១ បឋមសិក្សា និងមធ្យមសិក្សា ការអប់រំវិជ្ជាជីវៈ M.I. Bashmakov

2 ការអប់រំវិជ្ជាជីវៈបឋម និងមធ្យមសិក្សា M. I. BASHMAKOV គណិតវិទ្យា ណែនាំដោយស្ថាប័នរដ្ឋសហព័ន្ធ " វិទ្យាស្ថានសហព័ន្ធការអភិវឌ្ឍន៍ការអប់រំ” ជាសៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ប្រើប្រាស់ក្នុង ដំណើរការអប់រំ ស្ថាប័នអប់រំការអនុវត្តកម្មវិធីនៃការអប់រំវិជ្ជាជីវៈបឋមសិក្សា និងមធ្យមសិក្សា ពិនិត្យការចុះឈ្មោះលេខ 174 ចុះថ្ងៃទី 28 ខែមេសា ឆ្នាំ 2009 FGU "FIRO" លើកទី 5 ដែលត្រូវបានកែសំរួលដោយបណ្ឌិតសភា "មជ្ឈមណ្ឌលបោះពុម្ពទីក្រុងម៉ូស្គូ "សាលា" ឆ្នាំ 2012

3 LBC 22.1ya722 B336 អ្នកត្រួតពិនិត្យ៖ គ្រូបង្រៀននៃស្ថាប័នអប់រំរដ្ឋម៉ូស្គូ មហាវិទ្យាល័យពហុបច្ចេកទេស N.A. Kharitonova; គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា និងស្ថិតិ GOU SPO Moscow សាលាបច្ចេកទេសរដ្ឋបច្ចេកវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច និងច្បាប់។ L.B.Krasina T.N.Sinilova; គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GOU SPO College of Automation និង បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន 20 ទីក្រុងម៉ូស្គូ T.G. Kononenko B 336 Bashmakov M.I. គណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នចាប់ផ្តើម។ និងជាមធ្យម សាស្រ្តាចារ្យ ការអប់រំ / M.I. Bashmakov ។ ទី 5 ed ។, rev ។ M.: មជ្ឈមណ្ឌលបោះពុម្ព "Academy", ទំ។ ISBN សៀវភៅសិក្សាត្រូវបានសរសេរដោយអនុលោមតាមកម្មវិធីសិក្សាគណិតវិទ្យានៅក្នុងស្ថាប័ននៃការអប់រំវិជ្ជាជីវៈបឋមសិក្សា និងមធ្យមសិក្សា ហើយគ្របដណ្តប់លើប្រធានបទសំខាន់ៗទាំងអស់៖ ទ្រឹស្តីលេខ ឫស អំណាច លោការីត បន្ទាត់ និងប្លង់ អង្គធាតុរឹង ក៏ដូចជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃ ត្រីកោណមាត្រ ការវិភាគ បន្សំ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ សម្រាប់សិស្សានុសិស្សនៅក្នុងគ្រឹះស្ថានអប់រំវិជ្ជាជីវៈបឋម និងមធ្យមសិក្សា។ UDC 51(075.32) LBC 22.1y722 ប្លង់ដើមនៃការបោះពុម្ពផ្សាយនេះគឺជាកម្មសិទ្ធិរបស់មជ្ឈមណ្ឌលបោះពុម្ព Academy ហើយការផលិតឡើងវិញតាមមធ្យោបាយណាមួយដោយគ្មានការយល់ព្រមពីម្ចាស់កម្មសិទ្ធិត្រូវបានហាមឃាត់។ មជ្ឈមណ្ឌលបោះពុម្ព "បណ្ឌិត្យសភា" ឆ្នាំ 2010

4 សញ្ញាណមូលដ្ឋានទូទៅ និមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យាជាតម្លៃដាច់ខាត (ម៉ូឌុល) នៃចំនួន a [a] ផ្នែកទាំងមូលលេខ a = ស្មើនឹងប្រមាណស្មើនឹង > ធំជាង< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>ដូច្នេះ<=>គឺសមមូលប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ Combinatorics ha! factorial ចំនួននៃការរៀបចំពី r ទៅ r C ចំនួនបន្សំពី r ដល់ m Pn ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរពីធាតុ r កំណត់ 0 សំណុំទទេ N លេខធម្មជាតិ Y. ចំនួនគត់ Q លេខសនិទាន R ចំនួនពិត C ចំនួនកុំផ្លិច AUfi សហជីពនៃសំណុំ APW-ប្រសព្វ នៃសំណុំ aea a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ A a "a a មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ A g f សមាសភាពនៃផែនទី fug លេខស្មុគស្មាញឯកតាស្រមើស្រមៃ z បង្រួបបង្រួមទៅ K Z \r\ តម្លៃដាច់ខាត (ម៉ូឌុល) នៃចំនួនកុំផ្លិច z ធរណីមាត្រ A(x; y), ចំណុច AB ជាមួយកូអរដោនេ x និង y ប្លង់ត្រង់បន្ទាត់ a គឺស្របនឹងបន្ទាត់ b បន្ទាត់ បន្ទាត់ប្រសព្វ បន្ទាត់ b គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ b បន្ទាត់ដែលប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ a នៅចំណុច P យន្តហោះ a គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ p យន្តហោះ a គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ p វ៉ិចទ័រ លំដាប់ និងមុខងារ K) A/ df f \ x) b \ f (x) d . x លំដាប់បង្កើនអនុគមន៍ f ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍) ដេរីវេនៃអនុគមន៍ 1 នៅចំណុច x សំណុំអង្គបដិប្រាណ ឬអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ / អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍ f ពី a ដល់ b

5 Preface Mathematics សម្រាប់ 2500 ឆ្នាំនៃអត្ថិភាពរបស់វាបានប្រមូលផ្តុំឧបករណ៍ដែលមានជាងគេបំផុតសម្រាប់ការសិក្សាអំពីពិភពលោកជុំវិញយើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលអ្នកសិក្សា A.N. Krylov ដែលជាគណិតវិទូ និងជាអ្នកសាងសង់កប៉ាល់ដ៏ឆ្នើមជនជាតិរុស្សី បានកត់សម្គាល់ថា មនុស្សម្នាក់ងាកទៅរកគណិតវិទ្យា “មិនសរសើរទ្រព្យសម្បត្តិរាប់មិនអស់”។ ជាដំបូងគាត់ត្រូវតែស្គាល់ "ឧបករណ៍ដែលបង្ហាញឱ្យឃើញជាច្រើនសតវត្សមកហើយ ហើយរៀនពីរបៀបប្រើវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ និងប៉ិនប្រសប់"។ សៀវភៅនេះនឹងបង្រៀនអ្នកពីរបៀបប្រើឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដូចជាមុខងារ និងក្រាហ្វរបស់ពួកគេ តួលេខធរណីមាត្រ, វ៉ិចទ័រ និង​កូអរដោណេ, ដេរីវេ និង​អាំងតេក្រាល។ ខណៈពេលដែលគំនិតទាំងនេះភាគច្រើនត្រូវបានណែនាំដល់អ្នកមុនដំបូង សៀវភៅនេះណែនាំពួកគេឡើងវិញ។ នេះងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកដែលភ្លេចសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុនបន្តិច ហើយមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នា ព្រោះសូម្បីតែរឿងដែលធ្លាប់ស្គាល់នឹងបង្ហាញពីទិដ្ឋភាព និងទំនាក់ទំនងថ្មីៗ។ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការងារជាមួយសៀវភៅសិក្សា បទប្បញ្ញត្តិ និងទម្រង់សំខាន់ៗត្រូវបានគូសបញ្ជាក់។ គំនូរមានតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ ដូច្នេះហើយ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវគំនូរដែលទាក់ទងនឹងអត្ថបទ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីអត្ថបទ (សូម្បីតែនៅសម័យបុរាណ គេប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការសិក្សាគណិតវិទ្យានេះ ដើម្បីគូររូប ហើយនិយាយថា "មើល!" ) បន្ថែមពីលើការសង្ស័យ តម្លៃជាក់ស្តែងនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាន ការសិក្សាគណិតវិទ្យាបានបន្សល់ទុកនូវសញ្ញាណដែលមិនអាចបំភ្លេចបាននៅលើព្រលឹងរបស់មនុស្សគ្រប់រូប។ ជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា ការភ្ជាប់វត្ថុវត្ថុនិងភាពស្មោះត្រង់ជាច្រើន បំណងប្រាថ្នាសម្រាប់ការពិត និងជ័យជំនះនៃហេតុផល។ មនុស្សជាច្រើនមានទំនុកចិត្តលើខ្លួនឯងពេញមួយជីវិត ដែលបានកើតឡើងនៅពេលយកឈ្នះលើការលំបាកដែលមិនគួរឱ្យសង្ស័យដែលពួកគេជួបប្រទះក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យា។ ជាចុងក្រោយ អ្នកភាគច្រើនបើកចំហចំពោះការយល់ឃើញនៃភាពសុខដុមរមនា និងភាពស្រស់ស្អាតនៃពិភពលោកដែលគណិតវិទ្យាបានស្រូបយក ដូច្នេះអ្នកមិនគួរចូលទៅជិតទំព័រនីមួយៗនៃសៀវភៅសិក្សានោះទេ កិច្ចការនីមួយៗជាមួយនឹងការវាយតម្លៃថាតើវានឹងត្រូវប្រើក្នុងជីវិតថ្មីដែរឬទេ។ រង់ចាំអ្នកបន្ទាប់ពីបញ្ចប់ការសិក្សា។ ប្រធានបទដែលសៀវភៅសិក្សាត្រូវបានឧទ្ទិស, ទ្រឹស្តីលេខ, សាកសពលំហ, esnovs ការវិភាគគណិតវិទ្យាគោលការណ៍នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេមានមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះទេ តម្លៃដែលបានអនុវត្ត. ពួកវាផ្ទុកនូវគំនិតដ៏សម្បូរបែប ការយល់ដឹងដែលចាំបាច់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់រូប។ ខ្ញុំ​សង្ឃឹម​ថា​ការ​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​ដែល​/សៀវភៅ​សិក្សា​គួរ​ជួយ​អ្នក​អាច​ផ្ទៀងផ្ទាត់​បាន។ កម្រិតខ្ពស់សមត្ថភាពរបស់ពួកគេនឹងពង្រឹងបំណងប្រាថ្នាដើម្បីបន្តការសិក្សារបស់ពួកគេ និងនាំមកនូវពេលវេលាដ៏រីករាយជាច្រើននៃការរួបរួមជាមួយនឹង "ច្បាប់ដែលមិនអាចរង្គោះរង្គើដែលសម្គាល់លំដាប់ទាំងមូលនៃសាកលលោក" ។

6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись លេខធម្មជាតិមានប្រវត្តិយូរអង្វែង។ សង្គមសម័យទំនើបប្រើប្រព័ន្ធទសភាគដែលលេខ 10 ត្រូវបានបញ្ចូល: 1.2 \u003d 1 + 1.3 \u003d 2 + 1, ... , 9 \u003d 8 + 1 និង 0 ។ លេខខាងក្រោមលេខ 9 ត្រូវបានសរសេរជា 10 ។ បន្ថែមទៀត រាប់ជាដប់ រាប់រយ (10 x 10) ពាន់។ល។ លេខធម្មជាតិនីមួយៗត្រូវបានតំណាងជា a0 + + a ak10 k (ak f 0) ដែល 0< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в ប្រព័ន្ធផ្សេងគ្នាប្រព័ន្ធទសភាគ 2010 ប្រព័ន្ធរ៉ូម៉ាំង MMX ប្រព័ន្ធ Hieroglyphic របស់ជនជាតិអេស៊ីបបុរាណ (= 3000 មុនគ.ស) O n 2010 = 2 X Babylonian (hexadecimal) system ("3500 BC) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10

7 ឬឯកតា; m ដងដែលយកប្រភាគទី n នៃការរួបរួម (ប្រភេទនៃលេខធម្មជាតិ) គឺជាលេខសមហេតុផល។ វាអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគធម្មតា។ ចំនួនដូចគ្នាអាចទទួលបានដោយប្រើភាគហ៊ុនផ្សេងគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ វាច្បាស់ណាស់ថា pirogue និង pirogue គឺជារឿងដូចគ្នា។ ^ ^ ប្រភាគធម្មតាពីរ ហើយស្មើនឹង Щ n2 ក្នុងចំណោមខ្លួនគេ (នោះគឺជាកំណត់ត្រានៃលេខសនិទានដូចគ្នា) ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែលេខធម្មជាតិ ml t9 txn2 និង t2nx ស្របគ្នា៖ - = -<=>tgp2 = t2Hz ។ Пп 2 ដោយបានបង្កើតលេខសនិទានវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យត្រូវបានបន្ថែមទៅពួកវាតាមរបៀបធម្មតា។ សំណុំនៃលេខសនិទានភាពត្រូវបានតាងដោយអក្សរ Q. ចំនួនគត់ m ត្រូវបានសម្គាល់ដោយប្រភាគ។ 1 មានការដាក់បញ្ចូល N ជាមួយ Z ជាមួយនឹង Q. 4. នៅក្នុងសំណុំនៃលេខសនិទាន Q ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធពីរ ការបូក និងគុណត្រូវបានកំណត់ គោរពតាម ច្បាប់ដែលគេស្គាល់អន្តរកម្ម, សមាគម, ការចែកចាយ។ ហេតុអ្វីបានជាមនុស្សត្រូវការលេខ? ជាដំបូងនៃការទាំងអស់សម្រាប់គណនី។ ដើម្បីប្រៀបធៀបចំនួនវត្ថុ វត្ថុស្ដង់ដារមួយចំនួន (ម្រាមដៃ គ្រួស ដំបង) ត្រូវបានប្រើប្រាស់ដំបូង។ បន្ទាប់មកនិមិត្តសញ្ញាត្រូវបានបង្កើតដើម្បីចង្អុលបង្ហាញលេខនៅក្នុងសំណុំ (ការប្រមូលសំណុំ) ដែលមានធាតុស្មើគ្នា។ ប្រភពមួយទៀតនៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃគំនិតនៃលេខគឺបញ្ហានៃការវាស់វែង។ នៅពេលជ្រើសរើសឯកតារង្វាស់សម្រាប់បរិមាណ (ឧទាហរណ៍ប្រវែង) វាអាចប្រៀបធៀបជាមួយវាបាន។ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចប្រើមិនត្រឹមតែឯកតាទាំងមូលប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងប្រភាគរបស់វាផងដែរ។

8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il ប្រភាគធម្មតាពេលគណនាជាមួយលេខសនិទាន? I^UITIIVID ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ លេខសនិទានភាពដូចគ្នាអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគផ្សេងៗគ្នា។ ការតភ្ជាប់រវាងពួកវាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។, _ tl t9 t9 t3 ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើ \u003d - និង \u003d - W "s Proof ។ W "s នោះ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ថា jj^ និយមន័យនៃសមភាពនៃប្រភាគសម្រាប់ការនេះ អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលសមភាពនៃចំនួនគត់៖ m^n3 = m3ni ។ យើងប្រើសមភាពទាំងនេះ៖ m1p2 = m2px និង m2p3 = m3p2 គុណទីមួយដោយ n3 និងទីពីរដោយ n1 ។ យើងទទួលបាន mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii ។ ចំនួនគត់ m2p1p3 និង m2p3nx គឺស្មើគ្នា។ យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាលនៃចំនួនគត់៖ txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1 ។ យើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពនៃចំនួនគត់ m1p2p3 = m3p2nx ជា n2(m1p3 - m3rii) = 0។ លេខ n2 (ភាគបែងនៃប្រភាគកណ្តាល) មិនអាចស្មើនឹងសូន្យទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើផលគុណនៃចំនួនគត់ពីរគឺសូន្យ នោះយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវតែជាសូន្យ។ យើងទទួលបាន txp3 - t3p1 = 0, i.e. mxn3 = m3nx ដែលត្រូវបញ្ជាក់។ តើអ្នកធ្វើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើប្រភាគទូទៅដោយរបៀបណា? 1. ការកាត់បន្ថយប្រភាគ។ 28 ម៉ាស៊ីនព្រីន។ ប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ តារាង Pie នេះបង្ហាញពីការបែងចែកសន្លឹកឆ្នោតក្នុងសភារវាងគណបក្សទាំងបី ខៀវ ប្រផេះ និងស។ ការចែកចាយនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគ: = 180 ចំនួនសរុបកន្លែង; " " 4 ជាចំណែកសរុប អ្នកអាចជ្រើសរើស ^: 12 តើផ្នែកណានៃបរិមាណនៃដបនឹងត្រូវបានបំពេញ នៅពេលដែលសារធាតុរាវត្រូវបានបង្ហូរចេញពីដបដូចគ្នាពីរ? អាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​តាម​លំដាប់​ដោយ​ការ​ស្វែង​រក​កត្តា​រួម​នៃ​ភាគបែង​និង​ភាគបែង​និង​ការ​ចែក​ដោយ​ពួក​គេ​:

9 ml m2 _ mln2 + m2n1 SC « 2 SC2 n2n ! TGCPg + TP2Pu SchP2 ដក m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 គុណ wii /7i2 _ m1m2 Sch p2 PxLg ភាគបែងទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ។ ការបែងចែកទូទៅ(GCD): T_ "ប្រភាគគឺមិនអាចកាត់ថ្លៃបានទេ។ ភាគយករបស់វា និងភាគបែង 15 គឺជាលេខសហព្រីម។ 2. ការបូក (ដក) នៃប្រភាគ។ កត្តា​កំណត់​រួម. ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាងាយស្រួលក្នុងការបំបែកភាគបែងទៅជាកត្តាចម្បង ហើយយកពហុគុណធម្មតាតិចបំផុតរបស់ពួកគេ (LCM): 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. LCM (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ គុណ (ចែក) នៃប្រភាគ "ឧទាហរណ៍។ ( ):. យើងសរសេរឡើងវិញហើយ * V25 63J 7 លទ្ធផលក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគតែមួយ ហើយបន្ថយវា៖ ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ សំណួរ និងលំហាត់ 1. តើកន្សោមខាងក្រោមមួយណាមានតម្លៃស្មើនឹង 1:14 និងពាក់កណ្តាល ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A \u003d f - 1-; 6) A \u003d)) A \u003d 2.36-1.12-0.88 + 0.64; ៧) ក = ? ៤) អិល អិល”។ C តម្លៃនៃទំនិញជាលើកដំបូងត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយ a%, លើកទីពីរដោយ b% នៃតម្លៃថ្មី។ ក្នុងករណីណាជាលទ្ធផលតម្លៃនៃទំនិញមានចំនួន 60% នៃតម្លៃដើម: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; b = 10 ? O 2) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; ប្រាំបី

10 t កន្សោមលេខ: 1) ចំនួនសំបុត្រឡានក្រុង "សំណាង": IT" " 2) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងថ្នាក់នៃមនុស្ស 30 នាក់មានថ្ងៃកំណើតដែលត្រូវគ្នា: \100% J, l d 180 1, ប៉ាន់ស្មានថាតើលេខខាងក្រោមមួយណាជិតបំផុត លេខ៖ 0.001; 2) 0.01; 3) 0.1; ៤) ១. 5. តារាងបង្ហាញពីចំណុចរលាយនៃទឹកកក និងចំណុចរំពុះនៃទឹកក្នុងមាត្រដ្ឋានសីតុណ្ហភាព 4 អង្សាសេ (C), ហ្វារិនហៃ (F), ខេលវិន (K) និងរេអាមួរ (R) ។ សន្មតថាសីតុណ្ហភាពនៃរាងកាយមនុស្សគិតជាអង្សាសេគឺ 37 គណនាវានៅក្នុងមាត្រដ្ឋានផ្សេងទៀតប្រសិនបើទំនាក់ទំនងរវាងមាត្រដ្ឋានគឺលីនេអ៊ែរ: សូចនាករមាត្រដ្ឋាន C F K R ទឹករំពុះ ការរលាយទឹកកក មេរៀនទី 2 លេខពិតតើលេខពិតមានន័យដូចម្តេច? 1. ចំនួនពិត។ លេខសនិទានមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហារង្វាស់។ នេះត្រូវបានរកឃើញជាង 2.5 ពាន់ឆ្នាំមុនដោយគណិតវិទូក្រិចបុរាណ ដែលបានបង្ហាញថាអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េដែលមានផ្នែកម្ខាងមិនអាចវាស់បានដោយប្រើតែលេខសនិទានទេ ខណៈពេលដែលអ្នកផ្សេងទៀតមិនត្រូវបានគេស្គាល់នៅពេលនោះ។ សម្រាប់ការកំណត់លេខធម្មជាតិ អ្នកអាចប្រើវត្ថុជាក់លាក់ (ម្រាមដៃ ដំបង) ហើយសម្រាប់កិច្ចការវាស់វែង អ្នកអាចជ្រើសរើសតម្លៃស្តង់ដារសម្រាប់ប្រវែងនៃចម្រៀក ហើយកំណត់លេខតាមធរណីមាត្រតាមផ្នែក ឬតាមទំនាក់ទំនងរបស់វាទៅនឹងជម្រើសដែលបានជ្រើសរើស។ ផ្នែកឯកតា (ឯកតាខ្នាត) ។ E \- T 4 រង្វាស់ទូទៅ 3 A 9 ៤

11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj

លេខទាំង 12 គឺជាលេខ V2 ខ្ទង់ទសភាគដប់ប្រាំដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ ឬលេខ k (សមាមាត្រនៃរង្វង់ទៅអង្កត់ផ្ចិត): l \u003d 3. សំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ R: N c Z c Q c R. ហេតុអ្វីបានជាអ្នកត្រូវការចំនួនពិត ហើយតើវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែរឬទេ? ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ ការបន្ថែមលេខមិនសមហេតុផលថ្មីទៅនឹងលេខសនិទាន គឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការវាស់ប្រវែងនៃផ្នែកណាមួយ។ ដោយមានជំនួយពីចំនួនពិតដែលបានសាងសង់តាមរបៀបនេះ វាបានប្រែក្លាយរួចហើយដើម្បីវាស់បរិមាណផ្សេងទៀតជាច្រើនដែលត្រូវបានគេហៅថា scalar ។ ការលេចឡើងនៃបញ្ហាថ្មីតម្រូវឱ្យមានការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃគំនិតនៃចំនួន ដែលយើងនឹងពិភាក្សានៅពេលក្រោយ។ ហេតុអ្វីបានជាអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េដែលមានជ្រុងស្មើនឹងមួយមិនអាចវាស់ដោយលេខសមហេតុផល? សំណួរនេះមានទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញ ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងសតវត្សទី VI ។ BC ភស្តុតាង។ ចូរយើងសន្មតថាប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េឯកតាអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគដែលយើងនឹងពិចារណាមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ តាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ យើងទទួលបានសមភាព I = I m 1, i.e., I _ m 1 \u003d\n) U ឬ m 2 \u003d 2n 2. ដោយសារមានលេខគូនៅខាងស្តាំ នោះលេខ m g នៅខាងឆ្វេង ដូច្នេះហើយលេខ m គឺជាលេខគូ៖ m \u003d 2k . ការជំនួស និងកាត់បន្ថយដោយ 2 យើងទទួលបាន: 2k 2 = n 2. ដោយហេតុផលដូចគ្នា យើងទទួលបានថាឥឡូវនេះ n ក៏ត្រូវតែជាលេខគូផងដែរ។ ការពិតដែលថាប្រភាគ niuio wiiv ^ vudi galinun នៃចំនួនពិតទសភាគ - \u003d 0, n 2 1, ប្រភាគបន្ត - \u003d 2 + L F \u003d ជួរដេក n 2, គំនូសតាងចំណិតនៅលើអ័ក្សលេខ B (-2) 0 ១ លី (២.៥) ១១

13 Dcjmnnc MdieMdiHKH នៅលើអ័ក្សពេលវេលា - 600"" Pythagoras ភាគបែង និងភាគបែងបានប្រែក្លាយជាលេខគូ ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃភាពមិនអាចកាត់បន្ថយបាននៃប្រភាគ។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទនៃ Euclid Archimedes Diophantus Al-Khwarizmi Fibonacci Descartes Newton, Leibniz, Euler, Gauss Kolmogorov តើពួកវាធ្វើការដោយចំនួនពិតដោយរបៀបណា? ទសភាគគ្មានកំណត់គឺជាលំដាប់នៃការប៉ាន់ស្មានដោយទសភាគកំណត់ទៅចំនួនពិតដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ ប្រតិបត្តិការទាំងនេះត្រូវបានអនុវត្តលើប្រភាគទសភាគកំណត់។ ឧទាហរណ៍ យើងនឹងបន្ថែម = 1 យើងទទួលបាន: = 4 1.4 + 3.1 = 4.5 1.41 + 3.14 = 4.55 1.141 = 4.555 1.1415 = 4.5557 1.14159 = 4.55580 ល។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ l 72 \u003d 4. ជាការពិតណាស់ ការគណនាបែបនេះត្រូវតែអនុវត្តដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ប៉ុន្តែក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ រក្សាដាននៃចំនួនខ្ទង់នៃលទ្ធផលដែលអាចចាត់ទុកថាត្រឹមត្រូវ។ លេខពិតអាចត្រូវបានតំណាងជាចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខ។ ប្រសិនបើលេខពីរ a និង b ត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនុច A(a) និង B(b) នៅលើអ័ក្សពិត នោះចំងាយរវាងចំនុច A និង B គឺស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នារវាងលេខ a និង b: \AB\ = \\ b - a \\ ។ ម៉ូឌុលមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់បំផុតពីរ៖ \ab\ = \a\b( និង \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?

14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu NUMBER f 7. សរសេរលេខខាងក្រោមជាប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់៖ x> 2.1, 3, 4 , BUT ; 6) បញ្ជាក់ភាពមិនសមហេតុផលនៃលេខខាងក្រោម៖ 1) 0, ; 2) 0, មេរៀនទី 3 ការគណនាប្រហាក់ប្រហែល តើអ្វីមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងអំពីការគណនាប្រហាក់ប្រហែល? 1. L “3 Approximations to I 1. តម្លៃប្រហាក់ប្រហែល។ ឱ្យលេខ x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃចំនួន x ដែលគណនារហូតដល់ h > 0 ប្រសិនបើវិសមភាព \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13

15 3. f 16 = 3, ហឺត។ គីឡូក្រាម "A.. w -, Ct.. និង W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. នៅក្រោមសញ្ញានៃឫសត្រូវបានសរសេរលេខមួយជាមួយនឹង 40 ប្រាំបួន បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ V0 គណនាឫសជាមួយនឹងខ្ទង់ទសភាគ 40 ។ 4. ពិនិត្យមើលថាការបង្គត់នៃលេខខាងក្រោមទៅខ្ទង់ទសភាគទីពីរត្រូវបានធ្វើបានត្រឹមត្រូវ: 1) a = 1.1683, a ~ 0.17; 3) 72 "1.41; 5) វា 2 "9.86 ។ 2) a = 0.2309, a ~ 0.23; 4) ^1 0.86; 2 5. តើវាពិតឬទេដែលថាកំហុសដែលទាក់ទងនៃការគណនាគឺតិចជាង 1%: 1) n « 3.16; 3) តំបន់នៃរង្វង់កាំមួយ) ^ "21; 2) 2 10 "1000; ប្រហាក់ប្រហែល; ៥) ៩ ១១ ក ៣ យូ ១០ ? មេរៀនទី៤ ចំនួនកុំផ្លិច តំណាងក្រាហ្វិកនៃចំនួនកុំផ្លិច m r = a + s M (a; b) តើចំនួនកុំផ្លិចគឺជាអ្វី ហើយតើការប្រតិបត្តិនព្វន្ធត្រូវបានអនុវត្តដោយចំនួនកុំផ្លិចដោយរបៀបណា? 1. លេខស្មុគស្មាញ។ ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាចំនួននៃទម្រង់ a + bi ដែល a និង b ជាចំនួនពិត a i គឺជានិមិត្តសញ្ញាមួយហៅថា ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ដប់ប្រាំមួយ។

18 សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតាងដោយអក្សរ C ។ ចំនួនពិត a ត្រូវបានសម្គាល់ដោយចំនួនកុំផ្លិច a + 0 r ។ ដូច្នេះ យើងពង្រីកខ្សែសង្វាក់នៃការរួមបញ្ចូលនៃសំណុំលេខផ្សេងៗ៖ N c Z c Q c R c C .ចំនួនកុំផ្លិច z នីមួយៗគឺជានិមិត្តសញ្ញាមួយចំនួននៃទម្រង់ a + b.i ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃលេខ z ហើយលេខ b គឺជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃរបស់វា។ និយមន័យនៃការបន្ថែមបង្ហាញថានៅពេលបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិច ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់វាត្រូវបានបន្ថែមដោយឡែកពីគ្នា។ 2. ច្បាប់សម្រាប់ការបូក និងគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានបន្ថែមដោយច្បាប់ខាងក្រោម៖ (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i ។ យោងតាមក្បួនគុណ i = (0 + r) (0 + i) = = -1, i.e. ការ៉េនៃឯកតាស្រមើលស្រមៃគឺស្មើនឹងចំនួនពិត -1 ។ នៅពេលគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិច គ្រាន់តែបើកតង្កៀបយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា ហើយជំនួស r 2 ដោយ -1: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- នោះ មិនត្រឹមតែ z 2 = = -1 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាន (-i) 2 = ផ្សំចំនួនកុំផ្លិច។ លេខស្មុគស្មាញ a + bi និង a - bi ត្រូវបានគេហៅថា conjugate ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ ផលិតផលរបស់ពួកគេស្មើនឹងចំនួនវិជ្ជមានពិតប្រាកដ a 2 + b 2 ។ ប្រសិនបើ z \u003d a + N f 0 នោះ a 2 + b 2 f 0 ហើយយើងអាចសរសេរអត្តសញ្ញាណបាន៖ (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi ពីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាចំនួនគឺ 2 + b 2 a 2 + b 2 គឺជាលេខបញ្ច្រាសនៃចំនួន a + bi ។ មានលទ្ធភាពគណនា លេខទៅវិញទៅមកអ្នកអាចបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចមួយដោយលេខផ្សេងទៀត (ក្រៅពីសូន្យ)។ 4. រូបភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច។ លេខ z = a + bi អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​ចំណុច​មួយ​ក្នុង​យន្តហោះ​ដែល​មាន​កូអរដោណេ (a, b) (ឧទាហរណ៍ M(a, b))។ ជាមួយនឹងរូបភាពបែបនេះ ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចត្រូវគ្នាទៅនឹង 2 + z អ័ក្សពិត Conjugate លេខ z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z Ы = \om\ ចំនួនកុំផ្លិច ១៧

19 ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិច ការបកស្រាយមួយចំនួននៃការគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងជំពូកស្តីពីមុខងារបង្វិល និងត្រីកោណមាត្រ។ លេខភ្ជាប់ z \u003d a + bi និង z \u003d a - bi ត្រូវបានតំណាងដោយចំនុចស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស abscissa ។ លេខ l/a 2 + b 2 ដែលជាចំងាយពីចំនុចដែលតំណាងអោយលេខ z (គេនិយាយយ៉ាងសាមញ្ញពីចំនុច z) ទៅប្រភពដើម ត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយត្រូវបានតំណាងថា \r\ ។ យើងកត់សំគាល់អត្តសញ្ញាណសាមញ្ញ៖ ១) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \\ZiZ2\ = 2j z2 ; 4) z = z<=>ចំនួនពិត។ ចំនួនកុំផ្លិច ដកលេខកុំផ្លិច I = 2 ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការចំនួនកុំផ្លិច? ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិច គណិតវិទូមានលទ្ធភាពថ្មីៗ។ តោះមើលពួកគេខ្លះ។ 1. វាបានក្លាយជាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកឫសនៃណាមួយ។ សមីការពិជគណិត. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss ដែលត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិត ចែងថា រាល់សមីការពិជគណិតមានឫសស្មុគស្មាញយ៉ាងតិចមួយ។ 2. ការបំប្លែងប្លង់ (ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល ការបង្វិល ភាពដូចគ្នា ស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស និងបន្សំរបស់វា) ត្រូវបានសរសេរជាប្រតិបត្តិការសាមញ្ញមួយចំនួនលើចំនួនកុំផ្លិច។ 3. ដំណើរការ Oscillatory នៅក្នុងមេកានិច និងរូបវិទ្យា (ការសាយភាយនៃរលកសំឡេង និងពន្លឺ បាតុភូតអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច លក្ខណៈសម្បត្តិនៃចរន្តឆ្លាស់) ត្រូវបានសិក្សាច្រើនជាងមុនដោយប្រើលេខកុំផ្លិច។ ឃ្លាខាងក្រោមហាក់ដូចជាមានអត្ថន័យខ្លាំងណាស់ចំពោះវិស្វករណាម្នាក់៖ "ពិចារណាលើចំហាយដែលចរន្តហូរដោយកម្លាំង I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (amps)" ទោះបីជាមើលដំបូងរូបរាងរបស់ "ការស្រមើលស្រមៃ" ក៏ដោយ។ ចរន្តមិនអាចមានអត្ថន័យជាក់ស្តែងទេ។ ដប់ប្រាំបី

20 I IV/J - លេខកុំផ្លិច តើវាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់តួលេខធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះទេ? នេះគឺផ្អែកលើច្បាប់សាមញ្ញខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ។ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិចគឺស្មើនឹងចម្ងាយរវាងចំនុចដែលតំណាងឱ្យលេខទាំងនេះ។ តួលេខបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រដែលភ្ជាប់ចំណុច z2 ជាមួយចំនុច zu និងប្រភពដើមដែលមានចំនុច + (~z2) គឺស្មើគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះលេខ zx - z2\ ស្មើនឹងចម្ងាយពីចំណុច + (~z2) ទៅប្រភពដើម គឺស្មើនឹងចំងាយរវាងចំនុច និង z2 ដែលត្រូវបង្ហាញ។ \z i ~ r2\ = \MgM2\ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិច តើការគណនាត្រូវបានអនុវត្តដោយចំនួនកុំផ្លិចដោយរបៀបណា? 1. ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ៖ (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4)(-5))i = r; i _ (-5 + 7i)(3 + 4i) _ i 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + if = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = ការសរសេរសមីការនៃខ្សែកោងផ្សេងៗដោយប្រើការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិចពីរ៖ ១ ) រង្វង់នៃកាំ R កណ្តាលនៅដើម៖ r = R; 2) រង្វង់កាំ R ដែលដាក់កណ្តាលចំនុច r0: z - Zq\ = R; 3) ពងក្រពើត្រូវបានកំណត់ជាទីតាំងនៃចំនុចក្នុងយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយដែលទៅពីរចំនុចក្នុងយន្តហោះគឺថេរ៖ z - Zi + z - z21 = a ។ \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 រាងពងក្រពើ ជាមួយ foci.fi(-1; 0) និង F2(l; 0) 19

21 សំណួរ និងលំហាត់ 1. គណនាៈ 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r) (; 5) r 3 ; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. ពង្រីកចូលទៅក្នុង កត្តាលីនេអ៊ែរ: 1) a 2 + 4b 2 ; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a 4 - b 4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x គូរនៅលើយន្តហោះនូវសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម: 1) \r\ \u003d 3; 3) g g< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >មួយ; ៦) \iz - ១< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >ខ. ការកសាងដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

22 ចំនួនគត់ (និងសូន្យ)។ សមីការនៃទម្រង់ ax = b ដែល a និង b ជាចំនួនគត់ និង Ф 0 ក៏មិនតែងតែមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ដែរ។ តាមរយៈការណែនាំលេខសមហេតុផល យើងទទួលបានឱកាសដើម្បីសរសេរដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះសម្រាប់ចំនួនគត់ a និង b (ជាមួយនឹងកម្រិតដូចគ្នា a Ф 0)។ ភាពមិនរលាយក្នុងលេខសនិទាននៃសមីការ x 2 = 2 បណ្តាលឱ្យមានរូបរាងនៃចំនួនពិត ដែលឥឡូវនេះយើងស្រមៃក្នុងទម្រង់នៃប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់។ ក្នុងចំណោមពួកគេ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់ដែលត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈរ៉ាឌីកាល់ឈរចេញ i.e. តាមរយៈឫសនៃសមីការនៃទម្រង់ x n = a (a > 0) ។ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីលេខទាំងនេះឱ្យកាន់តែលម្អិតនៅក្នុងជំពូក។ 2. ជាការពិតណាស់ដោយមានជំនួយ ឫសការ៉េបានជោគជ័យក្នុងការស៊ើបអង្កេតបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Al-Khwarizmi ក្នុងការស្វែងរកឫសវិជ្ជមាននៃសមីការ quadratic l: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 សមីការគូបត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរ៉ាឌីកាល់ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលីនៅសតវត្សទី 16 ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូប x 3 = 1 (x − 1) (x 2 + X + 1) = 0 ការសម្គាល់ពិជគណិតឫសស្មុគស្មាញនៃសមីការការ៉េ រូបភាពធរណីមាត្រនៃឫសនៃសមីការ x 3 \u003d 1 វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីដែលសមីការមានឫសពិតបី នឹងមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់ការ៉េ និង ឫសពិតសរសេរជាផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ដូច្នេះត្រលប់ទៅសតវត្សទី 16 ។ គណិតវិទូបានមកដល់តម្រូវការដើម្បីណែនាំលេខ "ស្រមើលស្រមៃ" ។ ជនជាតិអ៊ីតាលីបានកាត់បន្ថយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទី 4 យ៉ាងឆាប់រហ័សទៅ វិធីសាស្រ្តគូបដំណោះស្រាយរបស់គាត់ដែលស្នើឡើងដោយ L. Ferrari ត្រូវបានបោះពុម្ពដោយ D. Cardano ក្នុងឆ្នាំ 1545 នៅក្នុងសៀវភៅដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ Ars Magna ។ ២១

23 D. Cardano ( ) N. X. Abel ( ) E. Galois ( ) រូបមន្តរបស់ Cardano សម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការ x 3 + px + q = 0: វាត្រូវចំណាយពេលជិតបីរយឆ្នាំសម្រាប់ជំហានបន្ទាប់ នៅពេលដែលគណិតវិទូន័រវេស N. Henrik Abel (ស្របនឹង P. Ruffini ជនជាតិអ៊ីតាលី) បានបង្ហាញថាមិនមានទេ។ រូបមន្តទូទៅដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីប្រាំ។ ការពិពណ៌នាពេញលេញនៃសមីការដែលឫសអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់ពួកគេដោយប្រើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ និងការទាញយកឫសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដូចគ្នាដោយគួរឱ្យកត់សម្គាល់។ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង E. Galois ។ គាត់រស់នៅបានតែ 21 ឆ្នាំប៉ុណ្ណោះ ហើយបានស្លាប់នៅក្នុងការប្រយុទ្ធគ្នានៅឆ្នាំ 1832 ប៉ុន្តែវាគឺជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គាត់ដែលថាកំណើតនៃពិជគណិតសម័យទំនើបត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់។ ស្នាដៃដ៏ស៊ីជម្រៅរបស់ Galois ត្រូវបានគេយល់ត្រឹមចុងសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ យើងតាមដានដោយសង្ខេបនូវបន្ទាត់មួយនៃការស្វែងរកឫសនៃពហុធា ការបញ្ចេញមតិនៃឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណរបស់វាដោយប្រើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ។ បន្ទាត់មួយទៀតត្រូវបានតភ្ជាប់ទៅវិសាលភាពកាន់តែច្រើនជាមួយនឹងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ សំណួរនៃការបាត់ខ្លួននៃអនុគមន៍ដែលកំណត់ដោយពហុធា គឺជាសំណួរធម្មតានៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃអនុគមន៍។ ការពិតដែលថាចំនួនពិតមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីឫសគល់នៃពហុនាមបានច្បាស់លាស់សូម្បីតែបន្ទាប់ពីការងាររបស់ជនជាតិអ៊ីតាលីនៅសតវត្សទី 16 ។ សំណួរធម្មជាតិថាតើមានចំនួនកុំផ្លិចគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃពហុនាមណាមួយថាតើចាំបាច់ត្រូវបន្ថែមលេខថ្មីខ្លះទៅចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ K.F. Gauss ហើយបានបោះពុម្ពនៅចុងសតវត្សទី 18 ។ គាត់បានបង្ហាញថាសមីការណាមួយ (សូម្បីតែមេគុណស្មុគស្មាញ) មានឫសស្មុគស្មាញ។ Axioms វិធីស្ថាបនាដែលយើងបានពិពណ៌នាដើម្បីឆ្លើយសំណួរ៖ "តើលេខគឺជាអ្វី?" មិនមែនតែមួយទេ។ ជំនួសឱ្យការឆ្លើយសំណួរនេះ គណិតវិទ្យាសម័យទំនើបស្នើឱ្យបង្កើតឱ្យកាន់តែច្បាស់នូវអ្វីដែលជា

24 លក្ខណសម្បត្តិនៃលេខ តើប្រតិបត្តិការអ្វីខ្លះអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយពួកគេ។ ប្រព័ន្ធលេខផ្សេងគ្នាមានលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងគ្នានៃប្រតិបត្តិការទាំងនេះ។ ប្រព័ន្ធដែលមានជាងគេគឺវាល។ ប្រព័ន្ធលេខបង្កើតវាលមួយ ប្រសិនបើប្រតិបត្តិការទាំងពីរ (បន្ថែម និងគុណ) អនុញ្ញាតឱ្យប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាស (ដក និងចែក) ត្រូវបានអនុវត្ត។ ប្រព័ន្ធលេខណាមួយដែលមានប្រតិបត្តិការពីរដែល axioms ប្រាំបួនរក្សាត្រូវបានគេហៅថាវាលមួយ។ សំណុំ Q ​​នៃលេខសមហេតុផល R នៃចំនួនពិតគឺជាវាល។ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ N, ចំនួនគត់ Z, លេខវិជ្ជមាន R* មិនមែនជាវាលទេ។ អ័ក្សវាលមិនពិពណ៌នាពេញលេញអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃចំនួនពិតដែលយើងត្រូវការនោះទេ។ ពួកគេគ្រាន់តែនិយាយអំពី ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធពីលើពួកគេ។ វាក៏មានក្រុមយ៉ាងទូលំទូលាយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនៃវិសមភាព និងចម្ងាយរវាងលេខ។ យើងនឹងត្រលប់ទៅលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះវិញនៅពេលសិក្សាគោលការណ៍នៃការវិភាគគណិតវិទ្យា (សូមមើលជំពូកទី 9) ។ បន្ថែមពីលើវាល "ស្តង់ដារ" Q និង R មានវាលជាច្រើនទៀត។ សារៈសំខាន់ជាពិសេសក្នុងចំណោមពួកគេគឺអ្វីដែលគេហៅថា វាលកំណត់, i.e. ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនកំណត់នៃធាតុ និងជាវាលក្នុងពេលតែមួយ។ ប្រសិនបើយើងយកលេខបឋមតាមអំពើចិត្តមួយ p ហើយពិចារណាលើចំនួនដែលនៅសល់ បន្ទាប់ពីបែងចែកចំនួនគត់តាមអំពើចិត្តមួយទៀតដោយ p (នឹងមាន p: 0, 1, 2, ..., p - 1) នោះយើងអាចកំណត់ការបូក និងគុណនៃនៅសល់។ តាមរបៀបធម្មជាតិដែលពួកគេនឹងបង្កើតជាវាល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវអនុវត្តប្រតិបត្តិការធម្មតាលើចំនួនដែលនៅសល់ដូចជាចំនួនគត់ហើយជំនួសលេខលទ្ធផលដោយផ្នែកដែលនៅសល់ដោយ p (ពួកគេនិយាយថា: គណនាម៉ូឌុល p) ។ ឧទាហរណ៍ លើផ្នែកដែលនៅសល់នៃការបែងចែកដោយ 5 អ្នកអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងអស់: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, i.e. -3 = 2 និង −2 = 3 និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។ Axioms 1. ការបន្ថែម និងគុណគឺ commutative and associative, i.e. កំណត់អត្តសញ្ញាណដូចខាងក្រោមៈ 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a(bc) ។ 2. ការបូកនិងគុណមានធាតុអព្យាក្រឹត (សូន្យសម្រាប់ការបូកនិងមួយសម្រាប់គុណ): 5) a + 0 = a; 6) 1 a = ក។ 3. ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសគឺអាចធ្វើទៅបាន: 7) សម្រាប់លេខនីមួយៗ a, មាន លេខផ្ទុយ(- និងទាំងនោះ។ a + + (-a) = 0; ៨) សម្រាប់លេខនីមួយៗ a Ф 0 មានលេខបញ្ច្រាស a -1, i.e. a-a" 1 = ច្បាប់ចែកចាយ៖ 9) a(b + c) = ab + ac ។

25 n n m sh m n v shishshshshsh< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 លេខធម្មជាតិ; ប៉ុន្តែជាលេខដែលបំពាន។ បន្ទាប់មក "ផលិតផលនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a: a 2 \u003d a-a ការេនៃចំនួន a; a 3 \u003d a-a-a cube នៃលេខ a. p 2" លេខធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់តាមលំដាប់ដោយចាប់ផ្តើមពីមួយ (N \u003d 1 , 2, 3 ... ) ។ ប្រសិនបើយើងស្គាល់លេខ n មួយចំនួន នោះលេខបន្ទាប់នឹងជា n + 1។ ក្នុងវិធីដូចគ្នានេះ យើងអាចកំណត់ដឺក្រេតាមលំដាប់លំដោយ។ សូចនាករធម្មជាតិ៖ យើងជឿថា a 1 = a; ដឹង a" យើងកំណត់ a n + 1 = a p a 2. ការធ្វើទូទៅនៃគោលគំនិតដឺក្រេទៅជាលេខនិទស្សន្តចំនួនគត់។ សម្រាប់លេខណាមួយ a * 0 យើងកំណត់ p = a p ដែល p ជាលេខធម្មជាតិ។ បន្ថែមនិយមន័យនៃ a ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្ត៖ a 0 = a "" = 1, a * O. a" សូន្យ 24

26 3. លក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេដែលមានគម្លាតចំនួនគត់៖ គុណ៖ a t a n = a m + n; ការបែងចែក: a t: a n = a t ~ n; និទស្សន្ត៖ (a n) n = a mp ។ 4. វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពាក្យទីមួយ a1 និងទំនាក់ទំនងកើតឡើងវិញ a+1 = an q ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាពាក្យណាមួយរបស់វាដោយដឹងពីពាក្យមុន។ លេខថេរ q ត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។ រូបមន្តពាក្យទូទៅ៖ ap \u003d ax q p ~ 1. ផលបូកនៃសមាជិក n: Sn \u003d% q n -1 (q Ф 1) ។ q-1 5. ភាពអាស្រ័យថាមពល និងមុខងារ។ ការជ្រើសរើសចំនួនគត់ m មួយអាចបង្កើតអនុគមន៍ថាមពល y = kx m ដែលបានកំណត់សម្រាប់ x ទាំងអស់ ប្រសិនបើ m ជាលេខធម្មជាតិ ហើយសម្រាប់ x ទាំងអស់ លើកលែងតែសូន្យប្រសិនបើ m< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х មុខងារបួនជ្រុង y \u003d X 2 អនុគមន៍គូប (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. នៅពេលនិទស្សន្ត និទស្សន្តត្រូវបានគុណ នៅពេលដែលអំណាចត្រូវបានគុណ ពួកគេត្រូវបានបន្ថែម 2. រៀបចំដឺក្រេតាមលំដាប់ឡើង៖

27 rat / un fupptspp នៅ lp យើងកាត់បន្ថយដឺក្រេទាំងអស់ទៅមូលដ្ឋានមួយ: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. ចាប់តាំងពីលេខ 2 > 1 និង 2 * > 0 សម្រាប់ចំនួនគត់ k បន្ទាប់មក 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k សម្រាប់ចំនួនគត់ k ។ ដូច្នេះ យើងរៀបចំនិទស្សន្តតាមលំដាប់ឡើង៖ -៣< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. កំណត់ពាក្យដំបូងពីរូបមន្ត - មួយ] ។ x ក្រាហ្វបង្ហាញថាអនុគមន៍ y ថយចុះនៅចន្លោះពេលដែលបានបញ្ជាក់។ ដូច្ន្រះវាយកតម្លៃធំបំផុតនៃ M នៅខាងឆ្វេង 1_ 1 ចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេល: M = -2 ~ 2 5. កំណត់បរិមាណនៃការរួមចំណែក។ ធនាគារទទួលបាន x% ជារៀងរាល់ឆ្នាំលើប្រាក់បញ្ញើ។ នៅចុងឆ្នាំ ការប្រាក់ត្រូវបានបន្ថែមទៅប្រាក់បញ្ញើ។ តើ​នឹង​មាន​វិភាគទាន​អ្វីខ្លះ​ក្នុង​រយៈពេល​ប៉ុន្មាន​ឆ្នាំ​? ចូរយើងសម្គាល់ការរួមចំណែកដំបូងដោយ A. ក្នុង conx (នៅចុងឆ្នាំវានឹងស្មើនឹង A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^ ដូច្នេះការរួមចំណែកក្នុងមួយឆ្នាំត្រូវបានទទួលដោយគុណនឹង លេខ ^ = 1 x Jqq "ដំណើរការធរណីមាត្រ A , Aq, Aq 2, ... ផ្តល់លំដាប់នៃការរួមចំណែកសម្រាប់ឆ្នាំនីមួយៗ។ 26

រូបមន្ត 28 សម្រាប់ការរួមចំណែក An after n years Lp =.A^l + j ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តការប្រាក់រួម។ រូបមន្តការប្រាក់រួម А =А សំណួរ និងលំហាត់ 1. គណនា៖ 1) 2 10 ; 3) "2.3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3) "2 (0.1)" 6 - (4-3) - 2. Simplify: 5" IttI: 3. តើលេខមួយណា គឺធំជាង៖ 1) ឬ Z 20; 2) a 3) Z99 3 ឬ () 3; 2) ឬ; 4. ស្វែងរក x ពីសមីការ៖ 4) 9 "2 ឬ) 2 x \u003d 2) 10 2d: " 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) ពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ (a) ស្មើនឹង 1 ហើយភាគបែង q \u003d 1.1. តើពាក្យណាតូចបំផុត n នឹងក្លាយជាច្រើនជាងពីរ? 6. កំណត់ពីក្រាហ្វដែល x តម្លៃនៃអនុគមន៍ y \u003d 2x 2 ធំជាង ឬស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ y \u003d X s ។ 7. តើអ្វីជាសំណុំនៃតម្លៃ ​\u200b\u200bo នៃមុខងារ y \u003d x k សម្រាប់ k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. ស្វែងរកតូចបំផុត និង តម្លៃដ៏អស្ចារ្យបំផុត។មុខងារ y \u003d x ~ 2 នៅលើចន្លោះពេល [-3; -២]។ _8_ ២៧ « មេរៀនទី២ ឫសគល់ សញ្ញាបត្រទីតើអ្វីទៅជាឫស សញ្ញាបត្រទីហើយតើវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះ? 1. និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យ n > 1 ជាលេខធម្មជាតិ; ប៉ុន្តែជាលេខដែលបំពាន។ ឫស n នៃ a គឺជាលេខ b ដូច b n = a ។ a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a សម្រាប់ a\u003e 0 \/a "\u003d y / a សម្រាប់\ u003e 0 27

29 p sfn 2 1.41 3 1.24 6 2.45 7 2.65 8 2.16 គែមគូប /1/V 1 a V = a 3 a = Vv ការេអង្កត់ទ្រូង ឧទាហរណ៍ លេខ 3 គឺជាឫសនៃដឺក្រេទី 4 ពីលេខ 81 ចាប់តាំងពី Z 4 \u003d 81. លេខ -3 ក៏ជាឫសទី 4 នៃលេខ 81 ព្រោះថា (-3) 4 ក៏ជា 81។ នៅក្នុងភាសានៃសមីការ យើងអាចនិយាយបានថា ឫសទី n នៃសមីការពីលេខ a គឺ ឫស x n = ក។ 2. អត្ថិភាព។ សម្រាប់ a > 0 សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n > 1 វាមានតែមួយគត់ ឫសវិជ្ជមានសញ្ញាបត្រទី 0 ពីលេខ a ។ វាត្រូវបានតាងដោយសញ្ញារ៉ាឌីកាល់៖ សម្រាប់ a> 0, y/a គឺជាលេខ b ដូចជា b> 0 និង b n = a ។ សញ្ញាណ \[a ពង្រីកទៅ a = 0: \/0 = 0 និង ទៅ a< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, ចំនួនធម្មជាតិ) មានចំនួនឫសដូចខាងក្រោម: 1) n គឺគូ: មិនមានឫសសម្រាប់< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n គឺសេស៖ ឫសមួយ l/a សម្រាប់ a ។ 4. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃរ៉ាឌីកាល់៖ 1) = a, b> 0; អង្កត់ទ្រូងនៃគូប 3) \u003d m 7a; a > 0; ៤) ០< а < b =>^ ក ហេតុអ្វីបានជាត្រូវបានណែនាំ ឫសនៃទីដឺក្រេ? ការ​ស្វែង​រក​ឫស​ទី​៩ ឬ​តាម​ទម្លាប់​គេ​និយាយ​ថា ការ​ដក​ឫស សញ្ញាបត្រ n-viនេះគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសនៃការបង្កើនចំនួនវិជ្ជមានទៅជាថាមពល៖

30 a p = b<=>a = " និង o > និង)។ ឧទាហរណ៍ បរិមាណ V នៃគូបដែលមានគែម a គឺស្មើនឹងគូបនៃ a: V = a 3។ ផ្ទុយទៅវិញ គែម a នៃគូបនៃបរិមាណ V គឺជាឫសគូបនៃ V: a = y/v . ប្រតិបត្តិការដឺក្រេទី n, ច្រាសនៃនិទស្សន្តនៃចំនួនវិជ្ជមាន។ ហេតុអ្វីបានជាលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់របស់ឫសមានសុពលភាព? 1. សំណួរនៃអត្ថិភាពនៃឫសគឺពិតជាសំណួរនៃការសាងសង់លេខថ្មី។ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ពីមុន អង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េដែលមានចំហៀង 1 គឺជាឫសការេនៃលេខ 2 ។ ដោយដឹងតែលេខសនិទាន និងមិនសង្ស័យពីអត្ថិភាពនៃអង្កត់ទ្រូងការ៉េ គណិតវិទូក្រិកបុរាណត្រូវបានបង្ខំឱ្យរកឃើញលេខ n/2 ពោលគឺ។ ដើម្បីណែនាំឬសការេទៅពិចារណាមិនត្រឹមតែនៅក្នុងករណីដែលឫសបែបនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចំនួនសនិទានភាពដែលគេស្គាល់ពីមុននោះទេ។ ដោយបានសាងសង់សំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ ជាឧទាហរណ៍ ដោយប្រើប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ គណិតវិទូបានរកឃើញអត្ថិភាពនៃ y/a សម្រាប់ n និង a > 0។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលដែល ឬសការេនៃចំនួនអវិជ្ជមាន (ដែលមិនអាចស្ថិតនៅក្នុងចំណោមចំនួនពិត ) ត្រូវបានត្រូវការ គណិតវិទូអ៊ីតាលីនៃសតវត្សទី 16 ។ ខ្ញុំត្រូវណែនាំលេខថ្មី ដែលពួកគេចាប់ផ្តើមហៅ តួលេខស្រមើលស្រមៃ. 2. សំណួរនៃចំនួនឫសគឺងាយស្រួលដោះស្រាយ។ ថាមិនអាចមានឫសវិជ្ជមានលើសពីមួយនៃចំនួនវិជ្ជមាន ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាព។ អនុញ្ញាតឱ្យ b1 និង b2 ជាឫសវិជ្ជមានដាច់ដោយឡែកនៃ a ។ ប្រសិនបើលេខខុសគ្នា នោះមួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺធំជាងលេខផ្សេងទៀត ឧទាហរណ៍ b1 > b2។ ការគុណវិសមភាពជាមួយនឹងពាក្យវិជ្ជមាន យើងទទួលបាន bf > b2, i.e., a > a ដែលខុស។ 3. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។ ជាឧទាហរណ៍ តើគេអាចបញ្ជាក់យ៉ាងដូចម្ដេចបាន។ តាមនិយមន័យ y/ab គឺវិជ្ជមាន។ ចង់ដឹងចង់ឃើញ៖ លេខ y/a+y/b ដែល a និង b គឺជាចំនួនគត់ដែលមិនមែនជាការេ មិនអាចជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែអាចនៅជិតវា។ លំហាត់៖ ក្នុង សញ្ញាគោលដប់លេខ l/v ខ្ទង់ទសភាគប្រាំមានដូចខាងក្រោម៖ ... , ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខដើម្បីគណនាចំនួនគត់នៃចំនួននេះ។ ឧទាហរណ៍ ^8=^5-1/8=2^/5 យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិដំបូងនៃរ៉ាឌីកាល់; សម្រួលកន្សោមខាងក្រោមដែលមានរ៉ាឌីកាល់៖

31 សម្រួលកន្សោមខាងក្រោមដែលមានរ៉ាឌីកាល់៖ ។ Vl-2^3+^9 ។ នៅក្រោមឫសការ៉េគឺ ការ៉េពេញ I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1 ។ នៅពេលទាញយកឫសការ៉េនៃ 2 យើងបានយកទៅក្នុងគណនីសញ្ញានៃ a: 1_z / z<0=>^/3-1>0 ។ ដូច្នេះ៖ l/l - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w ។ និង IVUTUpUi "U pauii" * "" យើងដឹងថាលេខបែបនេះមានតែមួយគត់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលថាលេខ y[a បំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ។ វាវិជ្ជមាន (ជាលទ្ធផលនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ) និងរបស់វា សញ្ញាបត្រទីគឺស្មើនឹង ab: (Va Ф)У = (Ta) "(Tfc)" = a b ។ តើបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយដោយរបៀបណា? បានផ្តល់ឱ្យ: លំដាប់នៃប្រេកង់នៃសំឡេងបង្កើតជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ; ag = a; a10 = 2 ក។ ស្វែងរក៖ q ដំណោះស្រាយ៖ ចាប់តាំងពី a10 \u003d axq 9 បន្ទាប់មក q បំពេញសមីការ 2a \u003d a q g ពោលគឺ q g \u003d 2 និង \u003d V (= 1/3-1; 1 "យើងគុណលេខ និងភាគបែងដោយការេមិនពេញលេញនៃ ផលបូកនៃលេខ និង 1 (n/2 + 1) ហើយយើងទទួលបានលេខក្រោមសញ្ញារ៉ាឌីកាល់ ដោយអំណាច លេខបឋមនិងប្រើ) \J ^/2-l/z 5 ^ សំណួរ និងលំហាត់ 1. តើលេខណាមួយខាងក្រោមនេះសមហេតុផល៖ 1) (1 + V2) 2 ; 2) \\/b4; 3) + ; ៤) ច? [> sli ooo+vioooo v / 2. តើសមភាពតែងតែពិត 1) =а 3 ; 2) =a 4? 3. គណនា៖ 1) Tb TG0 h/15; 2) V5-Vl25-^216; ៣) ៤) ^៩-៤>/៥។ សាមសិប

32 1),/0.999 ឬ 0.999; 3) 3/10000 ឬ 21; 2) ^2009 ឬ 2^2008; 1 + V2 4) ^ + ឬ 2^2-3? 5. សម្រួលកន្សោម៖ yfab 1) ^ + # + 2 >/fr ​​Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5" 3) 1-4/2 " 4) V2 + V3 + V5 " មេរៀនទី 3 ដឺក្រេ តើសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តតាមអំពើចិត្តមានន័យដូចម្តេច ? a ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។តើត្រូវលើកវាទៅជាថាមពលនៃ x យ៉ាងដូចម្តេច?ចម្លើយគឺអាស្រ័យលើរបៀបដែលចំនួន x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: 1) x គឺជាចំនួនគត់។ តើកំរិតដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់កំណត់ដោយរបៀបណា យើងធ្វើម្តងទៀតមុននេះ 2) x ជាលេខសនិទានកម្ម សរសេរជា k ជា x-, pral ។ ដែល និង k ជាចំនួនគត់, n ជាធម្មជាតិ តាមនិយមន័យ a n = \a k. ផ្តល់ដោយលំដាប់នៃប្រមាណសមហេតុផល x0, x1, x2,... , xn,... លេខ xt គឺសនិទាន។ គេអាចសរសេរ k ជាប្រភាគធម្មតា x, = ។ បន្ទាប់មកលេខ h ក្លាយជាការកំណត់តែមួយគត់។ ]Ji = a Xi =a លំដាប់ y0, yi..., yk1 គឺ លំដាប់នៃការប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងចំនួនជាក់លាក់ y ដែលត្រូវបានយកជាអំណាចនៃពូថៅ។ សញ្ញាបត្ររបស់អ្នក។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានផ្ទេរទៅដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តណាមួយ៖ ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រសូចនាករប្រភាគវិជ្ជមានគឺជាសូចនាករដំបូងគេដែលត្រូវបានប្រើដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំង N. Orem () ។ សូន្យ និងចំនួនគត់ សូចនាករអវិជ្ជមានបានបង្ហាញខ្លួនជាង 100 ឆ្នាំក្រោយមក និងនៅក្នុងប្រទេសបារាំងផងដែរ (N. Shuke) ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍អំណាចជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគវិជ្ជមាន ឧទាហរណ៍ ដើម្បីគណនាដឺក្រេនៃ 2 n យើងតំណាងឱ្យលេខ ts ជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ l \u003d 3 យើងសរសេរលំដាប់នៃប្រភាគប្រភាគទៅនឹងចំនួន l ក្នុងទម្រង់ XQ 3, xt 31 10 "3141 Xo \u003d 1000 ជាដើម" 31

33 បន្ទាប់មកពិចារណាលេខ 2 x "= 8, 2*i = 8.574, 2*2= 10^2 iit = 8.815 ។ល។ លំដាប់នេះកំណត់ចំនួន y មួយចំនួន ដែលជាថាមពលនៃលេខ 2"។ ខ្ទង់ទសភាគទីមួយនៃលេខ 2 "មានដូចខាងក្រោម៖ 2" \u003d 8, លក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេ (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a in b 3! l U 3 J g "b 12 ឧទាហរណ៍នៅពេលបង្កើនដល់សញ្ញាប័ត្រនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ; Z 2 Z 3 \u003d \u003d \u003d Z 5 នៅពេលគុណ នោះនិទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម។ ពិតប្រាកដណាស់ ប្រសិនបើ r \u003d \u003d \u003d " TO Ajrtg " 2 P 1-" 2 នៅលើដៃម្ខាង និង r \u003d a "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32

34 2) ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែលគ្នាទៅនឹងចំនួនដូចគ្នា តើលំដាប់នៃអំណាចដែលត្រូវគ្នានឹងមានចំនួនដូចគ្នាដែរឬទេ? 3. លក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តនិទស្សន្តត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរ៉ាឌីកាល់ ហើយបន្ទាប់មកបន្តទៅនិទស្សន្តតាមអំពើចិត្ត។ តើសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករបំពានត្រូវប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាយ៉ាងដូចម្តេច? 1. ការគណនាដឺក្រេតាមឫស៖ > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. កាត់បន្ថយទៅមូលដ្ឋានមួយ៖ 1 z យើងសរសេរលេខ 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I ជាអំណាចនៃលេខ 3 ជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល៖ X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (З 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = ម៉ោង! 3. ការបំប្លែងកន្សោម ៤ ១/? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. ដំណោះស្រាយនៃសមីការសាមញ្ញបំផុត៖ 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1 ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => ЛГ = _ 2. វិសមភាពរបស់ Bernoulli នៅពេលប្រៀបធៀបអំណាច ជារឿយៗគេត្រូវប្រើវិសមភាពផ្សេងៗគ្នា។ វិសមភាពដែលមានប្រយោជន៍(ករណីពិសេសនៃវិសមភាព Bernoulli ដ៏ល្បីល្បាញ): អនុញ្ញាតឱ្យ x > 0, n > 1 បន្ទាប់មក (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x ។ វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលវិសមភាពសម្រាប់ n = 2។ តាមពិត វិសមភាព Bernoulli គឺពិតមិនត្រឹមតែសម្រាប់ x> 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់ -1 ផងដែរ។< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >r និង a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8" r - 1) និង s-r 0. ទទួលបាន - x a "~ r -1< (1 + дс)" -1<-. п х Окончательно: а" -а г < а г. п Ясно, что за счет выбора большого п разность a s - а г может быть сколь угодно малой. 33

35 សំណួរ និងលំហាត់ 1. សរសេរជាសញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល៖ 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 3/25; នៅក្នុង"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>ខ្ញុំ); j) fir ។ 3. ធ្វើដូចខាងក្រោមៈ i l l 1) * 28; 2) \"; 3) 4) Uz3/9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. រៀបចំលេខតាមលំដាប់ឡើង៖ S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 ម៉ោង; s L 5 5) Tsa 2) s J ; 6) "1" 93 2) I z I ; s ; 9 Z ; 34 ; 3) 2 4 ; ; (-3) 4 ; ; J1 4) Z 3 ; (-2) 3 ; 2 e. 5. បញ្ជាក់ វិសមភាព :)< ;) 33 >៤^>៥៥; ៤) > ១. 6. ដោះស្រាយសមីការដោយកំណត់មុខងារថាមពល (ឬបន្សំរបស់វា) នៅខាងឆ្វេងរបស់វា និង ផ្នែកត្រឹមត្រូវ។: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 ម 3) Zx 3 \u003d \ x − 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; ៦) x z \u003d x \\ ២

៣៦ មេរៀនទី៤ លោការីត តើលោការីតជាអ្វី? 1. និយមន័យ។ លោការីតនៃលេខ c ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជាលេខ b ដែល a b = c, i.e. និទស្សន្តដែលមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបាន c: b = logac ។ មូលដ្ឋាន និងលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវតែវិជ្ជមាន។ លើសពីនេះទៀតវាត្រូវបានសន្មត់ថា Ф 1. ប្រសិនបើមូលដ្ឋាន a \u003d 10 នោះលោការីតនៃលេខ c ត្រូវបានគេហៅថាទសភាគ ហើយត្រូវបានតំណាងថា lgc, i.e. lgc = log10c ។ 2. លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ និងលោការីតមានទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក៖ ប្រវត្តិប្រវត្តិសាស្ត្រ តារាងដំបូងនៃលោការីតពិតជាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ M. Stiefel ()។ គណិតវិទូជនជាតិស្កុតឡេន J. Napier នៅក្នុងការងាររបស់គាត់ "ការពិពណ៌នាអំពីតារាងលោការីតដ៏អស្ចារ្យ" (1614) បានរៀបរាប់អំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត ច្បាប់សម្រាប់ការប្រើប្រាស់តារាង និងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការគណនា។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយ លោការីតត្រូវបានគេហៅថា "មិនមែនមិត្ត" ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាច កំណត់ហេតុលោការីត(c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga with n 3. អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន។ សមភាព a b = c និង b = logac បង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដូចគ្នារវាងលេខ a, b និង c ។ ការជំនួសក្នុងសមភាព a b = c តំណាងនៃលេខ b ក្នុងទម្រង់លោការីត យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណលោការីតសំខាន់៖ កំណត់ហេតុ c = គ។ ការជំនួសតំណាងអំណាចនៃ c ទៅក្នុងសមភាព b = logac យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណមួយបន្ថែមទៀត៖ logaa ft = b ។ 4. ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ លោការីតនៃលេខគឺសមាមាត្រគ្នាទៅវិញទៅមកសម្រាប់ហេតុផលផ្សេងៗ៖ J. Napier () ដោយមិនគិតពី J. Napier គណិតវិទូជនជាតិស្វីស តារាវិទូ និងជាអ្នកឃ្លាំមើល I. Burgi () ដែលធ្វើការជាមួយ I. Kepler ដ៏អស្ចារ្យដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ ១៦២០ ស្រដៀងគ្នា។ ទោះបីជាមិនសូវល្អឥតខ្ចោះក៏ដោយ តារាងលោការីត។ កំណត់អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន = fclogbx ។ អាឡុក C _c

37 ការអនុវត្តលោការីត 1. ការហោះហើរនៃរ៉ុក្កែតម៉ាស់អថេរ។ រូបមន្តរបស់ Tsiolkovsky ទាក់ទងនឹងល្បឿននៃគ្រាប់រ៉ុក្កែត និងម៉ាស់របស់វា m: v = kvx\g, m ដែល v1 គឺជាល្បឿននៃឧស្ម័នចេញ។ m0 ការបាញ់បង្ហោះដ៏ធំនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែត; មេគុណ k ។ ល្បឿនលំហូរឧស្ម័ន Wj កំឡុងពេលឆេះឥន្ធនៈមានកម្រិតទាប (បច្ចុប្បន្នវាតិចជាង ឬស្មើរនឹង 2 គីឡូម៉ែត្រ/វិនាទី)។ លោការីតលូតលាស់យឺតណាស់ ហើយដើម្បីឈានទៅដល់ល្បឿនអវកាស ចាំបាច់ត្រូវធ្វើឱ្យសមាមាត្រធំ ពោលគឺ ផ្តល់ឱ្យស្ទើរតែទាំងអស់នៃម៉ាស់ចាប់ផ្តើមសម្រាប់ឥន្ធនៈ។ 2. ជញ្ជាំងការពារសំឡេង។ មេគុណនៃអ៊ីសូឡង់សំឡេងនៃជញ្ជាំងត្រូវបានវាស់ដោយរូបមន្តដូចខាងក្រោម: ដែល p0 គឺជាសម្ពាធសំឡេងមុនពេលស្រូបយក; p គឺជាសម្ពាធនៃសំឡេងដែលឆ្លងកាត់ជញ្ជាំង; និងថេរមួយចំនួនដែលក្នុងការគណនាត្រូវបានគេយកស្មើនឹង 20 dB ។ ប្រសិនបើមេគុណអ៊ីសូឡង់សំឡេង D a គឺ 20 dB បន្ទាប់មក lg ^ - \u003d 1 និង P p0 \u003d Yur ពោលគឺជញ្ជាំងកាត់បន្ថយសម្ពាធសំឡេង 10 ដង (ទ្វារឈើមានអ៊ីសូឡង់សំឡេងបែបនេះ) ។ Р ការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត 1. ការគណនាលោការីត។ log2256 = log22 8 = 8; lg0.001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = មេគុណនៃសមាមាត្រ k ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖ k = log, a ឬ k = logab វាត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយនៃ លោការីតទៅមួយទៀត។ ជាពិសេស logax = log!-, rx since loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C ហេតុអ្វីបានជាលោការីតត្រូវការជាចាំបាច់? នៃលោការីតគឺដើម្បីសម្រួលការគណនាស្មុគ្រស្មាញ ដែលក្នុងនោះគុណដោយប្រើលោការីតត្រូវបានជំនួសដោយការបូក។ រហូតមកដល់ពេលថ្មីៗនេះ វិស្វករគ្រប់រូបបានអនុវត្តច្បាប់ស្លាយនៅក្នុងហោប៉ៅរបស់គាត់ ដែលអ្នកអាចធ្វើការគណនាផ្សេងៗដែលឥឡូវនេះត្រូវបានអនុវត្តនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ លោការីត​អាច​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ដែល​បញ្ច្រាស​ទៅ​និទស្សន្ត​បាន៖ ប្រសិនបើ x = b នោះ x ដែល​មិន​ស្គាល់​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា logab ក្នុងករណីនេះ វា​មិន​មែន​ជា​លទ្ធភាព​នៃ​ការ​សរសេរ​ដោយ​ខ្លួន​វា​ដែល​សំខាន់​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ការពិត​ដែល​ដោយ ការផ្លាស់ប្តូរ b, i.e. ពិចារណា x = loga & ជាមុខងាររបស់ bj យើងរកឃើញ ha ថ្មី។ ភាពអាស្រ័យមុខងារ។ អនុគមន៍លោការីតបានបំពេញយ៉ាងសំខាន់នូវភាគហ៊ុននៃភាពអាស្រ័យដែលមាន ការសិក្សាសាមញ្ញ. ហេតុអ្វីបានជាលោការីតមានលក្ខណៈសម្បត្តិងាយស្រួលបែបនេះ? 1. ភស្តុតាងនៃច្បាប់សម្រាប់លោការីត។ ច្បាប់លោការីតទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិថាមពល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ ច្បាប់សម្រាប់លោការីតនៃផលិតផលមួយ៖ លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីត។ ៣៦

38 កំណត់​ហេតុ​ផល! = bly logac2 = b2 ។ យោងតាមអត្តសញ្ញាណលោការីតចម្បង យើងមាន Y \u003d cx, a h \u003d c2- គុណសមភាពទាំងនេះ៖ abiabz \u003d CiC2\u003e យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃដឺក្រេ a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, i.e. Clc2 \u003d a bl + b2 ។ តាមនិយមន័យលោការីត bz + + b2 = loga(cic2) បន្ទាប់មក l0ga(c!c2) = logac! + logac2 ដែលជាអ្វីដែលយើងចង់បញ្ជាក់។ whence loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta រូបមន្តនេះច្រើនតែអានដូចខាងក្រោម៖ លោការីតនៃលេខមួយទៅមូលដ្ឋានថ្មី គឺជាលោការីតនៃចំនួនទៅមូលដ្ឋានចាស់ ចែកដោយលោការីតនៃមូលដ្ឋានថ្មីទៅមូលដ្ឋានចាស់ កត្តាសមាមាត្រអាចជា សរសេរជា k = log ab តាំងពី logai > logba = 1 (ដាក់ x = b ក្នុងរូបមន្ត) 2. លោការីត 2 f ផ្តល់ឲ្យ៖ A = (looa 3 &j. រក៖ lga. ដំណោះស្រាយ. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. សក្តានុពល (ស្វែងរកកន្សោមដោយលោការីតរបស់វា) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 = log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានមួយ។ បានផ្តល់ឱ្យ៖ A = logj a - log^a og8a ។ 4 ទៅមូលដ្ឋាន 2. ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថា log22* = k វានឹងជួយអ្នកក្នុងការស្វែងរកម៉ូឌុលផ្លាស់ប្តូរដោយពាក្យសំដី។ 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 th i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" П ] 6 log2a. ^ សំនួរ និងលំហាត់ 1. គណនាៈ 1) log a, logal, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3; 1 a f? ការបញ្ចេញមតិនៅក្នុងមូលដ្ឋាន a: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab

39 3. រកកន្សោម A ដោយលោការីត៖ 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - នៅក្នុង cos L; (In គឺ​លោការីត​ដែល​មាន​គោល e (e "2.71828) ដែល​ហៅ​ថា លោការីត​ធម្មជាតិ); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx ។ 4. កំណត់លេខមួយណាធំជាង: 5) log34 ឬ 1; 1) log32 ឬ 0; 2) កំណត់ហេតុ j 3 ឬ 0; ៦) កំណត់ហេតុ! ឬ 1; n 8 9) កំណត់ហេតុ! 7 ឬកំណត់ហេតុ, 10; ១០) កំណត់ហេតុ ឬកំណត់ហេតុ! Z 5 Z 7 3) logs-or 7) log23 ឬ log25; 4) logx ឬ 0; 8) log27 ឬ l g2-; 5. ជំនួស logarithms log, a, log8a, log! a, log2a, log3a ក្នុងលោការីតគោល ស្វែងរក៖ 1) logg9 ប្រសិនបើ logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b ។ 2) log915 ប្រសិនបើ log 25 = a; មេរៀនទី 5 អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធប្រាំពីរ ការបន្ថែមពហុគុណអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល a + b = c ផ្នែកដកដកយក ឬស លោការីត c-b = a c-a = b a-b = c I-a b = c c b = a logac = b តើអំណាច និងលោការីតថ្មីផ្តល់អ្វីខ្លះសម្រាប់ សិក្សាមុខងារ? 1. ការពឹងផ្អែកមួយមុខងារបី។ ចូរយើងពិចារណាអថេរចំនួនបី x, y និង z ដែលតភ្ជាប់ដោយការពឹងផ្អែក z x = y ។ យើងជួសជុលតម្លៃនៃអថេរ r = a ដោយតម្រូវឱ្យលក្ខខណ្ឌ a > 0 និង Φ 1 ពេញចិត្ត។ យើងអាចសរសេរទំនាក់ទំនងរវាងអថេរពីរផ្សេងទៀតជា y = ax ។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ x តាមអំពើចិត្ត យើងទទួលបានអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ចូរយើងបង្ហាញអថេរ x ជាអនុគមន៍ y ពីទំនាក់ទំនងដូចគ្នា y = ax: x = logay ។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ y ជាអាគុយម៉ង់ យើងទទួលបានអនុគមន៍លោការីត។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមាមាត្រដូចគ្នា r x = y យើងជួសជុលសន្ទស្សន៍ x = k នោះយើងទទួលបានអនុគមន៍ថាមពលដែលធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយ y = z k ។ កម្មវិធីបន្ថែម

40 នឹងទទួលបានអនុគមន៍ថាមពលមួយ 1 z តាមរយៈ y \ z = y k ជាការពិតណាស់នៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់នេះ មួយត្រូវតែធ្វើតាមការរឹតបន្តឹងដែលត្រូវបានដាក់លើអថេរ។ យើងបានធ្វើវារួចហើយសម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល y = a x ដោយសន្មតថា a > 0 និង Φ 1។ សម្រាប់អនុគមន៍លោការីត x = ឡូហ្គោ យើងត្រូវតែទាមទារបន្ថែមថា y ជាវិជ្ជមានចាប់តាំងពី x > 0 និងដើម្បីកំណត់ x ពី ទំនាក់ទំនង a x = y គឺចាំបាច់សម្រាប់ y ​​ធំជាង 0 ។ គិតដោយខ្លួនឯងថាតើការរឹតបន្តឹងអ្វីខ្លះដែលអ្នកត្រូវដាក់លើអថេរដើម្បីពិចារណាមុខងារថាមពល។ 2. លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល y \u003d a x: ដែននិយមន័យ៖ សំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ R; monotonicity៖ សម្រាប់ a > 1 មុខងារ y \u003d a x កើនឡើង សម្រាប់ 0< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; ចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរ៖ - សម្រាប់ a> 1 y = 0 សម្រាប់ x = 1; នៅ< 0 при 0 < х < 1; у >0 សម្រាប់ x> 1; — នៅ 0< а < 1 у < 0 при х >មួយ; y > 0 នៅ 0< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >1 កើនឡើងលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យនៅ 0< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2

41 ការបំបែកវិទ្យុសកម្ម ចំនួនប្រជាជនកើនឡើង រូបមន្ត Barometric តារាងលោការីត a log2a log a 2 1 0.47712 ដល់ 1.01030 (ស្វែងរកទំនាក់ទំនងរវាងលេខក្នុងតារាងនេះ!) មេរៀនមុន)។ ការបំផ្លាញវិទ្យុសកម្ម។ ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាស់នៃសារធាតុវិទ្យុសកម្មកើតឡើងតាមរូបមន្ត m(t) = m0-2~s ដែល m0 ជាម៉ាស់នៃសារធាតុនៅគ្រាដំបូង t = 0; t គឺជាម៉ាស់នៃរូបធាតុនៅពេល t; k គឺថេរខ្លះ (ពាក់កណ្តាលជីវិត) ។ កំណើនប្រជាជន។ ការផ្លាស់ប្តូរចំនួនប្រជាជននៅក្នុងប្រទេសក្នុងរយៈពេលខ្លីមួយត្រូវបានពិពណ៌នាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវល្អដោយរូបមន្ត N = N02 នៅ, ដែល N0 គឺជាចំនួនប្រជាជននៅ t = 0; N គឺជាចំនួនមនុស្សនៅពេល t; ប៉ុន្តែខ្លះថេរ។ រូបមន្តស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាការផ្លាស់ប្តូរចំនួនបុគ្គលក្នុងចំនួនសត្វក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ នៅពេលមានអាហារគ្រប់គ្រាន់ និងមិនមានសត្រូវខាងក្រៅ)។ រូបមន្ត barometric ។ សម្ពាធខ្យល់ថយចុះជាមួយនឹងកម្ពស់ (នៅសីតុណ្ហភាពថេរ) យោងទៅតាមច្បាប់ p = p0e n ដែល p0 គឺជាសម្ពាធនៅកម្រិតទឹកសមុទ្រ (h = 0); សម្ពាធ p នៅកម្ពស់ h; H គឺថេរខ្លះអាស្រ័យលើសីតុណ្ហភាព។ នៅសីតុណ្ហភាព 20 CJ - 7.7 គីឡូម៉ែត្រ។ 2. តួនាទីគ្រឹះ ក. តើចាំបាច់ត្រូវពិចារណាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នានៃ a? តាមការពិត វានឹងគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការកំណត់ខ្លួនយើងទៅនឹងមូលដ្ឋានមួយ ឧទាហរណ៍ យក a = 10។ ជាការពិត a* = 10** ដែល k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10**, k \u003d lga ។ យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានមួយផ្សេងទៀត យើងទទួលបាន loga * = k \ gx ដែល k \u003d !. lga ដូច្នេះជំនួសឱ្យមុខងារនៃទម្រង់ y \u003d a x យើង អាចពិចារណាមុខងារដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមេគុណតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់៖ y = 10** ស្រដៀងគ្នាដែរ សម្រាប់អនុគមន៍លោការីត 40

42 យើងពិចារណាមុខងារជាមួយនឹងមូលដ្ឋានថេរ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមេគុណតម្លៃនៃអនុគមន៍៖ y = k\gx ។ មូលដ្ឋានមួយចំនួនដើរតួនាទីពិសេស៖ a \u003d 10 (លោការីតទសភាគ)។ ដោយសារយើងសរសេរលេខក្នុងលេខគោលទសភាគ ការសរសេរលេខក្នុងទម្រង់ A \u003d Yu" ឯកតាជួយឱ្យយល់ពីលំដាប់នៃលេខ A. ចំណាំថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិ A លេខ +1 បង្ហាញចំនួនខ្ទង់ក្នុងខ្ទង់ទសភាគ សញ្ញាណនៃលេខ A ([a] តំណាងឱ្យផ្នែកចំនួនគត់នៃលេខ a); a \u003d 2 (លោការីតគោលពីរ។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ប្រព័ន្ធលេខគោលពីរត្រូវបានប្រើ; a \u003d អ៊ី (លោការីតធម្មជាតិ) ។ ដាក់ឈ្មោះតាម L. Euler វាមិនសមហេតុផល ហើយប្រហែលស្មើនឹង 2.7។ ហេតុអ្វីបានជាលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជីនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និង 1. Monotonicity នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល យកមូលដ្ឋាន a > 1. យើងបង្ហាញថា xx< х2 =>ក* ១< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 សម្រាប់ x > 0 (គិតថាហេតុអ្វី)។ បន្ទាប់មកអនុវត្តការបំប្លែង៖ a * 2 - a * 1 = = a * 1 (a * 2- * 1-1) ។ កត្តាទាំងពីរនៅក្នុងផលិតផលនេះគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះ a* 2 > a* 1. ជំនួសដោយ a យើងទទួលបានភស្តុតាងនៃ a ដែល y = a x នៅ 0< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. ចូរយើងបញ្ជាក់ថា 0< < х2 =>ឡូកស!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 សម្រាប់ x> 1 (គិតថាហេតុអ្វី)។ តោះអនុវត្តការបំប្លែង៖ loga x2 - loga xr = => 0 ចាប់តាំងពី 0< хг < х2 =>> ជំនួស a ជាមួយ បន្ទាប់មក 0< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41

43 ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d a " និង y \u003d តក្កវិជ្ជា និងនិយមន័យ។ បន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x ។ សូមលើកយកចំណុចមួយ។ P(c; d) នៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d a x ។ តាមលក្ខខណ្ឌ d=a ។ បន្ទាប់មក c = logad ហើយចំនុច Q(d; c) ស្ថិតនៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = \ogax ។ ចំនុច PhQ គឺស៊ីមេទ្រីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយគោរពតាមបន្ទាត់ត្រង់ y = x ។ តើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាយ៉ាងដូចម្តេច? ការប្រៀបធៀបតម្លៃនៃកន្សោមលេខ a * 1\u003e a "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, ក< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. មុខងារកំពុងកើនឡើងនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល ដូច្នេះសម្រាប់លេខណាមួយ xx និង x2 នោះ xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. យើងបានប្រើ monotonicity មុខងារថាមពល y \u003d x 4 សម្រាប់ x\u003e 0: សម្រាប់ 0 ណាមួយ។< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. ដូច្នេះ ១៥< 16 =>កំណត់ហេតុ ២១៥< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4) ។ ចម្លើយ៖ x< 0 и х >4 ឬ x e (-oo; 0) និង u (4; +oo) ។ 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4) ។ ឥឡូវនេះវាចាំបាច់ដើម្បីបំពេញវិសមភាពពីរក្នុងពេលដំណាលគ្នា (x> 0; s i.e. D: x> 4. x-4> 0, 42

44 KSHLOKrri ។ JL S t, HJIil L fc: "t-cuj ។ 3. ការស្វែងរកជួរ (OZ) នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចន្លោះពេល: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x. 2 អនុគមន៍ y − 2 x កើនឡើងតាមអ័ក្សលេខទាំងមូល 2. តម្លៃតូចបំផុតរបស់វានៅចន្លោះពេលត្រូវបានទៅដល់ចុងខាងឆ្វេង ពោលគឺនៅ x = 0 (ជាមួយ y = -) តម្លៃធំបំផុតនៅចុងខាងស្តាំ 2 x = 2 => y \u003d 2. នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរពី 0 ទៅ 2 តម្លៃនៃអនុគមន៍ y បំពេញចន្លោះពីទៅ 2. 2 ចម្លើយ៖< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0, និង F 1; a > 1, x1< х2 =>a*i< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a> 1.0<х1<х2=>=> កំណត់ហេតុ* !< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo "a* = x log X log x logs a logax = logi X a ^ សំណួរ និងលំហាត់ 1. ចង្អុលបង្ហាញអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលខាងក្រោមមួយណាដែលកើនឡើង និងថយចុះនៅលើអ័ក្សចំនួនទាំងមូល៖ 1) g/ = 5*; 3) j, = fjj ; 5) y = 2 x; 2) y \u003d Z- 1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារខាងក្រោម៖ 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3 *; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2* -1; 6) r/ = 4 x រកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់នៅចន្លោះពេល៖ 1) y = 2 X + 2, [-1; មួយ]; 3) g / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1] ។ 43

45 A .. Wuyu ^uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2-x 2);/ = log2(l − x 2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1) ។ 5. ស្វែងរកជួរនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល៖ 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2(3x − 1), ; 4) y = log x + log2jc, ។ មេរៀនទី៦ ការបង្ហាញ និង សមីការលោការីតនិងវិសមភាពឧទាហរណ៍ 1. ដំណោះស្រាយនៃសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត៖ 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg ដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត៖ log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d ដំណោះស្រាយនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត៖ គុណលក្ខណៈ។ 3 x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >២; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10" g ២<=>x > lg ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពលោការីតសាមញ្ញបំផុត៖ log2x > -1; x>1 ។ ស៊ី ODZ: x > 0; មួយ។< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >មួយ; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 log x > -1<=>ODZ:* > 0; ២០< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. តើមានប្រយោជន៍អ្វីខ្លះក្នុងការចងចាំនៅពេលដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពដែលមានអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ?<=>x = k យើងប្រៀបធៀបអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ (a> 0, a Ф 1, b> 0) និង x = b<=>x = logaf ។ 2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត៖ (a> 0, a Ф 1), logax = logafe<=>x = k; logax = ខ<=>x = a ខ។ 3. ដំណោះស្រាយនៃភាពសាមញ្ញបំផុត។ វិសមភាពអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (០< а < 1), а х >ក<=>X< k; (а >1, b> 0) ខណៈពេលដែល x> b<=>x > logafc; (០< а < 1, Ъ >0) និង x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >ខ<=>x គឺជាលេខណាមួយ។ 4. ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពលោការីតសាមញ្ញបំផុត៖ (a> 1, k> 0), logax> logafe x>k; ៤៤

46 (a > 1), logax< Ь <=>អូ< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>x Zx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 ចម្លើយ៖ (-4; -3) និង (0; 1) ។ ដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកនៃវិសមភាពអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល សូចនាករគឺជាមុខងារនៃ x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l − i = 3 o i = x = 5<=> 2 1 -* = <=>1 − x = log25 o x = 1 − log25 ។ ជំនួសឱ្យការសរសេរ 5 \u003d 2 1o6a5 អ្នកអាចលោការីតផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការក្នុងមូលដ្ឋាន 2: 1 - x \u003d កំណត់ហេតុ x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. ពាក្យខុសគ្នាពី 5 x ដោយកត្តាថេរប៉ុណ្ណោះ។ : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5 x = 5<=>x = 1.2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 គ្មានដំណោះស្រាយ => x \u003d 1. -0.37 log ^ \u003d -1 + log3 2" -0.37 45

47 វិសមភាពលោការីត \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3. ឥឡូវនេះ ការផ្លាស់ប្តូរមិនរក្សាសមមូលនៃឫសទេ សមីការលីនេអ៊ែរ 2 - x = = 5-2x មិនធ្លាក់ចូលទៅក្នុង ODZ នៃសមីការដើម។ នៅ x \u003d 3 តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺពិតជាស្មើគ្នា៖ 2-3 \u003d \u003d -1 ប៉ុន្តែអវិជ្ជមាន => មិនមានឫសទេ។ ៧ កំណត់ហេតុ! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 ចូរបន្តទៅមូលដ្ឋាន 2៖ សមីការនៃទម្រង់ 2 nx) \u003d 2 គឺស្មើនឹងសមីការ f (x) \u003d ក។ ជាទូទៅសមីការ a 2x + pa x + q \u003d O ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ quadratic y 2 + py + q \u003d O ដោយផ្លាស់ប្តូរអថេរ a x \u003d y ។ នៅពេលដែល "សក្តានុពល" សមីការ, i.e. នៅពេលឆ្លងកាត់សមីការមួយទៅសមីការ log2/(x) = a fix) = 2" មិនចាំបាច់ព្រួយបារម្ភអំពី ODZ ទេ ពោលគឺមិនចាំបាច់ពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ f(x) > 0 ទេ ព្រោះសម្រាប់ x ណាមួយដែលបំពេញសមីការជួសជុល) = 2", តម្លៃនៃ f(x) ស្មើនឹង 2", គឺវិជ្ជមាន។ logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x ។ សរសេរសមីការឡើងវិញ៖ ( log2*)^-l lj = ៣<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. ការផ្លាស់ប្តូរទៅវិសមភាពសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹង x<-<^2 2х <2" 2 <^>ទី២<-2<^ х>និង log2(2 -x)<0=>ទី២<1=>w>1. ការផ្លាស់ប្តូរមិនស្មើគ្នា។ យើងត្រូវបន្ថែមលក្ខខណ្ឌ 2-x>0<=>x<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, \x< 2, <=>(២<1, х>១.ចម្លើយ៖ ១< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46

48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10 x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Z x −5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4 x +2 2x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x −3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1" x \u003d; 3 19) 7 2x x − 7 = 0; 2 x + 2" x 17 20) 2x −2 x ដោះស្រាយវិសមភាព៖ 1 1) 2 x< 16; 3) >មួយ; 2 5) 4 x1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >២៧; ៤)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > ដោះស្រាយសមីការ៖ 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(l − 3x) = 3; ៤) log4(2 − x) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; h 4. ដោះស្រាយវិសមភាព៖ 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(ll - x); ៩) log3(x − 5) = log3(2 - x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); ១១) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x − 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. ការសន្ទនា ការគណនាថាមពល និងលោការីត ផ្ទៃខាងក្រោយ ឥឡូវនេះ មនុស្សគ្រប់រូបអាចបំពាក់ម៉ាស៊ីនគិតលេខបានយ៉ាងងាយស្រួល ឬឧបករណ៍កុំព្យូទ័រដែលមានថាមពលខ្លាំងជាងនេះ វាពិបាកក្នុងការស្រមៃមើលថាតើការគណនាមានបញ្ហាប៉ុន្មានដែលបណ្តាលឱ្យមនុស្សម្នាក់កាលពីអតីតកាល។ ការបង្កើតលោការីត គឺជាជំហានដ៏ធំមួយឆ្ពោះទៅរកការដោះស្រាយ ភារកិច្ចជាក់ស្តែងទាក់ទងនឹងការគណនា។ លទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់លោការីតដើម្បីកាត់បន្ថយការគុណទៅបូកនិងការសាងសង់ 47

49 ចំពោះអំណាចនៃគុណ វាចាំបាច់ក្នុងការចងក្រងតារាងរងនៃលោការីត ដែលមានតាំងពីដើមសតវត្សទី 17 ។ រហូតមកដល់ពេលថ្មីៗនេះ បណ្ណាល័យមានតារាងចំនួនក្រាស់ ដែលតម្លៃនៃលោការីតដែលមានខ្ទង់ទសភាគជាច្រើនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ "តារាងនៃលោការីតបួនខ្ទង់" ដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំចាំបាច់នៃសៀវភៅសិក្សារបស់សាលា ហើយវិស្វករនីមួយៗបានអនុវត្ត។ ច្បាប់ស្លាយមួយនៅក្នុងហោប៉ៅរបស់គាត់ ដែលសិស្សសាលាគ្រប់រូបត្រូវបានគេសន្មត់ថាអាចធ្វើការជាមួយ។ ភាពងាយស្រួលដែលកំពុងលេចឡើងក្នុងការអនុវត្តការគណនាដោយខ្លួនឯងបានធ្វើឱ្យបញ្ហាមួយទៀតកាន់តែធ្ងន់ធ្ងរ៖ ថាតើមនុស្សម្នាក់យល់ថាគាត់ចង់គណនារបៀបកំណត់ភារកិច្ចគណនាសម្រាប់កុំព្យូទ័រឬឧបករណ៍បច្ចេកទេសផ្សេងទៀត របៀបបកប្រែកិច្ចការនេះទៅជាភាសាដែលអាចយល់បានចំពោះឧបករណ៍នេះ។ នៅពេលគណនាដឺក្រេ ត្រូវតែរៀនមើលពីក្រោយឈ្មោះ និងការរចនាផ្សេងៗនៃពួកគេ។ ធម្មតាដើម្បីមានអារម្មណ៍ថាមានទំនាក់ទំនងរវាងពួកគេ ទទួលបានបទពិសោធន៍ និងទំនុកចិត្តដែលអ្នកតែងតែអាច (ប្រហែលជាដោយមានជំនួយពីសៀវភៅ និងគ្រូ) អាចស្វែងរករូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញ និងស្មុគស្មាញ។ លោការីត (ទោះបីជាមានភាពស្មុគស្មាញនៃសញ្ញាណរបស់វាក៏ដោយ) ត្រូវបានកែសម្រួលយ៉ាងជាក់លាក់ដើម្បីភ្ជាប់បញ្ហាផ្សេងៗដែលទាក់ទងនឹងអំណាច។ ក្នុង​បញ្ហា​គណនា​មាន​អំណាច​នៃ​លេខ​ខុសៗ​គ្នា​ក្នុង​។ (2.1) បន្សំផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍ នៅពេលគណនាកន្សោម A \u003d 3 វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើនចំនួនផ្សេងគ្នាទៅជាថាមពលមួយ គុណ និងបែងចែកអំណាច។ ហេតុអ្វីសញ្ញាបត្រច្រើនម្ល៉េះ? តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ដោយ​កម្រិត​នៃ​គ្រឹះ​តែ​មួយ​ទេ? ជាការពិតណាស់អ្នកអាចធ្វើបាន។ ដើម្បីគណនាកន្សោម A ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលអាច 10 5 *i - K) 10 * 2 គណនា 10 * លេខទាំងអស់ត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជាថាមពល 10: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ ដែល ^ k 2n k3 លោការីតនៃលេខ 2,1; 7 និង 3 នៅក្នុងមូលដ្ឋាន 10. អ្នកអានដែលយកចិត្តទុកដាក់អាចកត់សម្គាល់បន្ថែមថា 3 7 2.1 = និងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ: A = u -7 * "" 1 " 16 * "-6 ដោយកម្ចាត់លោការីតនៃលេខ 2.1 ។ ច្បាប់សម្រាប់ការគណនាអំណាច ច្បាប់ទីមួយ។ ជ្រើសរើសមូលដ្ឋានងាយស្រួលមួយ ឧទាហរណ៍ a និងកាត់បន្ថយថាមពលណាមួយទៅមូលដ្ឋាន a, i.e. តំណាងឱ្យអំណាចណាមួយ c* ក្នុងទម្រង់ kx សម្រាប់ k មួយចំនួន។ មេគុណនេះ k គឺជាលោការីត៖ c \u003d a log e ដូច្នេះការបង្ហាញពី logac ដោយ k យើងទទួលបាន៖ c x \u003d (a "" g " c f \u003d \u003d a kx ។ ច្បាប់នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើមូលដ្ឋានមួយចំនួន .នៅក្នុងបញ្ហាខ្លះវាងាយស្រួលយក a=10( លោការីតទសភាគ), នៅក្នុងផ្សេងទៀត (ជាពិសេសបញ្ហាដាច់ពីគ្នា) a = 2, ផ្សេងទៀត មូលដ្ឋានសកល e ដែលងាយស្រួលក្នុងករណីដែលអ្នកត្រូវប៉ាន់ប្រមាណអត្រាកំណើន ( លោការីតធម្មជាតិ).

50 ច្បាប់ទីពីរ។ នៅពេលទទួលយកលោការីត អ្នកក៏អាចជ្រើសរើសមូលដ្ឋានងាយស្រួលមួយ និងកាត់បន្ថយលោការីតទាំងអស់ទៅមូលដ្ឋាននេះ។ មាន​រូបមន្ត​ពិសេស​មួយ​សម្រាប់​វា​ដែល​ត្រូវ​បាន​មក​មុន​។ នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួនវាងាយស្រួលក្នុងការយកលោការីតទៅមូលដ្ឋាន 10 (លោការីតទសភាគ) នៅក្នុងបញ្ហាផ្សេងទៀត លោការីតធម្មជាតិនឹងមានប្រយោជន៍ ហើយនៅក្នុងបញ្ហាទីបី (ដាច់ដោយឡែក) ពួកគេតែងតែប្រើ លោការីតគោលពីរលោការីតគោល ២ ដូច្នេះហើយ វាជាការសំខាន់ដែលត្រូវចងចាំថា គណិតវិទ្យាបានបង្កើតឧបករណ៍សម្រាប់សម្រួលការងារដោយអំណាច ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកភ្ជាប់កន្សោម និងមុខងារដែលតំណាងខុសគ្នា។

51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50

52 បន្ទាត់​និង​យន្តហោះ​គ្មាន​ចំណុច​រួម​ទេ៖ បន្ទាត់​គឺ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ។ 4. ការរៀបចំបន្ទាត់ពីរ៖ បន្ទាត់ពីរស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ។ បន្ទាប់មកមានលទ្ធភាពពីរ៖ ទាំងពួកគេប្រសព្វគ្នា ពោលគឺពួកគេមានចំណុចរួមមួយ ឬពួកវាស្របគ្នា ពោលគឺ ឧ. មិនមានចំណុចរួម (ហើយកុំភ្លេចថាក្នុងករណីនេះបន្ទាត់ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា); កុំកុហកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រសព្វ។ ពិតណាស់ បន្ទាត់ skew មិនមានចំណុចរួមទេ បើមិនដូច្នេះទេ ពួកវានឹងស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ។ 5. របៀបស្វែងយល់ថាតើបន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នា៖ ស្វែងរកយន្តហោះដែលបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅ ហើយខ្សែទីពីរកាត់យន្តហោះនេះ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានៅចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ទីមួយ។ អ្នក​ត្រូវ​ដឹង​ថា​ពួកវា​មិន​ស្រប​គ្នា​ទេ ប៉ុន្តែ​អាច​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​យន្តហោះ​ប៉ារ៉ាឡែល​ពីរ។ ហេតុអ្វីបានជាការរាប់បញ្ចូលទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ និងប្លង់ត្រឹមត្រូវ? នេះគឺជាសំណួរពិបាកជាង។ តាមទស្សនៈដែលមើលឃើញទាំងអស់ (ឬស្ទើរតែទាំងអស់) នៃខាងលើគឺជាក់ស្តែង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វានឹងមិនអាចបញ្ជាក់ការពិតទាំងអស់ខាងលើបានទេ ពួកគេប្រើគំនិតដំបូងមួយចំនួននៃចំណុចមួយ បន្ទាត់ត្រង់ យន្តហោះ លំហ ហើយយើងគ្មានអ្វីត្រូវពឹងផ្អែកទេ លើកលែងតែការបង្ហាញរូបភាព និងវិចារណញាណរបស់យើង។ ចាប់តាំងពីសម័យ Euclid ទំនាក់ទំនងរវាងគោលគំនិតបឋមត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុសញ្ញាជាក់លាក់នៃ axioms ដែលលទ្ធផលថ្មីអាចទទួលបានតាមវិធីឡូជីខល។ ជាការពិតណាស់ កិច្ចព្រមព្រៀងដំបូងច្រើនពេកនៃ axioms ត្រូវបានធ្វើឡើង (និងមួយចំនួនទៀត ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់ មិនត្រូវបានបង្កើត) ចំនួនរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដំបូងសម្រាប់បន្ទាត់ skew ដោយយោងទៅការអះអាងពីមុន។ ការរៀបចំបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប្លង់ a ការរៀបចំបន្ទាត់ត្រង់ពីរ a p b = O « IIb 51 I

. ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ និង 12 ស្ថិតនៅលើយន្តហោះខ្លះ (3) នោះបន្ទាត់ li និងចំនុច P ដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះទេ នោះនឹងស្ថិតនៅលើយន្តហោះនេះ។ វត្ថុដូចគ្នាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ a. ចាប់តាំងពីមានតែមួយ។ យន្តហោះដែលមានបន្ទាត់ និងមិនមែនជាចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វា បន្ទាប់មកយន្តហោះ p ស្របគ្នាជាមួយយន្តហោះ a. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមលក្ខខណ្ឌ បន្ទាត់ 12 មិនស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ a ហើយមានចំណុចរួមតែមួយជាមួយវាទេ។ ភាពផ្ទុយគ្នាដែលទទួលបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។ ទ្រឹស្តីបទ មុខគូប?សញ្ញាដំបូងនៃបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 12 e a, n a = P, P e 12 បញ្ជាក់: 1x-12 ។ ពិចារណាគូប ABCDA "B" C "D" ។ បន្ទាត់ និងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូល គែម ឬមុខរបស់គូប យើងនឹងចង្អុលបង្ហាញដោយប្រើអក្សរដែលតំណាងឱ្យបន្ទាត់បញ្ឈរ។ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ AB ឬយន្តហោះ AA "BB" ចូរជួសជុលគែមមួយឧទាហរណ៍ AA" 1) គែមណាមួយដែលស្របទៅនឹង គែម AA "? ទាំងនេះគឺជាគែម BB", SS", DD" 2) តើគែមអ្វីនៅលើបន្ទាត់ដែលប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ AA"? ទាំងនេះគឺជាគែម AD, AB, A"D" និង A"B"។ ៣) តើ​គែម​មួយ​ណា​នៅ​លើ​បន្ទាត់​ដែល​ប្រសព្វ​នឹង​បន្ទាត់ AA" ទាំងនេះ​គឺ​ជា​គែម B "C", C"D", BC និង CD។​ ដើម្បី​ជា​ភស្តុតាង អ្នក​អាច​ប្រើ​សញ្ញា​នៃ​បន្ទាត់ skew ។ A "B" BA មានបន្ទាត់ AA " ហើយប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ B "C" ។ យន្តហោះស្រដៀងគ្នាអាចរកបានសម្រាប់គែមបីដែលនៅសល់។ ៤) តើគែមប៉ារ៉ាឡែលមានប៉ុន្មានគូ? សម្រាប់គែមមួយមានគែមបីស្របនឹងវា។ សរុបមាន 12 គែម ដូច្នេះមាន 52

54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC ស្របទៅនឹងទីពីរ) នឹងមាន 3 12 = 36។ វានឹងមានពាក់កណ្តាលជាគូប៉ារ៉ាឡែលជាច្រើន ដោយសារពួកវានីមួយៗត្រូវបានរាប់ពីរដង (ឧទាហរណ៍ AA "BB", BB "AA") ។ ចម្លើយ៖ ១៨ គូ។ ៥) តើ​គែម​ប្រសព្វ​ប៉ុន្មាន​គូ និង​គែម​កាត់​មាន​ប៉ុន្មាន​គូ? ការគណនាត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីដូចគ្នា៖ (4 12): 2 = 24 និង (4 12): 2 = 24 ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើគូនៃគែមទាំងអស់ត្រូវបានយកមកពិចារណាដែរឬទេ។ សរុបមក ចំនួនគូគឺ (1211):2 = 66។ ម៉្យាងវិញទៀត = 66។ គែមនីមួយៗនៃ 66 គូបានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងក្រុមមួយនៃគូប៉ារ៉ាឡែល ប្រសព្វ ឬឆ្លងកាត់។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចគណនាបានថា ពី (6-5): 2 = 15 គូនៃយន្តហោះដែលមានមុខគូបមួយ មាន 3 គូប៉ារ៉ាឡែល (គូនៃមុខទល់មុខ) និង 12 គូនៃការប្រសព្វគ្នា: (4-6): 2. ប៉ា (បន្ទាត់ត្រង់, យន្តហោះ) មាន 12-6 = 72 សរុបមាន 6-4 = 24 គូដែលបន្ទាត់ត្រង់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះមាន 6-4 = 24 គូដែលត្រង់ បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ ហើយចំនួនដូចគ្នានៃគូដែលបន្ទាត់ត្រង់កាត់គ្នានៃយន្តហោះ។ ចម្លើយ៖ \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C" D "AA" ^ BC AA" CD សំណួរ និងលំហាត់ 1. តើយន្តហោះអាចបញ្ជាក់បានដោយរបៀបណា ? 5. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដឹងថាតើបន្ទាត់ពីរគឺ skew? . 8. គូប ABCDA"B"C"D" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ រាយគែមដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ AA។ ៥៣

55 នៅខាងក្រៅគែមនាំមុខគេ MCJJCO otu irimush p ប្រសព្វយន្តហោះ BB"D"D តាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់មួយចំនួន ដែលត្រូវតែស្របទៅនឹង MN (លក្ខណៈពិសេស 2)។ ចំណុច R ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វនេះ។ យើងនឹងទទួលបានបន្ទាត់នេះដោយគូសបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងយន្តហោះ BB "D" D តាមរយៈចំនុច R, ស្របទៅនឹងអង្កត់ទ្រូង B.D. បន្ទាត់នេះកាត់គែម BB" និង DD" នៅចំណុចមួយចំនួន S និង T. មន្ទីរបញ្ចកោណ MSPTN គឺជាផ្នែកដែលត្រូវការ។ ប្រសិនបើយើងយកចំនុច P នៅលើបន្ទាត់ CC "ខ្ពស់ជាងចំនុច C" បន្តិច នោះយើងទទួលបាន hexagon នៅក្នុងផ្នែក ដែលផ្នែកមួយនឹងស្របទៅនឹង MN (លក្ខណៈ 3)។ នៅពេលដែលផ្នែកនេះឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃគូបអ្នកទទួលបានឆកោនធម្មតា។ សូមពិនិត្យមើលសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ហើយពិចារណាដោយខ្លួនឯងនូវផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគូបដែលឆ្លងកាត់ខ្សែ MN ។ សំណួរ និងលំហាត់ 1. បង្កើតសញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។ 2. បង្កើតសញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះពីរ។ 3. តើតួលេខអ្វីខ្លះអាចទទួលបាននៅក្នុងផ្នែក ព្រីសត្រីកោណយន្តហោះ? 4. តើតួលេខអ្វីខ្លះដែលអាចទទួលបាននៅក្នុងផ្នែកមួយនៃគូបដោយយន្តហោះ? 5. បង្ហាញថាយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច (A, D, B") និង (C", B, D) នៃគូប ABCDA"B"D"C" គឺស្របគ្នា។ 6. តើគែមនៃគូប ABCDA មួយណា "B"D "C" ប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ MN មេរៀនទី 3 មុំរវាងបន្ទាត់ និងប្លង់ មុំរវាងបន្ទាត់ តើមុំរវាងបន្ទាត់ និងប្លង់ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច? មុំបញ្ឈរ) ដើម្បីកំណត់មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរក្នុងលំហ អ្នកត្រូវជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពាន ហើយគូរបន្ទាត់ស្របនឹងទិន្នន័យតាមរយៈវា។ តម្លៃនៃមុំយន្តហោះដែលបានសាងសង់នឹងមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុចចាប់ផ្តើមនោះទេ។ ៥៦

56 បន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហដែលទាក់ទងទៅនឹងមុំខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែង។ 2. បន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។ នេះគឺជាឈ្មោះបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ ដោយប្រើគំនិតនេះ មនុស្សម្នាក់អាចកំណត់ការព្យាករ orthogonal នៃចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះមួយ។ ការព្យាករលើយន្តហោះ a នៃចំនុច P ដែលមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះនេះគឺជាចំនុច P" ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ ដែលបន្ទាត់ PP " កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ a ។ ការព្យាករណ៍នៃចំណុចមួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ a ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណុចនេះផ្ទាល់។ ប្រសិនបើ​អ្នក​ចង់​បញ្ចាំង​តួលេខ​ជាក់លាក់​មួយ​នៅលើ​យន្តហោះ a នោះ​អ្នក​ត្រូវតែ​បញ្ចាំង​ចំណុច​ទាំងអស់​នៃ​តួលេខ​នេះ​ទៅ​លើ​វា។ 3. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។ ចូរ​គូរ​បន្ទាត់​ត្រង់​លើ​យន្តហោះ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ នោះការព្យាករណ៍របស់វានឹងមានចំណុចមួយ។ បើមិនដូច្នោះទេ ការព្យាករនឹងជាបន្ទាត់ត្រង់។ ក្នុងករណីនេះបន្ទាត់ត្រូវបានគេនិយាយថាមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះ។ មុំរវាងយន្តហោះទំនោរ និងយន្តហោះ គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះនោះ។ 4. មុំរវាងយន្តហោះពីរ។ ដើម្បីវាស់មុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះ ហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់វាក្នុងយន្តហោះនីមួយៗ កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វ។ មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុំរវាងយន្តហោះ។ យន្តហោះពីរគឺកាត់កែង មុំរវាងពួកវាគឺត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការគំនិតនៃការកាត់កែងក្នុងលំហ? បន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ m±n, m±a, mlb, m±c ការព្យាកររាងពងក្រពើ ^^ មុំរវាងយន្តហោះក្នុង ដោយមានជំនួយពីការកាត់កែង ចម្ងាយផ្សេងៗក្នុងលំហអាចកំណត់ និងគណនាបាន។ 1. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះត្រូវបានគណនាជាប្រវែងកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីចំណុចនេះទៅយន្តហោះ (ចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ)។ ៥៧

57 L a ± P ការកំណត់ចំងាយ ta 2. ចំងាយរវាងពីរ យន្តហោះស្របគ្នា។ប្រវែងនៃផ្នែកនៃការកាត់កែងធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះទាំងនេះ ដែលរុំព័ទ្ធរវាងយន្តហោះទាំងនេះត្រូវបានពិចារណា។ 3. ប្រសិនបើតួលេខជាក់លាក់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ នោះចម្ងាយពីចំណុចបំពានក្នុងលំហទៅតួលេខនេះត្រូវបានកំណត់ថាតូចបំផុតក្នុងចំណោមចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅចំណុចបំពាននៃតួលេខនេះ។ គ្រោងចំណុចនេះនៅលើយន្តហោះ។ បន្ទាប់មកចំនុចនៃតួលេខដែលនៅជិតបំផុតទៅនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏នឹងនៅជិតបំផុតទៅនឹងការព្យាកររបស់វា ហើយផ្ទុយទៅវិញ ដើម្បីស្វែងរកចំណុចនៃតួលេខដែលនៅជិតបំផុតទៅនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំណុចដែលនៅជិតបំផុតនៃការព្យាកររបស់វា។ 4. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប្លង់ដែលកំណត់ថាជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងការព្យាកររបស់វានឹងតូចបំផុតក្នុងចំណោមមុំដែលបន្ទាត់ត្រង់នេះបង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់តាមអំពើចិត្តនៃយន្តហោះ។ 5. ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរត្រូវបានគណនាជាប្រវែងនៃកាត់កែងធម្មតា។ a-b, ajua, h ± a, h ± b តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ និងគណនាមុំរវាងបន្ទាត់ និងយន្តហោះក្នុងលំហដោយសមហេតុផល? ចំពោះបញ្ហានេះ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការប្រើការគណនាវ៉ិចទ័រ និងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ សំណួរនេះនឹងត្រូវបានពិភាក្សាបន្ថែម (សូមមើលជំពូកទី 5)។ ឥឡូវនេះជា ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អពិចារណាមុំរវាងបន្ទាត់ផ្សេងគ្នា និងប្លង់ក្នុងគូបមួយ។ 1. គែមនីមួយៗនៃគូប ឧទាហរណ៍ គែម AA" កាត់កែងទៅនឹងមុខពីរនៃគូប វាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ណាមួយដែលស្ថិតនៅលើមុខទាំងនេះ ជាពិសេសគែមទាំងប្រាំបី 2. មុខនីមួយៗនៃគូបគឺ កាត់កែងទៅនឹងមុខបួនផ្សេងទៀត 3. ពិចារណាអង្កត់ទ្រូងណាមួយនៃគូប ឧទាហរណ៍ AC "។ ការព្យាករណ៍របស់វានៅលើយន្តហោះ ABCD នឹងជាអង្កត់ទ្រូងនៃមូលដ្ឋាន AC ។ មុំ a នៃទំនោរនៃអង្កត់ទ្រូង AC "ទៅយន្តហោះនៃមូលដ្ឋានគឺមុំ C" AC ។ វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាត្រីកោណ-

58 អនុគមន៍ម៉ែត្រនៃមុំ a ដោយប្រើត្រីកោណកែង AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. ពិចារណាផ្នែកដែលឆ្លងកាត់គែមផ្ទុយគ្នានៃគូបមួយ (ផ្នែកអង្កត់ទ្រូង) ឧទាហរណ៍ផ្នែក AB "C" D. មុំរបស់វាជាមួយនឹងប្លង់គោល ABCD ត្រូវបានកំណត់ជាមុំរវាងបន្ទាត់ C "D និង DC ។ មុំនេះគឺស្មើគ្នា។ មុំ A "OA នឹងជាការចង់បាន ព្រោះ AO និង A" O កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ៖ tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ សំណួរ និងលំហាត់ 1. របៀបកំណត់ មុំរវាងបន្ទាត់ skew ក្នុងលំហ? 2. តើបន្ទាត់អ្វីហៅថាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ? 3. តើមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់កំណត់ដោយរបៀបណា? 4. តើមុំរវាងយន្តហោះពីរត្រូវបានគណនាដោយរបៀបណា? 5. តើចម្ងាយរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច? 6. តើចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច? SH CONVERSATION ការណែនាំអំពីធរណីមាត្ររបស់ Euclid គំរូនៃភាពល្អឥតខ្ចោះនៃឡូជីខលអស់រយៈពេលជាងពីរពាន់ឆ្នាំគឺជាការបង្ហាញពីគោលការណ៍នៃធរណីមាត្រដែលធ្វើឡើងដោយ Euclid ក្នុងសតវត្សទី 3 ។ BC អាចនិយាយបានថា ការបង្ហាញនេះគឺជាឧទាហរណ៍តែមួយគត់នៃទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាដ៏ម៉ត់ចត់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រមនុស្សជាតិ ដោយក្នុងនោះ 59

59 Euclid (ចុងសតវត្សទី 43 មុនគ.ស) គណិតវិទូក្រិកបុរាណ អ្នកនិពន្ធស្នាដៃ "ការចាប់ផ្តើម" ក្នុងសៀវភៅចំនួន 13 ដែលរៀបរាប់ពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីលេខ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់កំណត់តំបន់ និងបរិមាណ រួមទាំងធាតុផ្សំនៃទ្រឹស្តីដែនកំណត់ និង ជា​ច្រើន​ទៀត។ ខ្ញុំដាក់ឈ្មោះមនុស្សម្នាក់។ រហូតមកដល់ពេលនេះ សៀវភៅសិក្សាធរណីមាត្រភាគច្រើនដើរតាមគន្លងដែលបង្ហាញដោយ Euclid ហើយជាឧទាហរណ៍ រហូតមកដល់ពេលថ្មីៗនេះ សិស្សសាលាភាសាអង់គ្លេសបានប្រើការបកប្រែទំនើបនៃ Euclid's Elements ជាសៀវភៅសិក្សា។ ជាការពិតណាស់នៅចុងសតវត្សទី XX ។ ទស្សនៈផ្សេងទៀតក៏រីករាលដាលផងដែរ។ ពួកគេជាកម្មសិទ្ធិរបស់ បញ្ហាផ្សេងៗ. នេះគឺជាពួកគេមួយចំនួន។ តើវាអាចទៅរួច (ហើយវាមានប្រយោជន៍ទេ) ដើម្បីសិក្សាធរណីមាត្រដោយបោះបង់ចោលមូលដ្ឋាន axiomatic របស់វា? តើចាំបាច់ត្រូវស្គាល់ទ្រឹស្តី axiomatic ណាមួយនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃការអប់រំទូទៅ និងវប្បធម៌ដែរឬទេ? បើដូច្នេះ តើធរណីមាត្ររបស់ Euclid ស័ក្តិសមសម្រាប់រឿងនេះដែរទេ ហើយតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញ និងអាចចូលប្រើបានច្រើនជាងនេះ? តើធរណីមាត្រ Euclidean មានលក្ខណៈល្អឥតខ្ចោះប៉ុណ្ណា? យើងនឹងមិនប៉ះពាល់លើបញ្ហាទាំងនេះទេ។ រចនាសម្ព័ននៃសៀវភៅនេះផ្តល់នូវចម្លើយវិជ្ជមានចំពោះសំណួរថាតើវាអាចទៅរួចដែរទេ ក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យា ដើម្បីធ្វើដោយមិនស៊ាំជាមួយវិធីសាស្ត្រ axiomatic ។ ប៉ុន្តែយើងជឿថាគ្រប់គ្នា បុរសនៃវប្បធម៌គួរតែស្គាល់ពីប្រវត្តិនៃសំណួរនៃធរណីមាត្រ Euclidean ដោយមិនភ្ជាប់វាជាមួយការសិក្សាជាក់ស្តែងនៃធរណីមាត្រ ឬក្នុងគោលបំណងធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យាថ្មីមួយ។ Euclid's axiomatics ទំព័រដំបូងនៃ Euclid's Elements (1505 edition) Euclid's Elements (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត សៀវភៅទាំងដប់បីដែលបង្កើតជាស្នាដៃនេះ) បើកជាមួយនឹងនិយមន័យនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន។ នេះគឺជានិយមន័យមួយចំនួនពីទំព័រដំបូងនៃការចាប់ផ្តើម: "ចំណុចមួយគឺដែលគ្មានផ្នែក"; “ បន្ទាត់មួយមានប្រវែងដោយគ្មានទទឹង។ ចុងបញ្ចប់នៃបន្ទាត់គឺជាចំណុច; “ផ្ទៃគឺជាផ្ទៃដែលមានប្រវែង និងទទឹងតែប៉ុណ្ណោះ។ ចុងបញ្ចប់នៃផ្ទៃនៃបន្ទាត់ "; "ព្រំដែនគឺជាចុងនៃអ្វីមួយ"; "តួលេខ​មួយ​គឺ​ជា​វត្ថុ​ដែល​មាន​ក្នុង​ព្រំដែន​ណា​មួយ​។" និយមន័យត្រូវបានអនុវត្តតាមបទប្បញ្ញត្តិសំខាន់ៗដែលទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។

60vj. ភាពខុសគ្នាដែលធ្វើឡើងដោយ Euclid រវាង postulates និង axioms គឺមិនច្បាស់លាស់ទេ។) នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ 1. បន្ទាត់ត្រង់មួយអាចត្រូវបានគូរពីគ្រប់ចំណុចទៅគ្រប់ចំណុចផ្សេងទៀត។ 2. ប្រសិនបើបន្ទាត់ធ្លាក់លើបន្ទាត់ពីរបង្កើតជាមុំខាងក្នុងនៅម្ខាង ផលបូកនៃតិចជាងពីរបន្ទាត់ បន្ទាប់មកត្រូវបានពង្រីកដោយគ្មានកំណត់ នោះបន្ទាត់ទាំងនេះប្រសព្វនៅផ្នែកខាងនេះ។ នេះគឺជា postulate ទីប្រាំដ៏ល្បីល្បាញដែលស្មើនឹង axiom នៃភាពប្លែកនៃប៉ារ៉ាឡែល។ បន្ទាប់មក ដោយមានជំនួយពីគោលគំនិត និង axioms មូលដ្ឋានទ្រឹស្តីបទ (សំណើ) ត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញក្នុងវិធីសមហេតុសមផលសុទ្ធសាធ។ ដូច្នេះ ជា​ប្រយោគ​ទី​បួន Euclid បង្ហាញ​ពី "សញ្ញា​ដំបូង​នៃ​សមភាព​នៃ​ត្រីកោណ"។ ជាការពិតណាស់ Euclid ប្រើរបស់ជាច្រើនដែលមិនមាននៅក្នុង axioms (ឧទាហរណ៍ មិនមានអ្វីអំពី superposition នៃតួលេខ ដែលជារឿយៗត្រូវបានគេប្រើជាប្រភេទនៃការពិសោធន៍គិតមួយ)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លើកលែងតែព័ត៌មានលម្អិតផ្នែកវិចារណកថា និងភាសាមួយចំនួន កម្រិតនៃភាពម៉ត់ចត់របស់ Euclid ត្រូវបានចាត់ទុកថាគួរឱ្យពេញចិត្តរហូតដល់ចុងសតវត្សទី 19 ។ axiomatics សម័យទំនើបនៃធរណីមាត្រ Euclidean ដូចដែលវាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញស្ទើរតែទាំងអស់។ សៀវភៅសិក្សារបស់សាលាធរណីមាត្របង្កើតឡើងវិញនូវ axiomatic មួយ ឬមួយផ្សេងទៀត ហើយជាក្បួននៅដើមវគ្គសិក្សា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ពួកគេព្យាយាមធ្វើឱ្យបញ្ជីនេះមានលក្ខណៈសាមញ្ញតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ហើយក្នុងពេលតែមួយងាយស្រួលសម្រាប់ការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ។ គំរូសម្រាប់ការសាងសង់បែបនេះ ដោយគិតគូរពីសមិទ្ធិផល និងភាសានៃគណិតវិទ្យាដែលបានអភិវឌ្ឍនៅចុងសតវត្សទី 19 គឺជាប្រព័ន្ធដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ (ទោះបីជាមិនសាមញ្ញបំផុត) នៃ axioms របស់គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ Hilbert ដែលបង្កើតឡើងដោយគាត់នៅក្នុង 1899. D. Hilbert បែងចែកប្រព័ន្ធបីនៃវត្ថុដែលមិនបានកំណត់ (មូលដ្ឋាន)៖ ចំនុច បន្ទាត់ និងប្លង់។ បន្ទាប់មក "ទំនាក់ទំនង" រវាងពួកគេត្រូវបានប្រកាស (ជាកម្មសិទ្ធិ, រវាង, ស្មើគ្នា, ស្របគ្នា) ។ បទប្បញ្ញត្តិទាំងនេះបង្កើតជាក្រុមចំនួនប្រាំនៃ axioms ។ ជាឧទាហរណ៍ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមនេះបានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងក្រុមទីពីរនៃ axioms ("axioms of order") ដែលធរណីមាត្រអាឡឺម៉ង់ G. Pasch បានទាក់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍ក្នុងឆ្នាំ 1882 ថាជា axiom ចាំបាច់៖ "ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ចូលខាងក្នុងនៃត្រីកោណតាមរយៈ ផ្នែកម្ខាងរបស់វា ប៉ុន្តែមិនឆ្លងកាត់វាខាងលើទេ បន្ទាប់មកវាត្រូវតែចេញពីវាតាមរយៈម្ខាងទៀត។ ក្រុមទី 4 មាន axiom មួយអំពី parallelism: "តាមរយៈចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅខាងក្រៅបន្ទាត់ a នោះវាឆ្លងកាត់ភាគច្រើនបំផុតមួយបន្ទាត់ស្របទៅនឹង a" ។ ៦១

61 d" ក្រុមទី 5 រួមបញ្ចូលទាំង akishmas ពីរអំពីការបន្ត រួមទាំងអ្វីដែលហៅថា axiom នៃ Archimedes: "សម្រាប់ផ្នែកណាមួយ a និង b ចម្រៀកដែលស្មើនឹង a អាចត្រូវបានដាក់នៅតាមបណ្តោយ b ជាច្រើនដងដែលពួកវាគ្របដណ្តប់ផ្នែក b" ។ ធរណីមាត្រមិនមែនអឺគ្លីដ អស់រយៈពេលពីរពាន់ឆ្នាំគ្មាននរណាម្នាក់សង្ស័យ (ហើយគ្មាននរណាម្នាក់សង្ស័យរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ) តម្លៃនៃ axiomatics របស់ Euclid ។ សំណួរតែមួយគត់ដែលអ្នកគណិតវិទូអាជីព និងអ្នកស្ម័គ្រចិត្តបានវិលត្រឡប់មកវិញជាបន្តបន្ទាប់ មានខ្លឹមសារដូចតទៅ៖ "តើវាមិនអាចបញ្ជាក់បានទេ ដើម្បីកាត់សេចក្តីប្រកាសទីប្រាំរបស់ Euclid ពីផ្នែកដែលនៅសល់នៃ axioms ជាទ្រឹស្តីបទជាក់លាក់មួយ"។ សៀវភៅ និងអត្ថបទរាប់ពាន់ត្រូវបានសរសេរលើប្រធានបទនេះ ប៉ុន្តែអ្វីដែលល្អបំផុតដែលត្រូវបានធ្វើគឺការជំនួស axiom នៃភាពស្របគ្នាជាមួយនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយផ្សេងទៀតដែលហាក់ដូចជាច្បាស់ជាងនេះ (ហើយដូច្នេះជារឿយៗត្រូវបានគេមើលរំលង) ប៉ុន្តែវាបានប្រែក្លាយថាពិតជាស្មើនឹង postulate ទីប្រាំ។ នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី XIX ។ វាច្បាស់ណាស់ថា postulate ទីប្រាំគឺឯករាជ្យនៃ axiomatics របស់ Euclid ក្នុងន័យគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាដោយការបន្ថែមទៅប្រព័ន្ធដែលនៅសល់នេះ axiom ដែលបដិសេធ postulate ទីប្រាំ (ឧទាហរណ៍ក្នុងទម្រង់បែបនេះដែលយ៉ាងហោចណាស់ពីរបន្ទាត់ឆ្លងកាត់។ តាមរយៈចំណុចណាមួយដែលស្របទៅនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ) យើងនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធថ្មីដែលមិនផ្ទុយគ្នា ដែលយើងអាចញែកទ្រឹស្តីបទដែលមានលក្ខណៈដាច់ស្រយាល និងមានអត្ថន័យដូចអ្វីដែលទទួលបាននៅក្នុងធរណីមាត្ររបស់ Euclid ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះដែលបញ្ជីនៃ axioms ដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញត្រូវបានពេញចិត្ត (រួមទាំងការបដិសេធនៃ postulate ទីប្រាំ) បានមកត្រូវបានគេហៅថា "ធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean" ។ ជាលើកដំបូងប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងច្បាស់ដោយគណិតវិទូរុស្ស៊ីដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ N.I. Lobachevsky ដែលបានផ្តល់របាយការណ៍នៅសាកលវិទ្យាល័យ Kazan ក្នុងឆ្នាំ 1826 ហើយបួនឆ្នាំក្រោយមកដោយលំអិតពី Nikolai Ivanovich Lobachevsky () គណិតវិទូរុស្ស៊ី; អ្នកនិពន្ធ " ការស្រាវជ្រាវធរណីមាត្រលើទ្រឹស្តីនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល” បកប្រែទៅជា អាឡឺម៉ង់អ្នកបង្កើត "ធរណីមាត្រមិនមែនអឺគ្លីដ" (ធរណីមាត្រ Lobachevsky) ។ គាត់ត្រូវបានគេហៅថា "Copernicus in Geometry" ខណៈដែលគាត់បានបង្វែរប្រព័ន្ធដែលមានស្រាប់ទាំងមូលនៃទស្សនៈលើធរណីមាត្រ។ សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍគណិតវិទ្យា មិនត្រឹមតែទ្រឹស្តីបទជាក់លាក់ដែលបញ្ជាក់ដោយ Lobachevsky មានសារៈសំខាន់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែចំពោះវិសាលភាពកាន់តែច្រើននៃវិធីសាស្រ្តរបស់គាត់ចំពោះមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។ លទ្ធផលស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានទទួលដោយ K. Gauss ប៉ុន្តែគាត់មិនមានភាពក្លាហានក្នុងការបំពេញវា និងបោះពុម្ពផ្សាយវាទេ ប៉ុន្តែគាត់មានភាពស្មោះត្រង់ខាងវិទ្យាសាស្ត្រក្នុងការបង្ហាញ Lobachevsky សម្រាប់ការបោះឆ្នោតជាសមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃសង្គមវិទ្យាសាស្ត្រ Göttingen ហើយជូនដំណឹងដោយផ្ទាល់អំពីការបោះឆ្នោត។ .

62 គណិតវិទូ J. Boyai បានបោះពុម្ពក្រដាសមួយដែលមានខ្លឹមសារស្រដៀងគ្នា។ បន្ទាប់ពី 40 ឆ្នាំទៀតឧទាហរណ៍នៃផ្ទៃត្រូវបានសាងសង់ដែលធរណីមាត្រ Lobachevsky ត្រូវបានអនុវត្ត។ ពីធរណីមាត្រទៅតក្កវិជ្ជា អត្ថន័យនៃចលនាពី Euclid ទៅ Lobachevsky និងបន្តទៅ Hilbert (ឬយ៉ាងហោចណាស់អត្ថន័យមួយក្នុងចំណោមអត្ថន័យទាំងនេះ) មាននៅក្នុងការរំដោះពីការមើលឃើញធរណីមាត្រ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់ Hilbert អ្នកមិនចាំបាច់ដឹងពីរបៀបដែលចំនុច និងបន្ទាត់ "មើលទៅ" នោះទេ។ ពួកគេអាច (និងគួរ) ត្រូវបានចាត់ទុកជាវត្ថុដែលមានតែអ្វីដែលត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុង axioms ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដឹង។ ដូច្នេះ ការបន្តពី axioms យើងទទួលបានលទ្ធផលថ្មីតែដោយជំនួយពីតក្កវិជ្ជាប៉ុណ្ណោះ។ ទស្សនៈ​នេះ​លើក​ឡើង​នូវ​សំណួរ​ថ្មី​ពីរ។ ដំបូងបង្អស់អំពីធរណីមាត្រខ្លួនឯង។ ការទទួលបានមួយចំនួនធំនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជ្រៅគ្រប់គ្រាន់ដែលជាផលវិបាកនៃ axioms (ឧទាហរណ៍ត្រូវបានធ្វើឡើងដោយ Lobachevsky) មិនបញ្ជាក់ពីភាពស៊ីសង្វាក់នៃប្រព័ន្ធសាងសង់នោះទេ។ រួចហើយនៅចុងសតវត្សទី XIX ។ វាច្បាស់ណាស់ថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស៊ីសង្វាក់នៃប្រព័ន្ធថ្មីដោយមានជំនួយពីគំរូដែលអនុវត្ត axioms នៃប្រព័ន្ធ។ ដូច្នេះ Hilbert បង្ហាញពីគំរូសម្រាប់ការសាងសង់ធរណីមាត្រ Euclidean ដោយមានជំនួយពីលេខ។ បញ្ហាមួយទៀតគឺទាក់ទងទៅនឹងការវិភាគនៃតក្កវិជ្ជាខ្លួនវាផ្ទាល់ដែលត្រូវបានអនុវត្តដោយអាំងតង់ស៊ីតេដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងសតវត្សទី 20 ។

63 Combinatorics Annotation 1 Combinatorial constructions កូដ Morse អក្ខរក្រមមានតួអក្សរពីរ៖ ចំនុច និងសញ្ញា។ ការកសាងពាក្យ ពាក្យនៃប្រវែង។ 1 តើសំណង់អ្វីខ្លះ (សំណង់) ដែលត្រូវបានប្រើប្រាស់ញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុង combinatorics? 1. ការស្ថាបនាពាក្យ។ ពិចារណាសំណុំតួអក្សរមួយចំនួន។ និមិត្តសញ្ញាទាំងនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាអក្សរ ហើយសំណុំអក្សរទាំងមូលនឹងត្រូវបានគេហៅថាអក្ខរក្រម។ ពាក្យនៃប្រវែង 2 ពាក្យគឺជាលំដាប់នៃអក្សរនៅក្នុងអក្ខរក្រមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ពាក្យប្រវែង 3 អក្សរនីមួយៗនៃអក្ខរក្រមអាចប្រើម្តង ច្រើនដង ឬអត់ទាំងអស់។ កិច្ចការ 1. រាប់ចំនួនពាក្យនៃប្រវែង k ក្នុងអក្ខរក្រមនៃអក្សរ n ។ មាន k កន្លែងនៅក្នុងពាក្យនៃប្រវែង k ។ យើងដាក់អក្សរ n ណាមួយនៅកន្លែងដំបូង។ នៅពេលដែលកន្លែងបន្ទាប់ត្រូវបានបំពេញ ចំនួននៃលទ្ធភាពកើនឡើង n ដង។ ចំលើយ៖ n p... n = n k ចំនួននៃពាក្យប្រវែង k k ដងក្នុងអក្ខរក្រម n ស្មើនឹង n k 2. ការដាក់។ ពិចារណាសំណុំនៃវត្ថុ។ រៀបចំស៊េរីនៃ កៅអីទទេ. យើងបែងចែករវាងលំដាប់នៃកន្លែងទីមួយ ទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដើម្បី​បំពេញ​ជួរ​ដេក​មាន​ន័យ​ថា​ត្រូវ​ដាក់​វត្ថុ​មួយ​ចំនួន​ពី​សំណុំ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នៅ​ក្នុង​កន្លែង​នីមួយៗ​ (វត្ថុ​នីមួយៗ​អាច​ប្រើ​បាន​តែ​ម្តង)។ ៥៤

64 ជួរដែលពោរពេញទៅដោយវត្ថុនៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាការដាក់ (យើងដាក់វត្ថុនៅកន្លែងជាក់លាក់) ។ ឱ្យចំនួនវត្ថុក្នុងសំណុំស្មើនឹង n ហើយប្រវែងនៃជួរដេក (ចំនួនកន្លែងនៅក្នុងវា) ស្មើនឹង k បញ្ហា 2. គណនាចំនួន A k n នៃការដាក់វត្ថុ n ក្នុងកន្លែង k ។ មិនដូចកិច្ចការទី 1 ដែលសំបុត្រអាចប្រើច្រើនជាងម្តង ក្នុងកិច្ចការនេះ ដោយបានដាក់វត្ថុនៅកន្លែងជាក់លាក់មួយ យើងយកវាចេញពីសំណុំ (ថង់វត្ថុមួយ) ហើយយើងមិនមានវាទៀតទេ (វាមិនអាចលេចឡើងម្តងទៀតទេ ) យើងដាក់វត្ថុ n ណាមួយនៅកន្លែងដំបូង។ នៅជំហានបន្ទាប់នីមួយៗ ចំនួននៃលទ្ធភាពថយចុះម្តងមួយ។ ចំលើយ៖ n(n − 1)(n − 2)... = n(n − 1)... (n − k + h កត្តា + 1)។ ចំណាំថាកត្តាចុងក្រោយគឺ n - (k − 1) = n - k + 1 ។ ចំណាំថាប្រសិនបើ k > n នោះកត្តាមួយនឹងជា សូន្យព្រោះវាមិនអាចទៅរួចទេសម្រាប់វត្ថុ n ដើម្បីកាន់កាប់កន្លែងមួយចំនួនធំជាង n ។ 3. Permutation ។ ពិចារណាសំណុំដែលមានវត្ថុ n ។ យើងចង់ដាក់ពួកវាតាមលំដាប់លំដោយ ឧ. រៀបចំ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយលេខវត្ថុ។ សំណុំវត្ថុដែលបានបញ្ជាទិញត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរ។ ពាក្យ​នេះ​បាន​កើត​ឡើង​ដោយ​សារ​តែ​វត្ថុ​ដំបូង​ត្រូវ​បាន​គេ​យក​ទៅ​រៀបចំ​ដោយ​របៀប​ណា និង​វិធី​ផ្សេង​ទៀត​ក្នុង​ការ​បញ្ជា​តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​ការ​រៀបចំ​វត្ថុ​ទាំង​នេះ​ឡើង​វិញ។ បញ្ហា 3. គណនាចំនួន Pn នៃ permutations នៃ n objects ។ វាច្បាស់ណាស់ថាបញ្ហានេះស្របគ្នានឹងបញ្ហាដាក់ក្នុងករណីដែលចំនួនវត្ថុត្រូវគ្នានឹងចំនួនកន្លែងដែលយើងរៀបចំ n វត្ថុទាំងអស់ដោយប្រើ n កន្លែងដែលមាន។ ពាក្យដដែលៗនៃហេតុផលនៃបញ្ហាទី 2 នាំឱ្យមានចម្លើយដូចខាងក្រោម: n (n - 1) ដោយសារចំនួនកត្តាគឺ n លេខចុងក្រោយនឹងមាន 1 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការរៀបចំកត្តាឡើងវិញហើយសរសេរលទ្ធផលជាផលិតផលទាំងអស់ លេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ n: n = = n\ (អាន "n factorial") ។ ពាក្យពីរក្នុងអក្ខរក្រមនៃអក្សរបី aa ab ac ba bb bc ca s SS ការដាក់វត្ថុបីក្នុងពីរកន្លែង ការដាក់វត្ថុ n ក្នុងកន្លែង k ចំនួនកន្លែង ចំនួនកន្លែងដែលអាចមាន 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 ជម្រើសសរុប៖ n(n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)

65 ការរចនាដើម្បីដោះស្រាយ បញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នា? abc acb X abed (acbd (abdc\aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl ឧទាហរណ៍ Permutation P4 = 4!= = 24 ការដាក់ P n\ K = L ft (n-k) \l!a = ( l-0)!l!l!l!l!==l!​​(l-l)!អូ!Anagram cab cabd cadb cdab dcab ពាក្យ​ដែល​មាន​អក្សរ​ដែល​បាន​រៀប​ចំ​ឡើង​វិញ (ការ​ដាក់​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ) ការ​សាងសង់ វិធីសាស្ត្រ​នៃ​ការ​តែង​និង​ការ​រាយ​ជម្រើស​គួរ​តែ​មាន។ ការវិភាគ 1. ចម្លើយគោលពីរ មនុស្សម្នាក់ត្រូវបានសួរសំណួរចំនួន 10 ទៅកាន់ពួកគេម្នាក់ៗ គាត់ឆ្លើយ "បាទ/ចាស" ឬ "ទេ"។ ជម្រើសផ្សេងៗចម្លើយចំពោះសំណួរទាំង 10? មានជម្រើស 2 ដើម្បីឆ្លើយសំណួរទីមួយ។ ប្រសិនបើចម្លើយចំពោះសំណួរជាច្រើនត្រូវបានសាងសង់រួចហើយ នោះចម្លើយចំពោះសំណួរបន្ទាប់នឹងកើនឡើងទ្វេដងនៃជម្រើស។ ចំលើយ = 2 10 = ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងបញ្ហានេះមានការស្ថាបនាពាក្យជាអក្សរពីរ។ 2. ការធ្វើតេស្តជម្រើសច្រើន។ មនុស្សម្នាក់ត្រូវបានផ្តល់ជូនការធ្វើតេស្តចំនួន 6 សំណួរ។ សំណួរនីមួយៗត្រូវតែឆ្លើយជាមួយនឹងចម្លើយមួយក្នុងចំណោមចម្លើយដែលអាចធ្វើបានទាំង 5 ។ តើមានចម្លើយខុសគ្នាប៉ុន្មានសម្រាប់សំណួរទាំង 6 លើការធ្វើតេស្តនេះ? មានចម្លើយចំនួន 5 សម្រាប់សំណួរទីមួយ។ នៅពេលផ្លាស់ទីទៅសំណួរបន្ទាប់ ចំនួននៃជម្រើសនឹងកើនឡើង 5 ដង។ ចម្លើយ៖ = 5 6 = ការរចនាត្រូវបានរក្សាទុក។ ចំនួនអក្សរនៅក្នុងអក្ខរក្រមបានផ្លាស់ប្តូរ ឥឡូវនេះវាជាពាក្យដែលមានអក្សរផ្សេងគ្នា។ មានអក្សរចំនួន 10 នៅក្នុងអក្ខរក្រម។ តើ​ពាក្យ​ប្រវែង ៣ អាច​បង្កើត​បាន​ប៉ុន្មាន​អក្សរ​ដែល​មិន​ដដែលៗ? ដំបូង​យើង​ដាក់​អក្សរ​ណា​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​អក្សរ​ទាំង ១០ ហើយ​នៅ​លេខ​ពីរ លើក​លែង​តែ​អក្សរ​ដែល​បាន​យក​មុន​សិន។ យើងទទួលបានជម្រើស 10-9 ។ ទីបី អ្នកអាចដាក់អក្សរណាមួយដែលមិនបានប្រើ។ ចំលើយ៖ = 720. ការរចនានៃកន្លែងត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាបីកន្លែង (ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ) 10 អក្សរត្រូវបានដាក់។ 4. អាណាក្រាមនៃពាក្យដែលមានអក្សរផ្សេងគ្នា។ តើមានអាណាក្រាមប៉ុន្មានសម្រាប់ពាក្យ KATER? អក្សរទាំងប្រាំនៃពាក្យនេះគឺខុសគ្នា។ អ្នកអាចរៀបចំអក្សរ 5 ឡើងវិញបាន 5! វិធី។ ចម្លើយ៖ P5 = 5! =

66 fy សំណួរ និងលំហាត់ 1. តើពាក្យក្នុងអក្ខរក្រមនេះមានន័យដូចម្តេច? 2. តើពាក្យប្រវែង 5 មានប៉ុន្មានក្នុងអក្ខរក្រម 6 តួ? 3. មានអក្ខរក្រមនៃអក្សរ n ។ ពាក្យដែលមានអក្សរមិនដដែលៗត្រូវបានពិចារណា។ តើ​គោល​គំនិត​អ្វី​នៃ​ការ​ផ្សំ​គ្នា​គួរ​ត្រូវ​ប្រើ​ដើម្បី​ពណ៌នា​ពាក្យ​បែប​នេះ? 4. តើពាក្យប្រវែង 3 មានប៉ុន្មានដែលមានអក្សរមិនដដែលៗក្នុងអក្ខរក្រមមួយមាន 6 អក្សរ? 5. តើការផ្លាស់ប្តូរគឺជាអ្វី? 6. តើការបំប្លែងអក្សរទាំង ៦ មានប៉ុន្មាន? 7. តើគោលគំនិតនៃ "ការដាក់" និង "ការផ្លាស់ប្តូរ" មានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច? 8. តើចំនួននៃការដាក់វត្ថុ 10 កន្លែងក្នុង 4 កន្លែងមានចំនួនប៉ុន្មានដង តិចជាងចំនួននៃការដាក់វត្ថុដូចគ្នាក្នុងប្រាំមួយកន្លែង? មេរៀនទី 2 Rules of combinatorics តើអ្វីជាក្បួនជាមូលដ្ឋាននៃការគណនាបន្សំ? 1. ច្បាប់នៃការបន្ថែម។ អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំ A មានធាតុ m. និងធាតុសំណុំ B n ។ ប្រសិនបើសំណុំ A និង B មិនមានធាតុរួមទេ នោះចំនួនធាតុនៅក្នុងសហជីពគឺ m + n ។ យើងអាចនិយាយបានថាប្រសិនបើថង់ពីរមានវត្ថុផ្សេងគ្នា ហើយយើងចាក់ពួកវាជាមួយគ្នា នោះយើងរកចំនួនសរុបរបស់វា ត្រូវបន្ថែមចំនួនវត្ថុក្នុងថង់នីមួយៗ។ ប្រសិនបើសម្រាប់សំណុំកំណត់ X យើងកំណត់ដោយ X ចំនួននៃធាតុរបស់វានោះ ច្បាប់បន្ថែមអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើ A n B = 0 បន្ទាប់មក \A និង B \ = \A \ + \B \ ។ ច្បាប់នេះអាចមានលក្ខណៈទូទៅយ៉ាងងាយស្រួលចំពោះករណីនៅពេលដែលសំណុំ A និង B មានផ្នែករួម។ 2. ច្បាប់នៃការដាក់បញ្ចូលករណីលើកលែងមួយ។ សូមឱ្យសំណុំ A និង B មានផ្នែករួមជាមួយនឹងធាតុ k ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងការរួបរួមនៃសំណុំ A និង B ចំនួននៃធាតុគឺស្មើនឹង m + n - k, i.e. \A u B\u003d \A\ + B - \A n B. វាច្បាស់ណាស់ថាដោយការបន្ថែមប្រភេទលេខ យើងរាប់ធាតុទូទៅពីរដង។ ច្បាប់នៃការផ្សំបញ្ចូលគ្នា ច្បាប់បន្ថែម A n B \u003d 0 J] A និង B\ \u003d A + B

ការបដិសេធរួមបញ្ចូល A u B\ = A + B - \A n B\ ពង្រីកទៅសហជីពនៃចំនួនសំណុំតាមអំពើចិត្ត។ 3. ក្បួនគុណ។ ចំនួនគូដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុនៃសំណុំ A និង B គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៃសំណុំទាំងនេះ។ សំណុំនៃគូនៃធាតុនៃសំណុំពីរត្រូវបានតំណាងជាញឹកញាប់ដោយសញ្ញាផលិតផល។ បន្ទាប់មកក្បួនគុណអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ [A x B\ \u003d A x B. ក្បួនគុណអាចត្រូវបានពន្យល់យ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើតារាង។ ប្រសិនបើយើងបង្កើតតារាងចតុកោណកែង និងលេខ (សម្គាល់) ជួររបស់វាដោយធាតុនៃសំណុំ A និងជួរឈរដោយធាតុនៃសំណុំ B នោះកោសិកានៃតារាងនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងគូ (a; b) ដែល a e A, b e B ។ ចំនួនក្រឡាក្នុងតារាងគឺច្បាស់ជាស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនជួរដេក និងចំនួនជួរឈរ។ \A + B + C\= \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 ក្បួនគុណ \A x B = A x B តើក្បួននៃ combinatorics ត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងដូចម្តេចក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា? 1. ចំនួនលក្ខខណ្ឌ។ ពិចារណាផលិតផល (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be) ។ តើ monomials ប៉ុន្មាន (មុនពេលកាត់បន្ថយស្រដៀងគ្នា) នឹងត្រូវបានទទួលដោយការគុណ "តង្កៀបដោយតង្កៀប"? សំណួរដូចគ្នាអាចត្រូវបានធ្វើកំណែទម្រង់ដូចខាងក្រោម: "តើមានគូប៉ុន្មានអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពី monomials នៅក្នុងតង្កៀបទីមួយនិងទីពីរ?" យើងជ្រើសរើស monomial ណាមួយក្នុងចំណោមបីនៅក្នុងតង្កៀបទីមួយ និងណាមួយក្នុងចំណោមប្រាំមួយនៅក្នុងទីពីរ។ ចំនួនគូគឺ 3-6 = 18 ប្រើក្បួនគុណ។ 2. ម៉ឺនុយ។ បញ្ជីមុខម្ហូបមាន 5 មុខម្ហូប 3 វគ្គដំបូង 4 វគ្គទីពីរ និងបង្អែម 3 ។ តើអាហារបួនមុខអាចបញ្ជាបានប៉ុន្មាន? កាល​បើ​គិត​តាម​លំដាប់​នោះ យើង​ធ្វើ​ឈ្មោះ​៤​យ៉ាង៖ ១) អាហារ​សម្រន់; 2) វគ្គសិក្សាដំបូង; 3) វគ្គសិក្សាទីពីរ; 4) បង្អែម។ នៅក្នុងជួរទីមួយនៃទាំងបួននេះ យើងបញ្ចូលជម្រើសណាមួយក្នុងចំនោមជម្រើសទាំងប្រាំ ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងជួរទីពីរ ណាមួយក្នុងចំណោមជម្រើសទាំងបី។ល។ ចំនួនសរុបនៃ

68 [=180. នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​នៃ​ការ​ធ្វើ​ជា​ទូទៅ​នៃ​ក្បួន​គុណ។ យើងបង្កើតមិនត្រឹមតែជាគូប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសំណុំវត្ថុពីរ បី បួន ឬច្រើនផងដែរ។ ៣. ស្លាកលេខរថយន្ត. លេខរថយន្តមានអក្សរបី និងលេខបី។ អក្សរ 20 និងលេខទាំង 10 ត្រូវបានប្រើ។ លេខដែលមានលេខសូន្យទាំង 3 ក៏មានសុពលភាពផងដែរ (ឧទាហរណ៍ A000AA)។ តើលេខបែបនេះអាចផលិតបានប៉ុន្មាន? បន្ទប់មាន 6 កៅអី។ ទីមួយ ទីប្រាំ និងទីប្រាំមួយសម្រាប់អក្សរ ទីពីរ ទីបី ទីបួនសម្រាប់លេខ។ កៅអីត្រូវបានបំពេញដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ចំលើយ៖ = ចំនួនពាក្យ។ មានអក្សរ 4 នៅក្នុងអក្ខរក្រម។ តើ​អក្សរ​នេះ​អាច​បង្កើត​បាន​ប៉ុន្មាន​ពាក្យ ដោយ​មាន​អក្សរ​មិន​លើស​ពី ៣ តួ? ចំនួនពាក្យនៃប្រវែង k ពីអក្ខរក្រម 4 អក្សរគឺ 4 * ។ សំណុំនៃពាក្យដែលមានប្រវែងខុសៗគ្នាមិនមានធាតុទូទៅទេ។ យើងអនុវត្តច្បាប់បន្ថែម។ ចម្លើយ៖ = = ចំនួនសិស្ស។ សិស្សម្នាក់ៗរៀនភាសាមួយនៅក្នុងថ្នាក់។ ជាមួយគ្នានេះ សិស្សចំនួន ២០នាក់ សិក្សាភាសាអង់គ្លេស ១២នាក់ បារាំង និង ៧នាក់ ទាំងពីរភាសា។ តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ក្នុងថ្នាក់? ប្រសិនបើយើងបូកចំនួនសិស្សដែលរៀនភាសាអង់គ្លេស និងបារាំង នោះយើងនឹងរាប់សិស្សទាំងអស់ ប៉ុន្តែអ្នកដែលរៀនពីរភាសានឹងត្រូវរាប់ពីរដង។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃការដាក់បញ្ចូល។ ចម្លើយ៖ = "យ៉ាងហោចណាស់ម្តង។" គ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រូវបានបោះពីរដងជាប់គ្នា។ តើលេខ 6 នឹងឡើងប៉ុន្មានដងយ៉ាងហោចណាស់ម្តង? យើងនឹងបែងចែកករណីទាំងអស់ជាពីរថ្នាក់៖ លេខ 6 មិនដែលធ្លាក់ទេ លេខ 6 ធ្លាក់យ៉ាងហោចណាស់ម្តង។ ថ្នាក់ទាំងនេះមិនមានធាតុរួមទេ។ សរុប ជម្រើស, i.e. ចំនួននៃលំដាប់នៃពីរខ្ទង់ដែលមានរឹម 6 ខ្ទង់គឺស្មើនឹង b 2 ជាមួយនឹងរឹម 5 ខ្ទង់ (ទាំងអស់លើកលែងតែប្រាំមួយ) គឺ 5 2. អនុវត្តច្បាប់បន្ថែម៖ b 2 \u003d x ។ ចំលើយ៖ b = 11. លេខមុខម្ហូប អ្នកចាប់ផ្តើម 5 ទីមួយ 3 ទីពីរ 4 បង្អែម 3 ចំនួននៃជម្រើសអាហារពេលល្ងាច 4 វគ្គ: = 180. ស្លាកលេខ A000AA ចំនួនលេខ៖ = ចំនួនពាក្យ ចំនួនអក្សរក្នុងអក្ខរក្រម 4 ពាក្យ ប្រវែង k ចំនួនពាក្យ 4* k = 3 => ដោយច្បាប់បន្ថែម៖ = 84 ចំនួនសិស្ស ចំនួនសិស្សក្នុងថ្នាក់៖ = 25 "យ៉ាងហោចណាស់ម្តង" ថ្នាក់ទី 1: មិនដែលរមៀល 6 ទេ។ ថ្នាក់ទី 2: រមៀលឡើង 6 យ៉ាងហោចណាស់ម្តង។ ៦៩

69 សំណួរ និងលំហាត់ 1. តើត្រូវកំណត់ចំនួនធាតុសរុបក្នុងសំណុំពីរដោយរបៀបណា ប្រសិនបើចំនួនធាតុក្នុងសំណុំនីមួយៗត្រូវបានគេដឹង ហើយធាតុមួយចំនួនអាចជារឿងធម្មតា? 2. តើច្បាប់គុណជាអ្វី? 3. មានឧទាហរណ៍ចំនួនបួននៅក្នុងកិច្ចការសាកល្បង។ មានចម្លើយចំនួន 5 សម្រាប់ឧទាហរណ៍នីមួយៗ។ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសចម្លើយចំពោះសំណួរបានប៉ុន្មានវិធី? ៤. គ្រាប់ឡុកឡាក់បោះពីរដងជាប់គ្នា។ សម្រាប់ផលបូកនៃពិន្ទុដែលអាចធ្វើបាននីមួយៗ រាប់ចំនួនជម្រើសដែលអាចធ្វើបាន។ ពិនិត្យ៖ ដោយបន្ថែមជម្រើសសម្រាប់ចំនួនដែលអាចធ្វើទៅបាន អ្នកគួរតែទទួលបានចំនួនសរុបនៃជម្រើស។ មេរៀនទី 3 ចំនួននៃគន្លង គន្លងគន្លងគឺជាសំណុំនៃជម្រើសដូចគ្នាបេះបិទ (សមមូល) ការដាក់ទីតាំង ការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពីធាតុ k ដោយធាតុ m ឧទាហរណ៍អ្នកអាចអង្គុយមនុស្ស 6 នាក់ក្នុងមួយជួរ 6! (720) វិធី; តុមូលអាចអង្គុយបាន 6 នាក់! (១២០) វិធី; ប្រសិនបើមានក្មេងប្រុស 5 នាក់និងក្មេងស្រី 5 នាក់នោះមានវិធី 5!5!2 5 ដើម្បីបង្កើតជួរឈរនៃគូក្មេងប្រុសនិងក្មេងស្រី។ តើ​ការ​គណនា​បន្សំ​ត្រូវ​គិត​ពី​បន្សំ​ដែល​ចាត់​ទុក​ថា​ដូច​គ្នា​យ៉ាង​ដូច​ម្ដេច? នៅពេលរាប់ចំនួនជម្រើស ជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវពិចារណាជម្រើសដូចគ្នា (កំណត់អត្តសញ្ញាណ) យោងទៅតាមគុណលក្ខណៈមួយចំនួន។ ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលគ្នានូវជម្រើសទាំងអស់ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាដូចគ្នានោះយើងទទួលបានសំណុំដែលត្រូវបានគេហៅថាគន្លង។ 1. តុមូល។ យើងនឹងអង្គុយ 6 នាក់ជាប់គ្នា។ អាចធ្វើបាន ៦! វិធី។ ឥឡូវតោះដាក់នៅតុមូល។ យើងនឹងពិចារណាវិធីដូចគ្នានៃការរៀបចំមនុស្ស ដែលអាចទទួលបានដោយការបង្វែរតុក្នុងរង្វង់មួយ។ ចូរយើងរៀបចំមួយហើយយើងនឹងបង្វែរតុ។ យើងនឹងទទួលបានគន្លងនៃការរៀបចំចំនួនប្រាំមួយ។ ចំនួនសរុបនៃគន្លងនឹងមាន 6 ដងតិចជាងចំនួននៃការរៀបចំទាំងអស់។ ៦! ចម្លើយ៖ = ៥! = ចំនួនគូ។ មាន​ប្រុស​៥​នាក់ ស្រី​៥​នាក់ ។ តើ​គេ​អាច​រៀបចំ​តាម​របៀប​ប៉ុន្មាន​ក្នុង​ជួរ​ដែល​មាន​គូ​ប្រុស​ស្រី? យើងនឹងពិចារណាលើជួរឈរដែលក្មេងប្រុសឈរនៅខាងឆ្វេងឬខាងស្តាំដើម្បីឱ្យដូចគ្នា។ បន្ទាប់មកចំនួនសរុបនៃវិធីអាចត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម: ការជ្រើសរើសជួរសម្រាប់ក្មេងប្រុស

70 ^V/^y ថ្នាំគ្រាប់^u^VDUICIV 5! វិធី។ ចូរយកការរៀបចំមួយជាគូ ហើយចាប់ផ្តើមផ្លាស់ប្តូរទីតាំងខាងឆ្វេង និងស្តាំជាគូ។ ពីការរៀបចំមួយយើងទទួលបាន 2 5 = 32 ផ្សេងទៀត (យើងផ្លាស់ប្តូរមុខតំណែងក្នុងគូនីមួយៗដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក) ។ ការបញ្ចូលគ្នានូវជម្រើសចូលទៅក្នុងគន្លង ហើយកត់សម្គាល់ថាចំនួនធាតុនៅក្នុងគន្លងនីមួយៗគឺដូចគ្នា ស្មើនឹង 32 យើងទទួលបានលទ្ធផល។ 1 /.\ ចំលើយ៖ (5!) V "ចំនួនបន្សំ។ តើតាមរបៀបណាខ្លះដែលសំណុំរង (មិនបានតម្រៀប!) នៃធាតុ k ត្រូវបានជ្រើសរើសពីសំណុំដែលមានធាតុ n? លំដាប់ យើងនឹងទទួលបានចម្លើយក្នុងទម្រង់ n(n - 1)... (n - k + 1) ចំនួនកន្លែងដាក់។ ផ្សំការរៀបចំទៅជាគន្លងដោយការប្តូរ (រៀបចំឡើងវិញ) មនុស្ស k ដែលបានជ្រើសរើស។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើ នៅក្នុង k\ ways. ចំនួននៃគន្លងគឺ n (n-l)-. ..-(n-ft + l) នឹងស្មើគ្នា។ យើងទទួលបានគំរូនៃធាតុដែលលំដាប់នៃធាតុមិនសំខាន់។ ពីមុន សំណុំរង ត្រូវបានគេហៅថាបន្សំ ដូច្នេះលេខលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា "ចំនួនបន្សំពី n ដល់ k" ហើយត្រូវបានតំណាង c*. notation = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\n\ "~ p ~ ml ml(n-m) ! Property CS = С""* បន្សំ 4. ចំនួន anagrams ។ យើងបានរាប់មុនចំនួននៃពាក្យ anagrams ដែលមានអក្សរផ្សេងគ្នា។ ប្រសិនបើចំនួនអក្សរនៅក្នុងពាក្យមួយស្មើនឹង n នោះលេខនេះគឺស្មើនឹងចំនួននៃការបំប្លែងនៃធាតុ n ពោលគឺចំនួន n\ ។ II f និង t ចំនួនក្រុមរង តើអាចជ្រើសរើសក្រុមរងចំនួនបីពីក្រុមប្រាំមួយបានប៉ុន្មាន? ដំបូង​យើង​នឹង​រៀបចំ​កន្លែង​ចំនួន​បី ហើយ​ដាក់​មនុស្ស​បី​នាក់​តាម​លំដាប់លំដោយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើក្នុង == 120 វិធី។ ឥឡូវនេះយើងបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងគន្លងមួយនូវការរៀបចំដែលមិនខុសគ្នានៅក្នុងសមាសភាពនៃបីដងនោះទេប៉ុន្តែខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានដាំ។ នឹងមាន 3 ក្នុងគន្លងនីមួយៗ! = 6 តារានិករ ចំលើយ៖ 20. ៣! (D ឧទាហរណ៍ ចំនួននៃបន្សំដែលបានផ្តល់ឱ្យសំណុំនៃធាតុមួយ៖ x \u003d (1, 2, 3)) វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតសំណុំរងធាតុពីរពីសំណុំនេះ។ វានឹងមានបីនៃពួកវា៖ (1, 2), ( 1, 3), (2, 3) ។ ពីធាតុនៃសំណុំរងនីមួយៗអាចបង្កើតជា 2! គន្លងនៃប្រវែង 2: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) (3, 2) ដែលជាការរៀបចំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃធាតុបី ពីរ ហើយចំនួនរបស់វាស្មើនឹង Al = 3 2 = 6 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខនេះស្មើនឹង 2! C => a A? Al \u003d ២!គ - “៣ – ២! ៧១

71 ចំនួននៃបន្សំ ដប់ពិន្ទុត្រូវបានយកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ តើ​ប៉ុន្មាន​ផ្នែក​ដែល​ត្រូវ​បាន​ទទួល​នោះ ចុង​ណា​ជា​ចំណុច​ទាំង​នេះ? c "=t=th 45 - លេខពីររបស់ញូតុន (a + b) n = a "(1 + x) n (តង្កៀប a" និងតំណាង b/a តាមរយៈការពិចារណាពីការពង្រីក binomial (1 + x) n នៅក្នុងអំណាចនៃ x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x" ។ មេគុណ ak ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត k \ យើងគុណ n តង្កៀបនៃទម្រង់ 1 + x ជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដឺក្រេ x k អ្នកត្រូវជ្រើសរើស x ពីពួកវាជា L ហើយនៅសល់ n - k 1. ចំនួនជម្រើសសម្រាប់ជ្រើសរើសវត្ថុ k ចេញពី n ដែលអាចធ្វើទៅបានគឺចំនួនបន្សំដែលយើងបានកំណត់ពី n ដល់ k ពោលគឺលេខ C*. ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងសន្មត់ថា = 1 ហើយសរសេររូបមន្ត binomial ដូចតទៅ៖ (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n ។ អក្សរដូចគ្នា។. ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកចំនួន anagrams នៃពាក្យ ABOUT។ នេះគឺជាពាក្យដែលមានប្រាំបីអក្សរ ហើយនៅក្នុងនោះអក្សរ O កើតឡើង 4 ដង K ពីរដង និងអក្សរ L និង T ម្តង។ ចូរយើងធ្វើអក្សរដូចគ្នាខុសគ្នា (ឧទាហរណ៍ សរសេរពួកវា ពុម្ពអក្សរផ្សេងគ្នា K និង K) ។ ឥឡូវនេះអក្សរទាំង 8 គឺខុសគ្នា ហើយចំនួននៃ anagrams នៃពាក្យនេះគឺ 8! ចូរយើងផ្សំពួកវាទៅជាគន្លង ដោយសម្គាល់អក្សរដូចគ្នា ប៉ុន្តែសរសេរខុសគ្នាពីអក្សរ O និង K។ ការរៀបចំឡើងវិញ អក្ខរាវិរុទ្ធផ្សេងគ្នាអក្សរ O (4!វិធី) និង K (2!វិធី) យើងទទួលបានគន្លងនៃ 4! ២! = 48 ពាក្យ។ ដើម្បីទទួលបានចំនួននៃ anagrams នៃពាក្យដើម អ្នកត្រូវការ 8! បែងចែកដោយប្រវែងនៃគន្លង។ ប្រាំបី! ចម្លើយ៖ = ! តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្កើនផលបូកនៃ monomials ទៅជាអំណាចមួយ? 1. រូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុន។ ឃ្លាថា "Newton's binomial" គឺជានិមិត្តសញ្ញានៃការលំបាក និងមិនអាចយល់បាននៃគណិតវិទ្យាជាយូរមកហើយ។ តាមពិត នៅក្នុងសំណួរអំពីរឿងសាមញ្ញមួយ៖ ប្រសិនបើអ្នកយក binomial (binomial) a + b លើកវាទៅជាថាមពល ហើយបន្ថែមពាក្យដូចនោះ អ្នកនឹងទទួលបានផលបូកនៃ monomial នៃទម្រង់ a k b l ជាមួយនឹងមេគុណមួយចំនួន។ រូបមន្តសម្រាប់គណនាមេគុណទាំងនេះត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយឈ្មោះរបស់ I. Newton ទោះបីជាវាត្រូវបានគេប្រើច្រើនមុនក៏ដោយ។ នៅពេលបង្កើន a + b ដល់អំណាចទ្វេគុណ យើងទទួលបានរូបមន្ត៖ អ្នកធ្លាប់ស្គាល់ 2, 3, 4 ។ លេខ C* ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណ binomial 2. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណ binomial 1) ករណីពិសេស វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំលេខដំបូង។ មេគុណ៖ _ ha(ha-1)(i-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72

72 ក) uu/iato h-krkz fiktiriyl ។ CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - អាច​ត្រូវ​បាន​បំប្លែង​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ស៊ីមេទ្រី​ជាង​នេះ k\ ដោយ​គុណ​ភាគ​យក​និង​ភាគបែង​ដោយ (ga - A;)!។ នៅក្នុងលេខភាគ លេខទាំងអស់ចាប់ពី 1 ដល់ហិចតានឹងត្រូវបានស្ដារឡើងវិញ។ យើងទទួលបានរូបមន្ត C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k) ។ VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + Sun) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = សម្រាប់ 2. 2 AC = av3. ចម្លើយ៖ ១) ០; 2) av3. កន្សោម​ក្នុង​តង្កៀប​ត្រូវ​តែ​គុណ​នឹង​ពាក្យ ហើយ​គិត​ថា i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = ចម្ងាយ។ ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ AG និង A2 ក្នុងលំហអាចគណនាបានដោយប្រើផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖ ។ 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2 ។ យើងសរសេរការ៉េមាត្រដ្ឋានក្នុងកូអរដោនេ៖ -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf ។ យើងទទួលបានរូបមន្ត \AxAg\ \u003d yj ( x 2 -Xxf + ( y 2 ~ Y1 f + (“2 ~ *i f ដែលធ្វើឱ្យទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរទូទៅសម្រាប់លំហ។

84 គោលគំនិតក្នុងភាសានៃកូអរដោណេ និងវ៉ិចទ័រ? នេះ​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ក្នុង​គោល​បំណង​ដើម្បី​បង្កើត​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ការ​គណនា​សម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ បញ្ហាធរណីមាត្រ. មូលដ្ឋានសម្រាប់នេះគឺជាសមីការនៃតួលេខផ្សេងៗនៅក្នុងលំហ ហើយលើសពីនេះទៀតគឺសមីការនៃយន្តហោះ និងស្វ៊ែរ (ផ្ទៃបាល់)។ 1. សមីការនៃយន្តហោះ។ យន្តហោះអាចត្រូវបានកំណត់ដោយចំណុចមួយដែលមាននៅក្នុងវា i^oc-^o? ជ/អូ! 2 o) និងវ៉ិចទ័រ n កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះ (វាត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះ)។ ចាំបាច់ និង លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ថាចំនុច P(x; y; d) ជារបស់យន្តហោះមានដូចខាងក្រោម៖ [op-op0) 1 n ឬក្នុងទម្រង់ - * សមភាព PP0 n = 0. ដោយបានផ្ដល់កូអរដោនេនៃ p(a; B ធម្មតា) ; C) យើងទទួលបានប្លង់សមីការក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល៖ A (x − x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. ការបើកតង្កៀប និងបង្ហាញលេខ (Ax0 + + Vy0 + Cz0) តាមរយៈ D យើងទទួលបាន សមីការស្តង់ដារ plane in the form Ax + By + Cz + D = = 0. វាគឺជា analogue នៃសមីការដែលគេស្គាល់ច្បាស់នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះមួយ។ ចំណាំថា វ៉ិចទ័រធម្មតា n មិនត្រូវបានកំណត់តែមួយទេ វាអាចត្រូវបានគុណដោយលេខណាមួយ។ 2. សមីការនៃស្វ៊ែរមួយ។ ចំនុច P(x; y; r) ស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរដែលមានចំណុចកណ្តាល C(a; b; c) និងកាំ R ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ \PC\ 2 = R 2 ពេញចិត្ត។ លក្ខខណ្ឌនេះអាចសរសេរឡើងវិញបានយ៉ាងងាយស្រួលក្នុងកូអរដោនេ៖ (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R ២. សមីការនេះ។ធ្វើឱ្យសមីការរង្វង់នៅក្នុងយន្តហោះទូទៅ។ ផលិតផលក្នុងសំរបសំរួល a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 សមីការនៃយន្តហោះ PP01p 1 "Ax + By + Cz + D \u003d 0 ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះក្រោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖ ទំ (1; 2; 3), P0 (1; 0; 0) ។ ដំណោះស្រាយ៖ PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. សមីការនៃយន្តហោះមានទម្រង់៖ x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. សមីការនៃស្វ៊ែរ ^ សំណួរ និងលំហាត់ 1. តើផលគុណមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច? 2. តើផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានគណនាដោយរបៀបណា? 3. តើអ្វីជាលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃផលិតផល scalar? ៨៥