 % im Vergleich zu ihrer Höhe zu Beginn des Jahres. Darüber hinaus füllt der Einzahler zu Beginn des dritten und vierten Jahres die Einzahlung jährlich auf X Millionen Rubel, wo X - ganz Nummer. Finden Höchster Wert X, bei dem die Bank in vier Jahren weniger als 17 Millionen Rubel zur Einzahlung hinzufügen wird.

Lösung: Am Ende des ersten Jahres beträgt der Beitrag 20 + 20 · 0,1 = 22 Millionen Rubel und am Ende des zweiten - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 Millionen Rubel. Zu Beginn des dritten Jahres beträgt der Beitrag (in Millionen Rubel) (24,2 + X) und am Ende - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Zu Beginn des vierten Jahres beträgt der Beitrag (26.62 + 2.1 X), und am Ende - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Als Bedingung müssen Sie die größte ganze Zahl x finden, für die die Ungleichung gilt

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Die größte ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 24.

Antworten: 24.

Aufgabe Nummer 18- eine Aufgabe von erhöhter Komplexität mit einer detaillierten Antwort. Diese Aufgabe ist für wettbewerbsfähige Auswahl Universitäten mit höheren Anforderungen mathematische Vorbereitung Bewerber. Übung hohes Level Komplexität ist keine Aufgabe für die Anwendung einer Lösungsmethode, sondern für eine Kombination verschiedener Methoden. Für die erfolgreiche Bearbeitung der Aufgabe 18 ist neben soliden mathematischen Kenntnissen auch ein hohes Maß an mathematischer Kultur erforderlich.

Bei was a System der Ungleichheiten

	x 2 + j 2 ≤ 2ja – a 2 + 1
	j + a ≤ |x| – a

genau zwei Lösungen hat?

Lösung: Dieses System kann umgeschrieben werden als

	x 2 + (j– a) 2 ≤ 1
	j ≤ |x| – a

Wenn wir die Menge der Lösungen der ersten Ungleichung in die Ebene zeichnen, erhalten wir das Innere eines Kreises (mit Rand) mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Punkt (0, a). Die Menge der Lösungen der zweiten Ungleichung ist der Teil der Ebene, der unter dem Graphen der Funktion liegt j = | x| – a, und letzteres ist der Graph der Funktion
j = | x| , nach unten verschoben um a. Die Lösung dieses Systems ist der Schnittpunkt der Lösungsmengen jeder der Ungleichungen.

Daher zwei Lösungen dieses System nur in dem in Abb. eines.

Die Berührungspunkte zwischen dem Kreis und den Linien sind die beiden Lösungen des Systems. Jede der Geraden ist in einem Winkel von 45° zu den Achsen geneigt. Also das Dreieck PQR- rechteckig gleichschenklig. Punkt Q hat Koordinaten (0, a) und der Punkt R– Koordinaten (0, – a). Außerdem Schnitte PR und PQ gleich dem Kreisradius gleich 1 sind. Also

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Antworten: a =	√2	.
	2

Aufgabe Nummer 19- eine Aufgabe von erhöhter Komplexität mit einer detaillierten Antwort. Diese Aufgabe ist für die kompetitive Auswahl an Hochschulen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung von Bewerbern vorgesehen. Eine Aufgabe mit hoher Komplexität ist keine Aufgabe für die Anwendung eines Lösungsverfahrens, sondern für eine Kombination verschiedener Verfahren. Um Aufgabe 19 erfolgreich abzuschließen, müssen Sie in der Lage sein, durch Auswählen nach einer Lösung zu suchen unterschiedliche Ansätze unter den bekannten, die untersuchten Methoden modifizierend.

Lassen schn Summe P Glieder einer arithmetischen Folge ( ein p). Es ist bekannt, dass Sn + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Geben Sie die Formel an P Mitglied dieser Progression.

b) Finden Sie die kleinste Modulosumme Sn.

c) Finden Sie den kleinsten P, bei welchem Sn wird das Quadrat einer ganzen Zahl sein.

Lösung: a) Offensichtlich ein = Sn – Sn- eines . Verwenden diese Formel, wir bekommen:

Sn = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

Sn – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

meint, ein = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

b) weil Sn = 2n 2 – 25n, dann betrachte die Funktion S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ihr Diagramm ist in der Abbildung zu sehen.

Es ist offensichtlich, dass der kleinste Wert an den ganzzahligen Punkten erreicht wird, die den Nullstellen der Funktion am nächsten liegen. Das sind natürlich Punkte. X= 1, X= 12 und X= 13. Da, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, dann ist der kleinste Wert 12.

c) Aus dem vorigen Absatz folgt, dass schn seither positiv n= 13. Seit Sn = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), dann der offensichtliche Fall, wenn gegebenen Ausdruck ein perfektes Quadrat ist, wird realisiert, wann n = 2n- 25, das heißt mit P= 25.

Es bleibt, die Werte von 13 bis 25 zu überprüfen:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Es stellt sich heraus, dass für kleinere Werte P volles Quadrat wird nicht erreicht.

Antworten: a) ein = 4n- 27; b) 12; c) 25.

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*Seit Mai 2017 ist die gemeinsame Verlagsgruppe „DROFA-VENTANA“ Teil der Aktiengesellschaft „ Russisches Lehrbuch". Zum Unternehmen gehörten auch der Astrel-Verlag und Digital Bildungsplattform"Lecta". Vorsitzender ernannte Alexander Brychkin, Absolvent Finanzakademie unter der Regierung der Russischen Föderation, Kandidat Wirtschaftswissenschaften, Supervisor innovative Projekte DROFA Verlag im Bereich digitale Bildung ( elektronische Formulare Lehrbücher, "Russian Electronic School", digitale Bildungsplattform LECTA). Vor seinem Eintritt in den DROFA-Verlag bekleidete er die Position des Vizepräsidenten für Strategische Entwicklung und Investitionen der Verlagsholding EKSMO-AST. Heute verfügt die Russian Textbook Publishing Corporation über das größte Portfolio an Lehrbüchern, die in der Russischen Textbook Publishing Corporation enthalten sind Bundesliste- 485 Titel (ca. 40 %, ohne Lehrbücher für Heilschule). Die Verlage der Gesellschaft besitzen die beliebtesten Russische Schulen Lehrbücher über Physik, Zeichnen, Biologie, Chemie, Technik, Geographie, Astronomie - Wissensgebiete, die zur Entwicklung des Produktionspotentials des Landes benötigt werden. Das Portfolio des Unternehmens umfasst Lehrbücher und Studienführer zum Grundschule mit dem Presidential Prize in Education ausgezeichnet. Dies sind Lehrbücher und Handbücher zu Fachgebieten, die für die Entwicklung des wissenschaftlichen, technischen und industriellen Potenzials Russlands erforderlich sind.

Die Lösung des Problems läuft normalerweise darauf hinaus logisches Denken und Berechnungen, um den Wert einer Menge zu finden. Finden Sie beispielsweise die Geschwindigkeit, Zeit, Entfernung, Masse eines Objekts oder die Menge von etwas.

Dieses Problem kann mit einer Gleichung gelöst werden. Dazu wird der gewünschte Wert durch eine Variable angegeben, dann wird durch logisches Denken eine Gleichung erstellt und gelöst. Nachdem sie die Gleichung gelöst haben, prüfen sie, ob die Lösung der Gleichung die Bedingungen des Problems erfüllt.

Unterrichtsinhalt

Ausdrücke schreiben, die das Unbekannte enthalten

Die Lösung des Problems wird begleitet von der Erstellung einer Gleichung für dieses Problem. Auf der Erstphase Probleme zu studieren, ist es wünschenswert zu lernen, wie man komponiert wörtliche Ausdrücke das eine oder andere beschreiben Lebenssituation. Diese Phase ist nicht schwierig und kann im Prozess der Lösung des Problems selbst untersucht werden.

Betrachten Sie mehrere Situationen, die mit einem mathematischen Ausdruck geschrieben werden können.

Aufgabe 1. Alter des Vaters x Jahre. Mama ist zwei Jahre jünger. Sohn jünger als Vater dreimal. Notieren Sie das Alter von jedem mithilfe von Ausdrücken.

Lösung:

Aufgabe 2. Alter des Vaters x Jahre, Mutter ist 2 Jahre jünger als Vater. Der Sohn ist 3 mal jünger als der Vater, die Tochter ist 3 mal jünger als die Mutter. Notieren Sie das Alter von jedem mithilfe von Ausdrücken.

Lösung:

Aufgabe 3. Alter des Vaters x Jahre, Mutter ist 3 Jahre jünger als Vater. Der Sohn ist 3 mal jünger als der Vater, die Tochter ist 3 mal jünger als die Mutter. Wie alt ist jeder allgemeines Alter Vater, Mutter, Sohn und Tochter ist 92 Jahre alt?

Lösung:

Bei diesem Problem ist es zusätzlich zum Schreiben von Ausdrücken erforderlich, das Alter jedes Familienmitglieds zu berechnen.

Zuerst schreiben wir das Alter jedes Familienmitglieds mithilfe von Ausdrücken auf. Pro Variable x Nehmen wir das Alter des Vaters und bilden dann mit dieser Variablen die restlichen Ausdrücke:

Lassen Sie uns nun das Alter jedes Familienmitglieds bestimmen. Dazu müssen wir eine Gleichung schreiben und lösen. Wir haben alle Komponenten der Gleichung bereit. Es bleibt nur, sie zusammen zu sammeln.

Das Gesamtalter von 92 Jahren ergibt sich aus der Addition der Altersangaben von Vater, Mutter, Sohn und Tochter:

Für jedes Alter haben wir mathematischer Ausdruck. Diese Ausdrücke werden die Komponenten unserer Gleichung sein. Stellen wir unsere Gleichung nach diesem Schema und der oben angegebenen Tabelle zusammen. Das heißt, die Wörter Vater, Mutter, Sohn, Tochter werden durch den Ausdruck ersetzt, der ihnen in der Tabelle entspricht:

Ausdruck für das Alter der Mutter x − 3 der Übersichtlichkeit halber in Klammern gesetzt.

Lassen Sie uns nun die resultierende Gleichung lösen. Zunächst können Sie die Klammern nach Möglichkeit öffnen:

Um die Gleichung von Brüchen zu befreien, multipliziere beide Seiten mit 3

Wir lösen die resultierende Gleichung mit dem Bekannten identische Transformationen:

Wir haben den Wert der Variablen gefunden x. Diese Variable war für das Alter des Vaters verantwortlich. Das Alter des Vaters beträgt also 36 Jahre.

Wenn Sie das Alter des Vaters kennen, können Sie das Alter der restlichen Familie berechnen. Dazu müssen Sie den Wert der Variablen ersetzen x in jenen Ausdrücken, die für das Alter eines bestimmten Familienmitglieds verantwortlich sind.

In der Problematik hieß es, die Mutter sei 3 Jahre jünger als der Vater. Wir bezeichneten ihr Alter durch den Ausdruck x−3. Variabler Wert x ist jetzt bekannt, und um das Alter der Mutter zu berechnen, ist es im Ausdruck notwendig x − 3 Anstatt von x ersetzen Sie den gefundenen Wert 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 Jahre alte Mutter.

Ebenso wird das Alter der übrigen Familienmitglieder bestimmt:

Untersuchung:

Aufgabe 4. Ein Kilogramm Äpfel ist es wert x Rubel. Schreiben Sie einen Ausdruck auf, der berechnet, wie viele Kilogramm Äpfel Sie für 300 Rubel kaufen können.

Lösung

Wenn ein Kilo Äpfel kostet x Rubel, dann können Sie für 300 Rubel ein Kilogramm Äpfel kaufen.

Beispiel. Ein Kilogramm Äpfel kostet 50 Rubel. Dann können Sie für 300 Rubel 6 Kilogramm Äpfel kaufen.

Aufgabe 5. Auf der x Rubel wurden 5 kg Äpfel gekauft. Schreiben Sie einen Ausdruck auf, der berechnet, wie viele Rubel ein Kilogramm Äpfel kostet.

Lösung

Wenn für 5 kg Äpfel bezahlt wurde x Rubel, dann kostet ein Kilogramm Rubel

Beispiel. Für 300 Rubel wurden 5 kg Äpfel gekauft. Dann kostet ein Kilogramm Äpfel 60 Rubel.

Aufgabe 6. Tom, John und Leo gingen in der Pause in die Cafeteria und kauften sich ein Sandwich und eine Tasse Kaffee. Das Sandwich ist es wert x Rubel und eine Tasse Kaffee - 15 Rubel. Bestimmen Sie die Kosten für ein Sandwich, wenn bekannt ist, dass für alles 120 Rubel bezahlt wurden?

Lösung

Natürlich ist dieses Problem so einfach wie drei Cent und kann gelöst werden, ohne auf eine Gleichung zurückzugreifen. Ziehen Sie dazu die Kosten für drei Tassen Kaffee (15 × 3) von 120 Rubel ab und teilen Sie das Ergebnis durch 3

Aber unser Ziel ist es, eine Gleichung für das Problem zu schreiben und diese Gleichung zu lösen. Also die Kosten für ein Sandwich x Rubel. Nur drei gekauft. Nachdem wir die Kosten verdreifacht haben, erhalten wir einen Ausdruck, der beschreibt, wie viele Rubel für drei Sandwiches bezahlt wurden

3x - Kosten für drei Sandwiches

Und die Kosten für drei Tassen Kaffee können als 15 × 3 geschrieben werden. 15 sind die Kosten für eine Tasse Kaffee, und 3 ist ein Multiplikator (Tom, John und Leo), der diese Kosten verdreifacht.

Je nach Zustand des Problems wurden für alles 120 Rubel bezahlt. Wir haben schon beispielhaftes Schema, Was müssen wir tun:

Wir haben bereits Ausdrücke, die die Kosten von drei Sandwiches und drei Tassen Kaffee beschreiben. Dies sind Ausdrücke 3 x und 15×3. Unter Verwendung des Schemas schreiben wir eine Gleichung und lösen sie:

Die Kosten für ein Sandwich betragen also 25 Rubel.

Das Problem wird nur dann richtig gelöst, wenn die Gleichung dafür richtig zusammengestellt ist. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Gleichungen, mit denen wir lernen, Wurzeln zu finden, haben Gleichungen zur Lösung von Problemen ihre eigene spezifische Anwendung. Jede Komponente einer solchen Gleichung kann in beschrieben werden verbale Form. Beim Erstellen einer Gleichung ist es unerlässlich zu verstehen, warum wir die eine oder andere Komponente in ihre Zusammensetzung aufnehmen und warum sie benötigt wird.

Es muss auch daran erinnert werden, dass die Gleichung eine Gleichheit ist, nach deren Lösung die linke Seite gleich der rechten Seite sein muss. Die resultierende Gleichung sollte dieser Idee nicht widersprechen.

Stellen Sie sich vor, dass die Gleichung eine Waage mit zwei Schalen und einem Bildschirm ist, der den Zustand der Waage anzeigt.

BEI dieser Moment Der Bildschirm zeigt ein Gleichheitszeichen. Es ist klar, warum die linke Schüssel gleich der rechten Schüssel ist - auf den Schüsseln ist nichts. Wir schreiben den Zustand der Waage und das Fehlen von etwas auf den Schalen mit der folgenden Gleichheit:

0 = 0

Stellen wir eine Wassermelone auf die linke Skala:

Die linke Schale überwog die rechte Schale und der Bildschirm schlug Alarm und zeigte das Ungleichheitszeichen (≠). Dieses Zeichen zeigt an, dass die linke Schüssel nicht gleich der rechten Schüssel ist.

Versuchen wir nun, das Problem zu lösen. Lassen Sie es herausfinden, wie viel die Wassermelone wiegt, die auf der linken Schüssel liegt. Aber woher weißt du das? Unsere Waagen sind schließlich nur darauf ausgelegt, zu prüfen, ob die linke Schüssel der rechten gleicht.

Gleichungen kommen zur Rettung. Denken Sie daran, dass die Gleichung per Definition ist Gleichberechtigung A, das die Variable enthält, deren Wert Sie finden möchten. Die Waage spielt in diesem Fall genau die Rolle dieser Gleichung, und die Masse der Wassermelone ist eine Variable, deren Wert gefunden werden muss. Unser Ziel ist es, diese Gleichung richtig zu machen. Verstehen Sie, richten Sie die Waage so aus, dass Sie die Masse der Wassermelone berechnen können.

Um die Waage auszurichten, können Sie etwas Gewicht auf die rechte Schüssel legen. schwerer Gegenstand. Nehmen wir zum Beispiel ein Gewicht von 7 kg.

Im Gegenteil, jetzt überwog die rechte Schale die linke. Der Bildschirm zeigt immer noch, dass die Schalen nicht gleich sind.

Versuchen wir, ein Gewicht von 4 kg auf die linke Schüssel zu legen

Jetzt hat sich die Waage eingependelt. Die Abbildung zeigt, dass sich die linke Schüssel auf der Höhe der rechten Schüssel befindet. Und der Bildschirm zeigt ein Gleichheitszeichen. Dieses Zeichen zeigt an, dass die linke Schale gleich der rechten Schale ist.

So haben wir eine Gleichung erhalten - eine Gleichheit, die eine Unbekannte enthält. Die linke Pfanne ist die linke Seite der Gleichung, bestehend aus den 4 Komponenten und der Variablen x(Massen von Wassermelonen), und die richtige Schüssel ist rechter Teil Gleichung, bestehend aus Komponente 7.

Nun, es ist nicht schwer zu erraten, dass die Wurzel der Gleichung 4 + ist x\u003d 7 ist 3. Die Masse der Wassermelone beträgt also 3 kg.

Dasselbe gilt für andere Aufgaben. Um einen unbekannten Wert zu finden, addieren Sie zur linken oder rechten Seite der Gleichung verschiedene Elemente: Terme, Faktoren, Ausdrücke. Bei Schulaufgaben sind diese Elemente bereits gegeben. Es bleibt nur, sie richtig zu strukturieren und eine Gleichung zu erstellen. Wir sind in dieses Beispiel beschäftigte sich mit der Auswahl, probierte Gewichte verschiedener Massen aus, um die Masse einer Wassermelone zu berechnen.

Natürlich müssen die in der Aufgabe angegebenen Daten zunächst in eine Form gebracht werden, in der sie in die Gleichung aufgenommen werden können. Deshalb, wie sie sagen "Ob es dir gefällt oder nicht, du musst nachdenken".

Betrachten Sie das folgende Problem. Alter des Vaters dem Alter gleich Sohn und Tochter zusammen. Sohn halbiert älter als Tochter und zwanzig Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist jeder?

Das Alter der Tochter kann ausgedrückt werden als x. Wenn der Sohn doppelt so alt ist wie die Tochter, wird sein Alter mit 2 angegeben x. Die Bedingung des Problems besagt, dass das Alter von Tochter und Sohn zusammen dem Alter des Vaters entspricht. Das Alter des Vaters wird also durch die Summe angegeben x + 2x

Sie können ähnliche Begriffe in einem Ausdruck hinzufügen. Dann wird das Alter des Vaters mit 3 angegeben x

Lass uns jetzt eine Gleichung aufstellen. Wir brauchen eine Gleichheit, in der wir das Unbekannte finden können x. Lassen Sie uns Gewichte verwenden. Auf der linken Schale tragen wir das Alter des Vaters ein (3 x), und auf der rechten Schale das Alter des Sohnes (2 x)

Es ist klar, warum die linke Schüssel die rechte überwog und warum der Bildschirm das Zeichen (≠) anzeigt. Schließlich ist es logisch, dass das Alter des Vaters größer ist als das Alter des Sohnes.

Aber wir müssen die Waage ausbalancieren, damit wir das Unbekannte berechnen können x. Dazu müssen Sie der rechten Schüssel eine Zahl hinzufügen. Welche Nummer ist im Problem angegeben. Die Bedingung besagte, dass der Sohn 20 Jahre jünger als der Vater war. 20 Jahre sind also die gleiche Zahl, die auf die Waage gebracht werden muss.

Die Waage gleicht sich aus, wenn wir diese 20 Jahre zur rechten Seite der Waage addieren. Mit anderen Worten, erziehen wir den Sohn auf das Alter des Vaters

Jetzt hat sich die Waage eingependelt. Es stellte sich heraus, die Gleichung , was leicht gelöst werden kann:

x Wir haben das Alter der Tochter markiert. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden. Tochter 20 Jahre alt.

Und schließlich berechnen wir das Alter des Vaters. Der Auftrag sagte, dass er ist gleich der Summe das Alter des Sohnes und der Tochter, also (20 + 40) Jahre.

Kehren wir zur Mitte der Aufgabe zurück und achten auf einen Punkt. Als wir das Alter des Vaters und das Alter des Sohnes auf die Waage stellten, überwog die linke Schale die rechte

Aber wir haben dieses Problem gelöst, indem wir der rechten Schüssel weitere 20 Jahre hinzugefügt haben. Als Ergebnis nivellierten sich die Waagen und wir bekamen die Gleichberechtigung

Aber es war möglich, diese 20 Jahre nicht zur rechten Schale zu addieren, sondern von der linken abzuziehen. Wir würden in diesem Fall Gleichberechtigung bekommen

Diesmal ist die Gleichung . Die Wurzel der Gleichung ist immer noch 20

Das heißt, die Gleichungen und sind gleichwertig. Und daran erinnern wir uns Äquivalente Gleichungen Wurzeln passen. Wenn Sie sich diese beiden Gleichungen genau ansehen, können Sie sehen, dass die zweite Gleichung erhalten wird, indem Sie die Zahl 20 von der rechten Seite auf die linke Seite übertragen entgegengesetztem Vorzeichen. Und diese Aktion, wie in der vorherigen Lektion angedeutet, ändert die Wurzeln der Gleichung nicht.

Sie müssen auch darauf achten, dass zu Beginn der Lösung des Problems das Alter jedes Familienmitglieds durch andere Ausdrücke angegeben werden könnte.

Nehmen wir an, das Alter des Sohnes wird mit bezeichnet x und da er zwei älter ist als seine Tochter, dann bezeichne das Alter der Tochter durch (verstehe, sie zu machen jünger als Sohn zweimal). Und das Alter des Vaters, da es die Summe des Alters von Sohn und Tochter ist, wird durch den Ausdruck bezeichnet. Und schließlich, um eine logisch korrekte Gleichung zu erstellen, müssen Sie die Zahl 20 zum Alter des Sohnes addieren, weil der Vater zwanzig Jahre älter ist. Das Ergebnis ist eine völlig andere Gleichung. . Lösen wir diese Gleichung

Wie Sie sehen können, haben sich die Antworten auf das Problem nicht geändert. Mein Sohn ist noch 40 Jahre alt. Die Töchter sind noch Jahre alt, und der Vater ist 40 + 20 Jahre alt.

Mit anderen Worten, das Problem kann gelöst werden verschiedene Methoden. Daher sollte man nicht verzweifeln, dass es nicht möglich ist, dieses oder jenes Problem zu lösen. Aber es muss bedacht werden, dass es eine gibt einfache Wege Probleme lösen. Sie können in die Innenstadt gelangen verschiedene Strecken, aber es gibt immer den bequemsten, schnellsten und sichersten Weg.

Beispiele für Problemlösungen

Aufgabe 1. Es gibt 30 Notizbücher in zwei Packungen. Würden 2 Notebooks aus dem ersten Bundle in das zweite übertragen, dann wären im ersten Bundle doppelt so viele Notebooks wie im zweiten. Wie viele Notizbücher waren in jeder Packung?

Lösung

Bezeichne mit x die Anzahl der Notizbücher, die in der ersten Packung enthalten waren. Wenn es insgesamt 30 Notizbücher gäbe und die Variable x dies die Anzahl der Notizbücher aus dem ersten Paket ist, dann wird die Anzahl der Notizbücher im zweiten Paket durch den Ausdruck 30 − bezeichnet x. Das heißt, wir subtrahieren von der Gesamtzahl der Notizbücher die Anzahl der Notizbücher aus dem ersten Paket und erhalten dadurch die Anzahl der Notizbücher aus dem zweiten Paket.

und fügen Sie diese beiden Notizbücher dem zweiten Paket hinzu

Versuchen wir, aus den vorhandenen Ausdrücken eine Gleichung zu erstellen. Wir haben beide Packungen Notebooks auf die Waage gestellt

Die linke Schale ist schwerer als die rechte. Dies liegt daran, dass die Bedingung des Problems besagt, dass, nachdem zwei Notizbücher aus dem ersten Bündel genommen und in das zweite gelegt wurden, die Anzahl der Notizbücher im ersten Bündel doppelt so groß wurde wie im zweiten.

Um die Waage auszugleichen und die Gleichung zu erhalten, verdoppeln Sie die rechte Seite. Dazu multiplizieren Sie es mit 2

Es stellt sich eine Gleichung heraus. Wir werden entscheiden gegebene Gleichung:

Wir haben das erste Paket mit der Variable bezeichnet x. Jetzt haben wir seine Bedeutung gefunden. Variable x gleich 22. Es waren also 22 Notizbücher in der ersten Packung.

Und wir haben die zweite Packung mit dem Ausdruck 30 − bezeichnet x und seit dem Wert der Variablen x Jetzt wissen wir, dass wir die Anzahl der Notizbücher in der zweiten Packung berechnen können. Es ist gleich 30 − 22, also 8 Stück.

Aufgabe 2. Zwei Personen schälten Kartoffeln. Einer schälte zwei Kartoffeln pro Minute und der andere drei Kartoffeln. Zusammen räumten sie 400 Stück ab. Wie lange hat jeder gearbeitet, wenn der zweite 25 Minuten länger gearbeitet hat als der erste?

Lösung

Bezeichne mit x Zeit der ersten Person. Da die zweite Person 25 Minuten mehr gearbeitet hat als die erste, wird ihre Zeit mit dem Ausdruck bezeichnet

Der erste Arbeiter schälte 2 Kartoffeln pro Minute, und seitdem arbeitete er x Minuten, dann räumte er insgesamt 2 ab x Kartoffeln.

Die zweite Person schälte drei Kartoffeln pro Minute, und da sie minutenlang arbeitete, schälte sie insgesamt Kartoffeln.

Gemeinsam schälten sie 400 Kartoffeln

Aus den verfügbaren Komponenten werden wir die Gleichung zusammenstellen und lösen. Auf der linken Seite der Gleichung stehen die von jeder Person geschälten Kartoffeln und auf der rechten Seite ihre Summe:

Zu Beginn der Lösung dieses Problems durch die Variable x Wir haben die Arbeitszeit der ersten Person markiert. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden. Die erste Person arbeitete 65 Minuten.

Und die zweite Person arbeitete minutenlang und seit dem Wert der Variablen x Jetzt ist es bekannt, dann können Sie die Zeit der zweiten Person berechnen - sie beträgt 65 + 25, dh 90 Minuten.

Problem aus dem Algebra-Lehrbuch von Andrey Petrovich Kiselev. Aus den Teesorten wurde eine Mischung von 32 kg hergestellt. Ein Kilogramm der ersten Sorte kostet 8 Rubel und der zweiten Sorte 6 Rubel. 50 Kop. Wie viel Kilogramm werden von beiden Sorten genommen, wenn ein Kilogramm der Mischung (ohne Gewinn oder Verlust) 7 Rubel kostet. 10 Kopeken?

Lösung

Bezeichne mit x viel Tee der ersten Klasse. Dann wird die Teemasse der zweiten Klasse durch den Ausdruck 32 − bezeichnet x

Ein Kilogramm Tee der ersten Klasse kostet 8 Rubel. Wenn diese acht Rubel mit der Anzahl der Kilogramm Tee der ersten Klasse multipliziert werden, kann festgestellt werden, wie viel die Rubel kosten x kg Tee der ersten Klasse.

Ein Kilogramm Tee zweiter Klasse kostet 6 Rubel. 50 Kop. Wenn diese 6 Rubel. 50 Kop. mit 32 multiplizieren − x, dann können Sie herausfinden, wie viele Rubel 32 kosten − x kg Tee der zweiten Klasse.

Die Bedingung besagt, dass ein Kilogramm der Mischung 7 Rubel kostet. 10 Kop. Insgesamt wurden 32 kg der Mischung hergestellt. Multiplizieren Sie 7 Rubel. 10 Kop. Bei 32 erfahren wir, wie viel 32 kg der Mischung kosten.

Die Ausdrücke, aus denen wir die Gleichung zusammensetzen, nehmen nun die folgende Form an:

Versuchen wir, aus den vorhandenen Ausdrücken eine Gleichung zu erstellen. Lassen Sie uns die Kosten für Mischungen von Tees der ersten und zweiten Klasse auf die linke Pfanne der Waage legen und die Kosten von 32 kg der Mischung auf die rechte Pfanne, das heißt Gesamtkosten Mischung, die beide Teesorten enthält:

Zu Beginn der Lösung dieses Problems durch die Variable x Wir haben die Teemasse der ersten Klasse bezeichnet. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden. Variable x gleich 12,8. Das bedeutet, dass für die Zubereitung der Mischung 12,8 kg Tee der ersten Klasse entnommen wurden.

Und durch Ausdruck 32 − x Wir haben die Masse des Tees der zweiten Klasse bezeichnet und seitdem den Wert der Änderung x jetzt bekannt, können wir die Teemasse der zweiten Klasse berechnen. Es ist gleich 32 − 12,8, also 19,2. Das bedeutet, dass für die Zubereitung der Mischung 19,2 kg Tee zweiter Güte verwendet wurden.

Aufgabe 3. Ein Radfahrer hat eine Strecke mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h zurückgelegt. Er musste über eine andere Straße zurückkehren, die 3 km länger war als die erste, und obwohl er mit einer Geschwindigkeit von 9 km / h zurückkehrte, brauchte er mehr als Minuten Zeit. Wie lang waren die Straßen?

Lösung

Einige Aufgaben können Themen behandeln, die die Person möglicherweise nicht studiert hat. Diese Aufgabe gehört zu diesem Aufgabenspektrum. Es befasst sich mit den Begriffen Entfernung, Geschwindigkeit und Zeit. Dementsprechend müssen Sie, um ein solches Problem zu lösen, eine Vorstellung davon haben, was in dem Problem gesagt wird. In unserem Fall müssen wir die Entfernung, Geschwindigkeit und Zeit kennen.

Die Aufgabe besteht darin, die Entfernungen zweier Straßen zu ermitteln. Wir müssen eine Gleichung aufstellen, mit der wir diese Entfernungen berechnen können.

Betrachten Sie die Beziehung zwischen Entfernung, Geschwindigkeit und Zeit. Jede dieser Größen kann mit einer wörtlichen Gleichung beschrieben werden:

Wir werden die rechte Seite einer dieser Gleichungen verwenden, um unsere Gleichung aufzustellen. Um herauszufinden, welche, müssen Sie zum Text der Aufgabe zurückkehren und nachsehen, was Sie verstehen können

Sie können den Moment nachvollziehen, in dem der Radfahrer auf dem Rückweg mehr als eine Minute Zeit verbraucht hat. Dieser Hinweis sagt uns, dass wir die Gleichung verwenden können, nämlich seine rechte Seite. Dadurch können wir eine Gleichung schreiben, die die Variable enthält S .

Bezeichnen wir also die Länge der ersten Straße als S. Der Radfahrer fuhr diesen Weg mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h. Die Zeit, die er diesen Weg zurückgelegt hat, wird mit dem Ausdruck bezeichnet, da die Zeit das Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur Geschwindigkeit ist

Der Rückweg für den Radfahrer war 3 km länger. Daher wird seine Entfernung durch den Ausdruck bezeichnet S+ 3 . Ein Radfahrer befuhr diese Straße mit einer Geschwindigkeit von 9 km/h. Die Zeit, in der er diesen Weg überwunden hat, wird also mit dem Ausdruck bezeichnet.

Lassen Sie uns nun eine Gleichung aus den vorhandenen Ausdrücken erstellen

Die rechte Schale ist schwerer als die linke. Denn das Problem besagt, dass der Radfahrer mehr Zeit auf dem Rückweg verbracht hat.

Um die Skalen auszugleichen, fügen Sie dieselben Minuten auf der linken Seite hinzu. Aber zuerst rechnen wir Minuten in Stunden um, da in der Aufgabe die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde und nicht in Metern pro Minute gemessen wird.

Um Minuten in Stunden umzurechnen, musst du sie durch 60 teilen

Minuten machen Stunden. Fügen Sie diese Stunden zur linken Seite der Gleichung hinzu:

Es stellt sich die Gleichung heraus . Lösen wir diese Gleichung. Um Brüche loszuwerden, können beide Teile des Teils mit 72 multipliziert werden. Außerdem, unter Verwendung der bekannten identischen Transformationen, Wert finden Variable S

Durch eine Variable S Wir markierten die Entfernung der ersten Straße. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden. Variable S ist 15. Die Entfernung der ersten Straße beträgt also 15 km.

Und wir bezeichneten die Entfernung der zweiten Straße durch den Ausdruck S+ 3 und seit dem Wert der Variablen S Jetzt wissen wir es, wir können die Entfernung der zweiten Straße berechnen. Diese Entfernung entspricht der Summe von 15 + 3, also 18 km.

Aufgabe 4. Zwei Autos fahren mit gleicher Geschwindigkeit über die Autobahn. Wenn der erste die Geschwindigkeit um 10 km/h erhöht und der zweite die Geschwindigkeit um 10 km/h verringert, dann legt der erste die gleiche Strecke in 2 Stunden zurück wie der zweite in 3 Stunden Autos?

Lösung

Bezeichne mit v die Geschwindigkeit jedes Autos. Weiter in der Aufgabe werden Hinweise gegeben: Erhöhen Sie die Geschwindigkeit des ersten Autos um 10 km/h und verringern Sie die Geschwindigkeit des zweiten Autos um 10 km/h. Nutzen wir diesen Hinweis

Es wird weiterhin angegeben, dass bei solchen Geschwindigkeiten (erhöht und verringert um 10 km / h) das erste Auto in 2 Stunden die gleiche Strecke zurücklegt wie das zweite in 3 Stunden. Phrase "so viele" kann verstanden werden als "Die Strecke, die das erste Auto zurücklegt, wird sein gleich Strecke, die das zweite Auto zurückgelegt hat.

Die Entfernung wird, wie wir uns erinnern, durch die Formel bestimmt. Wir interessieren uns für die rechte Seite dieser wörtlichen Gleichung - sie ermöglicht es uns, eine Gleichung zu schreiben, die eine Variable enthält v .

Also mit Tempo v + 10 km/h Das erste Auto wird passieren 2(v+10) km, und die zweite wird vergehen 3(v − 10) km. Unter dieser Bedingung legen die Autos die gleichen Strecken zurück, daher reicht es aus, diese beiden Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen zu verbinden, um eine Gleichung zu erhalten. Dann erhalten wir die Gleichung. Lösen wir es:

Bei dem Problem wurde gesagt, dass die Autos mit der gleichen Geschwindigkeit fahren. Wir haben diese Geschwindigkeit durch die Variable bezeichnet v. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden. Variable v gleich 50. Die Geschwindigkeit beider Autos betrug also 50 km/h.

Aufgabe 5. In 9 Stunden flussabwärts legt das Schiff die gleiche Strecke zurück wie in 11 Stunden flussaufwärts. Finden Sie die Geschwindigkeit des Bootes, wenn die Geschwindigkeit des Flusses 2 km/h beträgt.

Lösung

Bezeichne mit v Eigengeschwindigkeit des Schiffes. Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt 2 km/h. Im Verlauf des Flusses wird die Geschwindigkeit des Schiffes sein v + 2 km/h, und gegen den Strom - (v − 2) km/h.

Die Bedingung des Problems besagt, dass das Schiff in 9 Stunden die gleiche Strecke entlang des Flusses zurücklegt wie in 11 Stunden gegen den Strom. Phrase "gleicher Weg" kann verstanden werden als die Strecke, die das Boot in 9 Stunden entlang des Flusses zurücklegt, gleich Strecke, die das Schiff in 11 Stunden gegen die Strömung des Flusses zurücklegt. Das heißt, die Abstände sind gleich.

Der Abstand wird durch die Formel bestimmt. Lassen Sie uns die rechte Seite dieser wörtlichen Gleichung verwenden, um unsere eigene Gleichung zu schreiben.

In 9 Stunden wird das Schiff also den Fluss entlangfahren 9 (v + 2) km, und in 11 Stunden stromaufwärts - 11 (v − 2) km. Da beide Ausdrücke denselben Abstand beschreiben, setzen wir den ersten Ausdruck dem zweiten gleich. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung . Lösen wir es:

Meint eigene Geschwindigkeit Das Schiff ist 20 km / h.

Beim Lösen von Problemen gute Angewohnheit ist vorab festzulegen, welche Lösung dafür angestrebt wird.

Angenommen, die Aufgabe bestand darin, die Zeit zu ermitteln, die ein Fußgänger zum Überwinden benötigt angegebenen Pfad. Wir haben die Zeit durch die Variable bezeichnet t, dann haben wir eine Gleichung erstellt, die diese Variable enthält, und ihren Wert gefunden.

Aus der Praxis wissen wir, dass die Bewegungszeit eines Objekts sowohl ganzzahlige Werte als auch gebrochene Werte annehmen kann, zum Beispiel 2 Stunden, 1,5 Stunden, 0,5 Stunden.Dann können wir sagen, dass die Lösung dieses Problems auf der gesucht wird einstellen Rationale Zahlen Q, da jeder der Werte 2 h, 1,5 h, 0,5 h als Bruch dargestellt werden kann.

Daher nach unbekannte Menge durch eine Variable bezeichnet, ist es sinnvoll anzugeben, zu welcher Menge dieser Wert gehört. In unserem Beispiel die Uhrzeit t gehört zur Menge der rationalen Zahlen Q

t ∈ Q

Sie können auch eine Einschränkung für die Variable einführen t, was darauf hinweist, dass es nur akzeptieren kann positive Werte. In der Tat, wenn das Objekt auf dem Weg verbracht wird bestimmte Zeit, dann kann diese Zeit nicht negativ sein. Daher neben dem Ausdruck t∈ Q Geben Sie an, dass sein Wert größer als Null sein muss:

t∈ R, t > 0

Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir negative Bedeutung für eine Variable t, dann kann daraus geschlossen werden, dass das Problem falsch gelöst wurde, da diese Lösung die Bedingung nicht erfüllt t∈ Q , t> 0 .

Ein anderes Beispiel. Wenn wir ein Problem lösen würden, bei dem es erforderlich wäre, die Anzahl der Personen zu finden, die eine bestimmte Arbeit ausführen, dann würden wir diese Zahl durch eine Variable bezeichnen x. Bei einem solchen Problem würde die Lösung am Set gesucht natürliche Zahlen

x ∈ N

Tatsächlich ist die Anzahl der Personen eine ganze Zahl, wie z. B. 2 Personen, 3 Personen, 5 Personen. Aber nicht 1,5 (eins ganze Person und eine halbe Person) oder 2,3 (zwei ganze Personen und weitere drei Zehntel einer Person).

Hier könnte man angeben, dass die Personenzahl größer als Null sein muss, die Zahlen aber in die Menge der natürlichen Zahlen aufgenommen werden N selbst positiv und größer als Null sind. Dieses Set nicht negative Zahlen und die Zahl 0. Daher kann der Ausdruck x > 0 weggelassen werden.

Aufgabe 6. Um die Schule zu reparieren, traf ein Team ein, in dem es 2,5-mal mehr Maler als Zimmerleute gab. Bald nahm der Vorarbeiter vier weitere Maler in das Team auf und versetzte zwei Zimmerleute auf ein anderes Objekt. Infolgedessen gab es in der Brigade viermal mehr Maler als Zimmerleute. Wie viele Maler und wie viele Zimmerleute waren anfangs in der Brigade

Lösung

Bezeichne mit x Zimmerleute, die zunächst zur Reparatur kamen.

Die Anzahl der Tischler ist eine ganze Zahl größer als Null. Daher weisen wir darauf hin x gehört zur Menge der natürlichen Zahlen

x∈N

Es gab 2,5-mal mehr Maler als Zimmerleute. Daher wird die Anzahl der Maler als bezeichnet 2,5x.

Und die Anzahl der Maler wird um 4 steigen

Nun wird die Zahl der Tischler und Maler mit folgenden Ausdrücken bezeichnet:

Versuchen wir, aus den vorhandenen Ausdrücken eine Gleichung zu erstellen:

Die rechte Schüssel ist größer, denn nachdem dem Team vier weitere Maler hinzugefügt und zwei Zimmerleute zu einem anderen Objekt versetzt wurden, stellte sich heraus, dass die Anzahl der Maler im Team viermal höher war als die der Zimmerleute. Um die Waage auszugleichen, müssen Sie die linke Schüssel um das Vierfache erhöhen:

Habe eine Gleichung. Lösen wir es:

Durch eine Variable x die anfängliche Zahl der Tischler wurde bestimmt. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden. Variable x gleich 8. Also waren anfangs 8 Zimmerleute in der Brigade.

Und die Anzahl der Maler wurde durch den Ausdruck 2,5 angegeben x und seit dem Wert der Variablen x Jetzt ist es bekannt, dann können Sie die Anzahl der Maler berechnen - sie beträgt 2,5 × 8, dh 20.

Wir kehren zum Anfang der Aufgabe zurück und stellen sicher, dass die Bedingung erfüllt ist x∈ N. Variable x gleich 8, und die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen N das sind alles Zahlen, die mit 1, 2, 3 und so weiter bis ins Unendliche beginnen. Das gleiche Set enthält die Nummer 8, die wir gefunden haben.

8 ∈N

Dasselbe gilt für die Anzahl der Maler. Die Zahl 20 gehört zur Menge der natürlichen Zahlen:

20 ∈N

Um das Wesen des Problems zu verstehen und richtige Zusammenstellung Gleichung, es ist nicht notwendig, das maßstabsgetreue Modell mit Schalen zu verwenden. Sie können andere Modelle verwenden: Segmente, Tabellen, Diagramme. Sie können sich Ihr eigenes Modell ausdenken, das die Essenz des Problems gut beschreibt.

Aufgabe 9. 30 % der Milch wurden aus der Kanne gegossen. Dadurch blieben 14 Liter darin. Wie viel Liter Milch waren ursprünglich in der Dose?

Lösung

Der Sollwert ist die anfängliche Literzahl im Kanister. Zeichne die Literzahl als Linie und beschrifte diese Linie mit X

Es wird gesagt, dass 30% der Milch aus der Kanne gegossen wurden. Wir wählen in der Abbildung ungefähr 30% aus

Per Definition ist ein Prozentsatz ein Hundertstel von etwas. Wenn 30 % der Milch ausgegossen wurden, blieben die restlichen 70 % in der Kanne. Diese 70 % machen die in der Aufgabe angegebenen 14 Liter aus. Wählen Sie die restlichen 70 % in der Abbildung aus

Jetzt kannst du eine Gleichung aufstellen. Erinnern wir uns, wie man den Prozentsatz einer Zahl findet. Dazu wird die Gesamtsumme von etwas durch 100 geteilt und das Ergebnis mit dem gewünschten Prozentsatz multipliziert. Beachten Sie, dass 14 Liter, also 70 %, auf die gleiche Weise erhalten werden können: die anfängliche Literzahl X Teilen Sie durch 100 und multiplizieren Sie das Ergebnis mit 70. Setzen Sie dies alles mit der Zahl 14 gleich

Oder erhalten Sie eine einfachere Gleichung: Schreiben Sie 70 % als 0,70, multiplizieren Sie dann mit X und setzen Sie diesen Ausdruck mit 14 gleich

Das bedeutet, dass anfangs 20 Liter Milch in der Kanne waren.

Aufgabe 9. Sie nahmen zwei Legierungen aus Gold und Silber. Bei einem beträgt das Verhältnis dieser Metalle 1:9, bei dem anderen 2:3. Wie viel von jeder Legierung sollte genommen werden, um 15 kg einer neuen Legierung zu erhalten, bei der Gold und Silber 1:4 verwandt wären?

Lösung

Versuchen wir zunächst herauszufinden, wie viel Gold und Silber in 15 kg der neuen Legierung enthalten sein werden. Die Aufgabe besagt, dass der Gehalt dieser Metalle in einem Verhältnis von 1: 4 stehen sollte, dh ein Teil der Legierung sollte Gold und vier Teile Silber sein. Dann beträgt die Gesamtzahl der Teile in der Legierung 1 + 4 = 5 und die Masse eines Teils 15: 5 = 3 kg.

Lassen Sie uns bestimmen, wie viel Gold in 15 kg Legierung enthalten sein wird. Multiplizieren Sie dazu 3 kg mit der Anzahl der Goldteile:

3 kg × 1 = 3 kg

Lassen Sie uns bestimmen, wie viel Silber in 15 kg Legierung enthalten sein wird:

3 kg × 4 = 12 kg

Das bedeutet, dass eine 15 kg schwere Legierung 3 kg Gold und 12 kg Silber enthält. Nun zurück zu den ursprünglichen Legierungen. Sie müssen jeden von ihnen verwenden. Bezeichne mit x die Masse der ersten Legierung und die Masse der zweiten Legierung kann mit 15 – bezeichnet werden x

Lassen Sie uns alle Beziehungen, die in der Aufgabe angegeben sind, in Prozent ausdrücken und die folgende Tabelle damit ausfüllen:

In der ersten Legierung stehen Gold und Silber im Verhältnis 1: 9. Dann sind die Gesamtteile 1 + 9 = 10. Davon wird es Gold geben , und Silber .

Lassen Sie uns diese Daten in die Tabelle übertragen. 10 % werden in der ersten Zeile der Spalte eingetragen "Goldanteil in der Legierung", werden 90 % ebenfalls in die erste Zeile der Spalte eingetragen "Anteil an Silber in der Legierung", und in der letzten Spalte "Gewicht der Legierung" geben Sie eine Variable ein x, da wir die Masse der ersten Legierung so bezeichnet haben:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Legierung. Gold und Silber sind darin im Verhältnis 2: 3. Dann gibt es insgesamt 2 + 3 = 5 Teile, davon wird Gold sein , und Silber .

Lassen Sie uns diese Daten in die Tabelle übertragen. 40 % werden in der zweiten Zeile der Spalte eingetragen "Goldanteil in der Legierung", werden 60 % auch in der zweiten Zeile der Spalte eingetragen "Anteil an Silber in der Legierung", und in der letzten Spalte "Gewicht der Legierung" Geben Sie den Ausdruck 15 − ein x, denn so haben wir die Masse der zweiten Legierung bezeichnet:

Lassen Sie uns die letzte Zeile ausfüllen. Die resultierende Legierung mit einem Gewicht von 15 kg enthält 3 kg Gold, das heißt Legierung und Silber werden Legierung. In der letzten Spalte schreiben wir die Masse der resultierenden Legierung 15 auf

Sie können jetzt Gleichungen mit dieser Tabelle schreiben. Wir erinnern. Wenn wir das Gold beider Legierungen getrennt addieren und diese Menge der Goldmasse der resultierenden Legierung gleichsetzen, können wir den Wert herausfinden x.

Die erste Goldlegierung hatte 0,10 x, und in der zweiten Goldlegierung waren es 0,40(15 − x) . Dann ist in der resultierenden Legierung die Goldmasse die Summe der Goldmassen der ersten und zweiten Legierung, und diese Masse beträgt 20 % der neuen Legierung. Und 20% der neuen Legierung sind 3 kg Gold, von uns früher berechnet. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Lösen wir diese Gleichung:

Zunächst durch x wir haben die Masse der ersten Legierung bezeichnet. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden. Variable x ist gleich 10. Und wir haben die Masse der zweiten Legierung mit 15 − bezeichnet x, und seit dem Wert der Variablen x jetzt ist es bekannt, dann können wir die Masse der zweiten Legierung berechnen, sie ist gleich 15 − 10 = 5 kg.

Das heißt, um eine neue Legierung mit einem Gewicht von 15 kg zu erhalten, in der Gold und Silber 1: 4 behandelt würden, müssen Sie 10 kg der ersten und 5 kg der zweiten Legierung nehmen.

Die Gleichung könnte unter Verwendung der zweiten Spalte der resultierenden Tabelle erstellt werden. Dann würden wir die Gleichung bekommen 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. Die Wurzel dieser Gleichung ist ebenfalls 10

Aufgabe 10. Es gibt Erz aus zwei Schichten mit einem Kupfergehalt von 6 % und 11 %. Wie viel minderwertiges Erz sollte genommen werden, um es zu erhalten, wenn es mit satten 20 Tonnen mit einem Kupfergehalt von 8% gemischt wird?

Lösung

Bezeichne mit x Masse armes Erz. Da Sie 20 Tonnen Erz beschaffen müssen, werden 20 reichhaltige Erz genommen − x. Da der Kupfergehalt in schlechtem Erz 6 % beträgt, dann in x Tonnen Erz enthalten 0,06 x Tonnen Kupfer. In reichem Erz beträgt der Kupfergehalt 11% und in 20 - x Tonnen reichem Erz enthalten 0,11 (20 − x) Tonnen Kupfer.

In den anfallenden 20 Tonnen Erz soll der Kupfergehalt 8 % betragen. Das bedeutet, dass 20 Tonnen Kupfererz 20 × 0,08 = 1,6 Tonnen enthalten.

Ausdrücke hinzufügen 0,06 x und 0,11(20 − x) und setzen diese Summe mit 1,6 gleich. Wir bekommen die Gleichung 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Lösen wir diese Gleichung:

Das heißt, um 20 Tonnen Erz mit einem Kupfergehalt von 8 % zu erhalten, müssen Sie 12 Tonnen schlechtes Erz nehmen. Die Reichen nehmen 20 − 12 = 8 Tonnen.

Aufgabe 11. Zunehmend Durchschnittsgeschwindigkeit von 250 auf 300 m/min begann der Athlet die Strecke 1 Minute schneller zu laufen. Wie lang ist die Distanz?

Lösung

Die Länge der Distanz (oder die Distanz der Distanz) kann durch die folgende Buchstabengleichung beschrieben werden:

Lassen Sie uns die rechte Seite dieser Gleichung verwenden, um unsere eigene Gleichung zu schreiben. Zunächst lief der Athlet die Strecke mit einer Geschwindigkeit von 250 Metern pro Minute. Bei dieser Geschwindigkeit wird die Länge der Strecke durch den Ausdruck 250 beschrieben t

Dann steigerte die Athletin ihre Geschwindigkeit auf 300 Meter pro Minute. Bei dieser Geschwindigkeit wird die Länge der Strecke durch den Ausdruck beschrieben 300t

Beachten Sie, dass die Länge des Abstands ein konstanter Wert ist. Dadurch, dass der Athlet die Geschwindigkeit erhöht oder verringert, bleibt die Länge der Strecke unverändert.

Damit können wir den Ausdruck 250 gleichsetzen t zum Ausdruck 300 t, da beide Ausdrücke die Länge der gleichen Strecke beschreiben

250t = 300t

Aber die Aufgabe besagt, dass der Athlet bei einer Geschwindigkeit von 300 Metern pro Minute begann, die Distanz 1 Minute schneller zu laufen. Mit anderen Worten, bei einer Geschwindigkeit von 300 Metern pro Minute verringert sich die Fahrzeit um eins. Daher in Gleichung 250 t= 300t auf der rechten Seite muss die Zeit um eins reduziert werden:

Bei einer Geschwindigkeit von 250 Metern pro Minute läuft der Sportler die Strecke in 6 Minuten. Wenn Sie die Geschwindigkeit und die Zeit kennen, können Sie die Länge der Strecke bestimmen:

S= 250 × 6 = 1500 m

Und mit einer Geschwindigkeit von 300 Metern pro Minute läuft der Sportler die Strecke für sich t− 1 , also in 5 Minuten. Wie bereits erwähnt, ändert sich die Länge der Strecke nicht:

S= 300 × 5 = 1500 m

Aufgabe 12. Ein Radfahrer überholt einen Fußgänger, der 15 km vor ihm ist. In wie vielen Stunden wird der Fahrer den Fußgänger einholen, wenn der erste Fahrer jede Stunde 10 km fährt und der zweite nur 4 km?

Lösung

Diese Aufgabe ist. Es kann gelöst werden, indem die Annäherungsgeschwindigkeit bestimmt wird und der Anfangsabstand zwischen Fahrer und Fußgänger durch diese Geschwindigkeit dividiert wird.

Die Schließgeschwindigkeit wird ermittelt, indem die kleinere Geschwindigkeit von der größeren abgezogen wird:

10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (Anfluggeschwindigkeit)

Jede Stunde wird die Strecke von 15 Kilometern um 6 Kilometer verkürzt. Um herauszufinden, wann es vollständig abnimmt (wenn der Fahrer den Fußgänger einholt), müssen Sie 15 durch 6 teilen

15:6 = 2,5 Std

2,5 h es sind zwei volle Stunden und eine halbe Stunde. Und eine halbe Stunde sind 30 Minuten. Der Fahrer überholt also den Fußgänger in 2 Stunden und 30 Minuten.

Lösen wir dieses Problem mit der Gleichung.

Danach machte sich nach ihm ein Fahrer mit einer Geschwindigkeit von 10 km / h auf die Straße. Und die Schrittgeschwindigkeit beträgt nur 4 km/h. Das bedeutet, dass der Fahrer den Fußgänger nach einiger Zeit überholen wird. Wir müssen diese Zeit finden.

Wenn der Fahrer den Fußgänger einholt, bedeutet dies, dass sie die gleiche Strecke zusammen zurückgelegt haben. Die vom Fahrer und Fußgänger zurückgelegte Strecke wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

Lassen Sie uns die rechte Seite dieser Gleichung verwenden, um unsere eigene Gleichung zu schreiben.

Die vom Fahrer zurückgelegte Strecke wird durch den Ausdruck 10 beschrieben t. Da der Fußgänger vor dem Fahrer losgefahren ist und 15 km überwunden hat, wird die von ihm zurückgelegte Strecke durch den Ausdruck 4 beschrieben t + 15 .

Bis der Fahrer den Fußgänger einholt, haben beide die gleiche Strecke zurückgelegt. Damit können wir die vom Reiter und Geher zurückgelegten Distanzen gleichsetzen:

Das Ergebnis ist eine einfache Gleichung. Lösen wir es:

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

Problem 1. Ein Personenzug kommt 45 Minuten schneller von einer Stadt in eine andere Stadt als ein Güterzug. Berechnen Sie die Entfernung zwischen den Städten, wenn die Geschwindigkeit des Personenzugs 48 km/h und die des Güterzugs 36 km/h beträgt.

Lösung

Die Zuggeschwindigkeiten in diesem Problem werden in Kilometern pro Stunde gemessen. Daher werden wir die in der Aufgabe angegebenen 45 Minuten in Stunden umrechnen. 45 Minuten sind 0,75 Stunden

Bezeichnen wir die Zeit, während der ein Güterzug in der Stadt ankommt, durch die Variable t. Da der Personenzug 0,75 Stunden schneller in dieser Stadt ankommt, wird die Zeit seiner Bewegung mit dem Ausdruck bezeichnet t - 0,75

Personenzug überwand 48 ( t - 0,75) km und Ware 36 t km. Weil die wir reden etwa gleich weit, setzen wir den ersten Ausdruck dem zweiten gleich. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung 48(t - 0.75) = 36t . Lösen wir es:

Lassen Sie uns nun die Entfernung zwischen Städten berechnen. Dazu wird die Geschwindigkeit eines Güterzuges (36 km/h) mit der Zeit seiner Fahrt multipliziert t. Variabler Wert t jetzt bekannt - es ist gleich drei Stunden

36 × 3 = 108 Kilometer

Um die Entfernung zu berechnen, können Sie auch die Geschwindigkeit des Personenzugs verwenden. Aber in diesem Fall der Wert der Variablen

Variabler Wert t gleich 1,2. So trafen die Autos nach 1,2 Stunden aufeinander.

Antworten: die Autos trafen nach 1,2 Stunden aufeinander.

Aufgabe 3. Es gibt insgesamt 685 Arbeiter in drei Werkstätten des Werks. Im zweiten Geschäft gibt es dreimal mehr Arbeiter als im ersten und im dritten - 15 Arbeiter weniger als im zweiten Geschäft. Wie viele Arbeiter sind in jedem Geschäft?

Lösung

Lassen x Arbeiter waren im ersten Laden. In der zweiten Werkstatt waren es dreimal mehr als in der ersten, also kann die Zahl der Arbeiter in der zweiten Werkstatt mit 3 bezeichnet werden x. Das dritte Geschäft hatte 15 Arbeiter weniger als das zweite. Daher kann die Anzahl der Arbeiter in der dritten Werkstatt mit dem Ausdruck 3 bezeichnet werden x - 15 .

Das Problem besagt, dass es insgesamt 685 Arbeiter gab, daher können wir die Ausdrücke hinzufügen x, 3x, 3x - 15 und setzen diese Summe mit der Zahl 685 gleich. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x + 3x + ( 3x - 15) = 685

Durch eine Variable x die Anzahl der Arbeiter in der ersten Werkstatt wurde angegeben. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden, er ist gleich 100. Es waren also 100 Arbeiter im ersten Geschäft.

Im zweiten Workshop waren es 3 x Arbeiter, also 3 × 100 = 300. Und im dritten Workshop waren es 3 x - 15, also 3 × 100 − 15 = 285

Antworten: In der ersten Werkstatt waren 100 Arbeiter, in der zweiten - 300, in der dritten - 285.

Aufgabe 4. Zwei Werkstätten sollen innerhalb einer Woche 18 Motoren planmäßig reparieren. Die erste Werkstatt erfüllte den Plan zu 120 %, die zweite zu 125 %, sodass innerhalb einer Woche 22 Motoren repariert wurden. Welchen wöchentlichen Motorreparaturplan hatte jede Werkstatt?

Lösung

Lassen x Die Motoren sollten von der ersten Werkstatt repariert werden. Dann musste die zweite Werkstatt renovieren 18 − x Motoren.

Da die erste Werkstatt ihren Plan zu 120 % erfüllt hat, bedeutet dies, dass sie 1,2 repariert hat x Motoren. Und die zweite Werkstatt erfüllte ihren Plan zu 125 %, das heißt, sie reparierte 1,25 (18 − x) Motoren.

Die Aufgabe besagt, dass 22 Motoren repariert wurden. Daher können wir die Ausdrücke hinzufügen 1,2x und 1,25 (18 − x) , dann setzen Sie diese Summe mit der Zahl 22 gleich. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Durch eine Variable x die Anzahl der Motoren, die die erste Werkstatt reparieren sollte, wurde angegeben. Jetzt haben wir den Wert dieser Variablen gefunden, er ist gleich 10. Also musste die erste Werkstatt 10 Motoren reparieren.

Und durch den Ausdruck 18 − x die Anzahl der Motoren, die die zweite Werkstatt reparieren sollte, wurde angegeben. Die zweite Werkstatt musste also 18 − 10 = 8 Motoren reparieren.

Antworten: Die erste Werkstatt sollte 10 Motoren reparieren und die zweite 8 Motoren.

Problem 5. Der Warenpreis ist um 30% gestiegen und beträgt jetzt 91 Rubel. Wie teuer war das Produkt vor der Preiserhöhung?

Lösung

Lassen x Waren im Wert von Rubel vor der Preiserhöhung. Wenn der Preis um 30 % gestiegen ist, bedeutet dies, dass er um 0,30 gestiegen ist x Rubel. Nach der Preiserhöhung kostete die Ware 91 Rubel. Addiere x mit 0,30 x und setzen diese Summe mit 91 gleich. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung Wenn Sie die Zahl um 10 % verringern, erhalten Sie 45. Ermitteln Sie den ursprünglichen Wert der Zahl. x -

Antworten: Um eine 12%ige Salzlösung zu erhalten, müssen Sie 0,25 kg einer 20%igen Lösung zu 1 kg einer 10%igen Lösung hinzufügen.

Aufgabe 12. Es werden zwei Lösungen von Salz in Wasser gegeben, deren Konzentrationen 20 % und 30 % betragen. Wie viele Kilogramm jeder Lösung müssen in einem Gefäß gemischt werden, um 25 kg einer 25,2 %igen Lösung zu erhalten?

Lösung

Lassen x kg der ersten Lösung entnommen werden. Da 25 kg Lösung hergestellt werden müssen, kann die Masse der zweiten Lösung mit dem Ausdruck 25 − x bezeichnet werden.

Die erste Lösung enthält 0,20 x kg Salz und die zweite 0,30 (25 - x) kg Salz. In der resultierenden Lösung beträgt der Salzgehalt 25 × 0,252 = 6,3 kg. Addiere die Ausdrücke 0,20x und 0,30(25 − x) und setze diese Summe dann mit 6,3 gleich. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung

Die erste Lösung muss also 12 kg und die zweite 25 - 12 = 13 kg einnehmen.

Antworten: Für die erste Lösung müssen Sie 12 kg und für die zweite 13 kg einnehmen.

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Das Prozentkonzept kommt in unserem Leben zu oft vor, daher ist es sehr wichtig zu wissen, wie man Probleme mit Prozentsätzen löst. Im Prinzip ist dies keine schwierige Angelegenheit, die Hauptsache ist, das Prinzip des Arbeitens mit Interesse zu verstehen.

Was ist ein prozentsatz

Wir arbeiten mit dem 100-Prozent-Konzept, und dementsprechend ist ein Prozent ein Hundertstel bestimmte Nummer. Und alle Berechnungen basieren bereits auf diesem Verhältnis.

Zum Beispiel ist 1 % von 50 0,5, 15 von 700 ist 7.

Wie entscheiden

1. Da Sie wissen, dass ein Prozent ein Hundertstel der angezeigten Zahl ist, können Sie eine beliebige Anzahl erforderlicher Prozentsätze finden. Um es klarer zu machen, versuchen wir, 6 Prozent der Zahl 800 zu finden. Das geht ganz einfach.
   • Zuerst finden wir ein Prozent. Teilen Sie dazu 800 durch 100. Es ergibt 8.
   • Jetzt multiplizieren wir genau dieses eine Prozent, also 8, mit der Anzahl der Prozent, die wir brauchen, also mit 6. Es ergibt 48.
   • Fixieren Sie das Ergebnis durch Wiederholung.

   15 % von 150. Lösung: 150/100*15=22.

   28 % von 1582. Lösung: 1582/100*28=442.

2. Es gibt andere Probleme, wenn Sie Werte erhalten und Prozentsätze finden müssen. Sie wissen zum Beispiel, dass der Laden 5 hat rote Rosen von 75 Weißen, und Sie müssen herausfinden, welcher Prozentsatz scharlachrot ist. Wenn wir diesen Prozentsatz nicht kennen, bezeichnen wir ihn als x.

   Dafür gibt es eine Formel: 75 - 100 %

   In dieser Formel werden die Zahlen Kreuz für Kreuz multipliziert, dh x \u003d 5 * 100/75. Es stellt sich heraus, dass x \u003d 6% Der Anteil der scharlachroten Rosen beträgt also 6%.

3. Es gibt eine andere Art von Problem für Prozentsätze, wenn Sie herausfinden müssen, um wie viel Prozent eine Zahl größer oder kleiner als eine andere ist. Wie kann man in diesem Fall Probleme mit Prozentsätzen lösen?

   In der Klasse sind 30 Schüler, davon 16 Jungen. Die Frage ist, wie viel Prozent Jungen mehr sind als Mädchen. Zuerst müssen Sie berechnen, wie viel Prozent der Schüler Jungen sind, dann müssen Sie herausfinden, wie viel Prozent Mädchen sind. Und endlich den Unterschied finden.

   Also lasst uns anfangen. Wir machen einen Anteil von 30 Konten. - 100%

   16 Konten -X %

   Jetzt zählen wir. X=16*100/30, x=53,4% aller Schüler der Klasse sind Jungen.

   Finden Sie nun den Prozentsatz der Mädchen in derselben Klasse heraus. 100-53,4 = 46,6 %

Es bleibt jetzt nur noch, den Unterschied zu finden. 53,4–46,6 = 6,8 %. Antwort: Es gibt um 6,8 % mehr Jungen als Mädchen.

Wichtige Punkte beim Lösen von Interessen

Damit Sie also keine Probleme mit der Lösung von Prozentproblemen haben, sollten Sie sich einige Grundregeln merken:

1. Um bei Problemen mit Prozentangaben nicht durcheinander zu kommen, seien Sie immer wachsam: Gehen Sie ggf. von bestimmten Werten auf Prozentangaben und umgekehrt. Die Hauptsache ist, niemals das eine mit dem anderen zu verwechseln.
2. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie Prozentsätze berechnen. Es ist wichtig zu wissen, ab welchem ​​spezifischen Wert Sie zählen müssen. Bei aufeinanderfolgenden Wertänderungen wird der Prozentsatz vom letzten Wert berechnet.
3. Bevor Sie die Antwort aufschreiben, lesen Sie die gesamte Aufgabe noch einmal durch, denn es kann sein, dass Sie nur eine Zwischenlösung gefunden haben und noch ein oder zwei Aktionen ausführen müssen.

Das Lösen von Problemen mit Prozentzahlen ist also keine so schwierige Angelegenheit, die Hauptsache dabei ist Aufmerksamkeit und Genauigkeit, wie in der Tat in jeder Mathematik. Und vergessen Sie nicht, dass Übung erforderlich ist, um jede Fertigkeit zu verbessern. Entscheiden Sie sich also für mehr, und alles wird gut oder sogar ausgezeichnet für Sie.