ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა ამოხსნათ მათემატიკური ამოცანები, თუ არ იცით საიდან დაიწყოთ.

ხშირად, პრობლემების გადაჭრისას, სკოლის მოსწავლეები „ჩადიან სისულელეში“ - თავში ნისლი უჩნდება, ფიქრები სადღაც გაიფანტა და თითქოს მათი შეგროვება უკვე შეუძლებელია.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი მინდა ღია ბანკიამოცანები იმის საჩვენებლად რომელი მარტივი ნაბიჯებიუნდა გააკეთოთ, რათა შეაგროვოთ თქვენი აზრები და როგორ მოაგვაროთ პრობლემები სწორად.

როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები. დავალება B13 (No. 26582)

ველოსიპედისტი წავიდა მუდმივი სიჩქარე A ქალაქიდან B ქალაქამდე, მათ შორის მანძილი 98 კმ. მეორე დღეს ის უკან დაბრუნდა 7 კმ/სთ-ით მეტი სიჩქარით, ვიდრე ადრე. გზად მან 7 საათი გააჩერა. შედეგად მან იმდენი დრო გაატარა უკან გზაზე, რამდენიც A-დან B-მდე გზაზე. იპოვეთ ველოსიპედისტის სიჩქარე A-დან B-მდე. პასუხი მიეცით კმ/სთ-ში.

1. ყურადღებით წაიკითხეთ პრობლემა. ალბათ რამდენჯერმე.

2. ჩვენ განვსაზღვრავთ რა პროცესს ეხება პრობლემა და რა ფორმულები აღწერს ამ პროცესს. ჩვენ ვწერთ ამ ფორმულებს. AT ამ საქმესეს არის მოძრაობის ამოცანა და ფორმულა, რომელიც აღწერს ამ პროცესს, არის S=vt.

3. ჩვენ ვწერთ თითოეული ცვლადის განზომილებას, რომელიც არის განტოლების ნაწილი:

• S - მანძილი - კმ
• v - სიჩქარე - კმ/სთ
• t - დრო - სთ

განზომილების ცოდნა დაგვეხმარება მიღებული ფორმულების შემოწმებაში.

4. ჩვენ ვწერთ ყველა რიცხვს, რომელიც გვხვდება ამოცანის მდგომარეობაში, ვწერთ რას ნიშნავს და მათ განზომილებას:

98 კმ - მანძილი ქალაქებს შორის,

7 კმ/სთ - იმდენი, რამდენიც ველოსიპედისტის სიჩქარე გზა უკანსიჩქარეზე მეტი A ქალაქიდან B ქალაქამდე გზაზე,

7 საათი - დრო, როდესაც ველოსიპედისტი გაჩერდა (ამჯერად ის არ ატარებდა)

5. კიდევ ერთხელ წაიკითხეთ პრობლემური კითხვა.

6. ჩვენ ვწყვეტთ რა მნიშვნელობას მივიღებთ უცნობისთვის. მოსახერხებელია უცნობისთვის ავიღოთ ის მნიშვნელობა, რომელიც პრობლემაში უნდა იყოს ცნობილი. ამ შემთხვევაში, ეს არის ველოსიპედისტის სიჩქარე A-დან B-მდე გზაზე.

ასე რომ: A-დან B-მდე ველოსიპედისტის სიჩქარე იყოს x. მაშინ, რადგან უკანა გზაზე ველოსიპედისტის სიჩქარე 7 კმ/სთ-ით მეტია A ქალაქიდან B ქალაქამდე მიმავალ სიჩქარეზე, მაშინ ის უდრის x+7-ს.

7. ვაკეთებთ განტოლებას. ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთ მოძრაობის განტოლების მესამე მნიშვნელობას (დრო) პირველი ორიდან. შემდეგ:

• დრო, რომელიც დასჭირდა ველოსიპედისტს A-დან B-მდე მგზავრობისთვის არის 98/x,

• და გზაზე B-დან A-მდე - 98 / (x + 7) + 7 - გახსოვდეთ, რომ უკანა გზაზე ველოსიპედისტმა გაჩერება 7 საათის განმავლობაში, ანუ მისი მოგზაურობის დრო არის მგზავრობის დროისა და პარკირების ჯამი. დრო.

განტოლება არის დროისთვის. პრობლემის პირობით კიდევ ერთხელ ვკითხულობთ, რომ ის ამბობს დროსზე: შედეგად, მან იმდენი დრო გაატარა უკან დაბრუნების გზაზე, რამდენიც A-დან B-მდე გზაზე. ანუ დრო "იქ" უდრის. დრო "უკან". ჩვენ ვატოლებთ დროს "იქ" და დროს "უკან" მივიღებთ განტოლებას:

98/x=98/(x+7)+7.

კიდევ ერთხელ ვამოწმებთ იმ რაოდენობების ზომებს, რომლებიც შედის განტოლებაში - თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ, მაგალითად, საათებს არ დაუმატოთ კილომეტრები.

8. ვხსნით განტოლებას. ახლა ჩვენ უნდა გავამახვილოთ ყურადღება განტოლების ამოხსნაზე. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ რა ტიპის არის ეს განტოლება. ვინაიდან უცნობი არის წილადების მნიშვნელში, ეს არის რაციონალური განტოლება. მის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა ტერმინი მარცხნივ და მიიტანოთ წილადები საერთო მნიშვნელი. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 98 და 7 არის 7-ის ჯერადი.

ამოხსნის გასამარტივებლად განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ 7-ზე. ვიღებთ განტოლებას: 14/x=14/(x+7)+1

ამის შემდეგ ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხნივ, ვამცირებთ საერთო მნიშვნელს და ვატოლებთ მრიცხველს ნულამდე.

მრიცხველში ვიღებთ: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 ტერმინების მსგავსადდა ამოხსენით კვადრატული განტოლება.

მისი ფესვებია -14 და 7.

რიცხვი -14 არ შეესაბამება პრობლემის მდგომარეობას: სიჩქარე უნდა იყოს დადებითი.

კიდევ ერთხელ ვკითხულობთ პრობლემის კითხვას და ვაკავშირებთ მას იმ მნიშვნელობასთან, რომელიც აღმოვაჩინეთ: უცნობისთვის ჩვენ ავიღეთ ველოსიპედისტის სიჩქარე A-დან B-მდე გზაზე და უნდა ვიპოვოთ იგივე მნიშვნელობა.

პასუხი: 7 კმ/სთ.

როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები. შედეგი

გაითვალისწინეთ, რომ პრობლემის გადაჭრის მთელი გზა დავყავით წვრილმანებად და თითოეულ განყოფილებაში ზუსტად აზროვნებაზე გავამახვილეთ ყურადღება. კონკრეტული მოქმედება. და მხოლოდ მას შემდეგ, რაც ეს ქმედება განხორციელდა, გადადგა შემდეგი ნაბიჯი.

როდესაც გაურკვეველია რა უნდა გააკეთოთ, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ რომელი პატარა ნაბიჯიშეგიძლიათ ამის გაკეთება ახლავე, გააკეთეთ ეს და შემდეგ იფიქრეთ შემდეგზე.

ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ ტიპიური ლოგიკური ამოცანები, მარტივი და არასტანდარტული მათემატიკის ამოცანები, მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ მათი გადაჭრის ძირითადი ტექნიკა და მეთოდები. ყოველივე ამის შემდეგ, ხშირ შემთხვევაში შესაძლებელია ერთი და იგივე პრობლემის გადაჭრა და სწორ პასუხამდე სხვადასხვა გზით მისვლა.

გადაწყვეტის სხვადასხვა მეთოდების ცოდნა და გაგება დაგეხმარებათ განსაზღვროთ რომელი მეთოდია საუკეთესო თითოეული შემთხვევისთვის, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ პასუხის მისაღებად ყველაზე სწრაფი და მარტივი გზა.

„კლასიკური“ ლოგიკური ამოცანები მოიცავს ტექსტურ ამოცანებს, რომელთა მიზანია ობიექტების ამოცნობა ან მათი გარკვეული თანმიმდევრობით დალაგება მოცემული პირობების შესაბამისად.

დავალებების უფრო რთული და საინტერესო ტიპები არის დავალებები, რომლებშიც გარკვეული განცხადებები მართალია და სხვები მცდარი. გადაადგილების, გადანაცვლების, აწონვის, ჩამოსხმის ამოცანები ყველაზე მეტია ნათელი მაგალითებიფართო არჩევანი არასტანდარტული დავალებებილოგიკისკენ.

ლოგიკური პრობლემების გადაჭრის ძირითადი მეთოდები

• მსჯელობის მეთოდი;
• სიმართლის ცხრილების გამოყენება;
• ბლოკ-სქემის მეთოდი;
• ლოგიკური ალგებრას საშუალებები (პროპოზიციური ალგებრა);
• გრაფიკული (მათ შორის "ხე ლოგიკური პირობები”, ეილერის წრის მეთოდი);
• მათემატიკური ბილიარდის მეთოდი.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ სამი პოპულარული ხერხის მაგალითებს ლოგიკური პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც ჩვენ გირჩევთ გამოიყენოთ დაწყებით სკოლაში (6-12 წლის ბავშვები):

• თანმიმდევრული მსჯელობის მეთოდი;
• მსჯელობის ერთგვარი მეთოდი – „ბოლოდან“;
• ცხრილის გზა.

თანმიმდევრული მსჯელობის მეთოდი

მარტივი ამოცანების გადაჭრის უმარტივესი გზა არის ყველა ცნობილი პირობის გამოყენებით თანმიმდევრული მსჯელობა. დასკვნები განცხადებებიდან, რომლებიც პრობლემის პირობაა, თანდათან მივყავართ დასმულ კითხვაზე პასუხამდე.

მაგიდაზე არიან ლურჯი , მწვანე , ყავისფერიდა ნარინჯისფერი

მესამე არის ფანქარი, რომელსაც აქვს ყველაზე მეტი ასო მის სახელში. ლურჯიფანქარი დევს შორის ყავისფერიდა ფორთოხალი .

დაალაგეთ ფანქრები აღწერილი თანმიმდევრობით.

გადაწყვეტილება:

ჩვენ ვკამათობთ. ჩვენ მუდმივად ვიყენებთ პრობლემის პირობებს, რათა ჩამოვაყალიბოთ დასკვნები იმ პოზიციის შესახებ, რომელზედაც უნდა დევდეს ყოველი შემდეგი ფანქარი.

• ასოების უმეტესობა სიტყვაში "ყავისფერი", ამიტომ ის მესამე ადგილზეა.
• ცნობილია, რომ ლურჯი ფანქარი ყავისფერსა და ნარინჯისფერს შორის დევს. ყავისფერიდან მარჯვნივ არის მხოლოდ ერთი პოზიცია, რაც ნიშნავს, რომ შესაძლებელია ლურჯის განთავსება ყავისფერს შორის, ხოლო მეორე ფანქარი მხოლოდ ყავისფერიდან მარცხნივ.
• შემდეგი დასკვნა ეფუძნება წინას: ლურჯი ფანქარი მეორე პოზიციაზეა, ნარინჯისფერი კი პირველზე.
• დარჩენილი მწვანე ფანქრისთვის ბოლო პოზიცია- მეოთხეა.

დასრულების მეთოდი

გადაჭრის ეს გზა ერთგვარი მსჯელობის მეთოდია და შესანიშნავია იმ პრობლემებისთვის, რომლებშიც ვიცით გარკვეული მოქმედებების შედეგი და საკითხავია ორიგინალური სურათის აღდგენა.

ბებიამ სამ შვილიშვილს ბაგელები გამოაცხო და მაგიდაზე დატოვა. კოლია გაიქცა ჯერ საჭმელად. ყველა ბაგელი დავთვალე, ჩემი წილი ავიღე და გავიქეცი.
ანა მოგვიანებით შემოვიდა სახლში. მან არ იცოდა, რომ კოლიამ უკვე აიღო ბაგელები, დათვალა და, სამად გაყო, თავისი წილი აიღო.
მესამე მოვიდა გენა, მანაც დანარჩენი ცომი სამად გაყო და თავისი წილი აიღო.
მაგიდაზე 8 ბაგელი დარჩა.

დარჩენილი რვა ბაგელიდან რამდენი უნდა ჭამოს თითოეულმა, რომ ყველამ თანაბრად ჭამოს?

გადაწყვეტილება:

დავიწყოთ დისკუსია ბოლოდან.
გენამ ანას და კოლიას 8 ბაგელი დაუტოვა (თითოეულში 4). გამოდის, რომ მან თავად შეჭამა 4 ბაგელი: 8 + 4 = 12.
ანამ ძმებს 12 ბაგელი დაუტოვა (თითოეული 6). ასე რომ, მან თავად შეჭამა 6 ცალი: 12 + 6 = 18.
კოლიამ ბიჭებს 18 ბაგელი დაუტოვა. ასე რომ, მან თავად შეჭამა 9: 18 + 9 = 27.

ბებიამ მაგიდაზე 27 ბაგელი დადო, იმ იმედით, რომ ყველას 9 ცალი მიიღებდა. ვინაიდან კოლიამ თავისი წილი უკვე შეჭამა, ანამ 3 უნდა შეჭამოს, გენამ კი 5 ბაგელი.

ლოგიკური ამოცანების გადაჭრა სიმართლის ცხრილების გამოყენებით

მეთოდის არსი არის პრობლემის პირობების და მსჯელობის შედეგების დაფიქსირება პრობლემისთვის სპეციალურად შედგენილ ცხრილებში. იმის მიხედვით, არის თუ არა განცხადება ჭეშმარიტი თუ მცდარი, ცხრილის შესაბამისი უჯრები ივსება ნიშნებით „+“ და „-“ ან „1“ და „0“.

სამი სპორტსმენი ( წითელი , ლურჯიდა მწვანე) ითამაშა კალათბურთი.
როდესაც ბურთი კალათში იყო, წითელმა წამოიძახა: "ბურთი ლურჯმა გაიტანა".
ბლუმ გააპროტესტა: "გრინმა ბურთი გაიტანა".
ზელენიმ თქვა: "მე არ გავიტანე გოლი".

ვინ გაიტანა ბურთი, თუ სამიდან მხოლოდ ერთმა თქვა ტყუილი?

გადაწყვეტილება:

პირველ რიგში, შედგენილია ცხრილი: მარცხნივ, ისინი წერენ ყველა განცხადებას, რომელიც შეიცავს მდგომარეობას, ხოლო ზემოდან - შესაძლო ვარიანტებიპასუხი.

შემდეგ ცხრილი ივსება თანმიმდევრობით: ჭეშმარიტი განცხადებებიმონიშნეთ „+“ ნიშნით, ხოლო მცდარი განცხადებები „-“ ნიშნით.

განვიხილოთ პასუხის პირველი ვარიანტი („ბურთი დააგდეს წითელი"), გააანალიზეთ მარცხნივ დაწერილი განცხადებები და შეავსეთ პირველისვეტი.
ჩვენი ვარაუდიდან გამომდინარე („ბურთი დააგდეს წითელი"), განცხადება "ბურთი ლურჯმა ესროლა" ტყუილია. ჩვენ ჩავსვით საკანში "-".
ტყუილია განცხადება „ბურთმა მწვანედ გაიტანა“. უჯრედს ვავსებთ ნიშნით "-".
მწვანე განცხადება "მე არ გავიტანე" მართალია. ჩვენ ჩავსვით უჯრედში "+".

განვიხილოთ მეორე პასუხი (ვვარაუდობთ, რომ ბურთი მწვანედ დააგდეს)და შეავსეთ მეორესვეტი.
განცხადება „ლურჯმა ბურთი გადააგდო“ ტყუილია. ჩვენ ჩავსვით საკანში "-".
განცხადება "ბურთი გაიტანა მწვანე « - სიმართლე. შეავსეთ უჯრედი "+" ნიშნით.
მწვანე განცხადება "მე არ გავიტანე" ტყუილია. ჩვენ ჩავსვით საკანში "-".

და ბოლოს, მესამე ვარიანტი: დავუშვათ, რომ „ბურთი ისვრის ლურჯი«.
შემდეგ განცხადება "ბურთი დააგდეს ლურჯი « - სიმართლე. ჩვენ ჩავსვით უჯრედში "+".
განცხადება "ბურთმა მწვანედ გაიტანა" სიცრუეა. უჯრედს ვავსებთ ნიშნით "-". მწვანე განცხადება "მე არ გავიტანე" მართალია. ჩვენ ჩავსვით უჯრედში "+".

ვინაიდან, პირობის მიხედვით, სამი ბიჭიდან მხოლოდ ერთმა თქვა ტყუილი, შევსებულ ცხრილში ვირჩევთ პასუხის ისეთ ვარიანტს, სადაც იქნება მხოლოდ ერთიმცდარი განცხადება (სვეტაში ერთი ნიშანი "-"). მესამე სვეტი შეესაბამება.

ასე რომ, სწორი პასუხია ის, რომ ბურთი ლურჯმა ესროლა.

დიაგრამის მეთოდი

განიხილება დიაგრამის მეთოდი საუკეთესო ვარიანტისითხეების აწონვისა და ჩამოსხმის პრობლემების გადასაჭრელად. ალტერნატიული გზაამ ტიპის პრობლემის გადაჭრა - ვარიანტების ჩამოთვლის მეთოდი - ყოველთვის არ არის ოპტიმალური და საკმაოდ რთულია მას სისტემური ვუწოდოთ.

ნაკადის მეთოდის გამოყენებით პრობლემების გადაჭრის პროცედურა შემდეგია:

• გრაფიკულად (flowchart) აღწერს მოქმედებების თანმიმდევრობას;
• განსაზღვრავს მათი განხორციელების თანმიმდევრობას;
• ცხრილში ვაფიქსირებთ მიმდინარე მდგომარეობებს.

ამ და სხვა გზების შესახებ ლოგიკური პრობლემების გადაჭრის მაგალითებით და ამოხსნის აღწერილობით, ჩვენ ვამბობთ სრული კურსი LogicLike ლოგიკური აზროვნების განვითარებაზე.

გამოიცანით ყველაზე შეგროვებული განსაკუთრებით ჩვენი ბლოგის რეგულარული მკითხველებისთვის და LogicLike-ის სტუდენტებისთვის, გადაჭრით ლოგიკური პრობლემები ონლაინ ათასობით ბავშვსა და ზრდასრულთან ერთად!

საშუალო ზოგადი განათლება

UMK ხაზიგ.კ მურავინა. ალგებრა და დასაწყისი მათემატიკური ანალიზი(10-11) (ღრმა)

ხაზი UMK Merzlyak. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი (10-11) (U)

მათემატიკა

მათემატიკაში გამოცდისთვის მომზადება (პროფილის დონე): ამოცანები, ამონახსნები და ახსნა

მასწავლებელთან ერთად ვაანალიზებთ დავალებებს და ვხსნით მაგალითებს

საგამოცდო ფურცელი პროფილის დონეგრძელდება 3 საათი 55 წუთი (235 წუთი).

მინიმალური ბარიერი- 27 ქულა.

საგამოცდო ნაშრომი შედგება ორი ნაწილისაგან, რომლებიც განსხვავდება შინაარსით, სირთულით და ამოცანების რაოდენობით.

სამუშაოს თითოეული ნაწილის განმსაზღვრელი თვისებაა დავალებების ფორმა:

• ნაწილი 1 შეიცავს 8 დავალებას (დავალებები 1-8) მოკლე პასუხით მთელი რიცხვის ან საბოლოო ათობითი წილადის სახით;
• ნაწილი 2 შეიცავს 4 დავალებას (დავალებები 9-12) მოკლე პასუხით მთელი რიცხვის ან საბოლოო ათობითი წილადის სახით და 7 დავალებას (დავალებები 13-19) დეტალური პასუხით (გადაწყვეტილების სრული ჩანაწერი დასაბუთებით. შესრულებული მოქმედებები).

პანოვა სვეტლანა ანატოლიევნა, მათემატიკის მასწავლებელი უმაღლესი კატეგორიასკოლები, 20 წლიანი სამუშაო გამოცდილება:

„სკოლის ატესტატის მისაღებად კურსდამთავრებულმა უნდა გაიაროს ორი სავალდებულო გამოცდა in გამოიყენეთ ფორმა, რომელთაგან ერთ-ერთია მათემატიკა. განვითარების კონცეფციის შესაბამისად მათემატიკური განათლება in რუსეთის ფედერაციამათემატიკაში USE იყოფა ორ დონედ: საბაზო და სპეციალიზებულ. დღეს განვიხილავთ პროფილის დონის ვარიანტებს.

დავალება ნომერი 1- ამოწმებს მონაწილეებს გამოყენების უნარიგამოიყენონ 5-9 კლასში შეძენილი უნარები დაწყებით მათემატიკაში, ქ პრაქტიკული აქტივობები. მონაწილეს უნდა ჰქონდეს გამოთვლითი უნარები, შეეძლოს რაციონალურ რიცხვებთან მუშაობა, შეეძლოს დამრგვალება ათწილადებიშეეძლოს ერთი საზომი ერთეულის მეორეზე გადაყვანა.

მაგალითი 1ბინაში, სადაც პეტრი ცხოვრობს, დამონტაჟდა ხარჯების მრიცხველი ცივი წყალი(მრიცხველი). პირველ მაისს მრიცხველმა 172 კუბური მეტრი მოხმარება აჩვენა. მ წყალი, ხოლო პირველ ივნისს - 177 კუბური მეტრი. მ რა თანხა უნდა გადაიხადოს პეტრემ მაისის ცივ წყალში, თუ ფასი 1 კუბ. მ ცივი წყალი 34 რუბლი 17 კაპიკია? გაეცით პასუხი რუბლებში.

გადაწყვეტილება:

1) იპოვეთ თვეში დახარჯული წყლის რაოდენობა:

177 - 172 = 5 (კუ მ)

2) იპოვეთ რა თანხას გადაიხდიან დახარჯულ წყალში:

34.17 5 = 170.85 (რუბლი)

პასუხი: 170,85.

დავალება ნომერი 2- გამოცდის ერთ-ერთი უმარტივესი ამოცანაა. კურსდამთავრებულთა უმრავლესობა წარმატებით უმკლავდება მას, რაც მიუთითებს ფუნქციის ცნების განმარტების ფლობაზე. დავალების ტიპი No2 მოთხოვნების კოდიფიკატორის მიხედვით არის დავალება შეძენილი ცოდნისა და უნარების პრაქტიკულ საქმიანობაში გამოყენებისა და. Ყოველდღიური ცხოვრების. დავალება ნომერი 2 შედგება აღწერისგან სხვადასხვა ფუნქციების გამოყენებით რეალური დამოკიდებულებებირაოდენობებსა და მათი გრაფიკების ინტერპრეტაციას შორის. დავალება ნომერი 2 ამოწმებს ცხრილებში, დიაგრამებში, გრაფიკებში წარმოდგენილი ინფორმაციის ამოღების უნარს. კურსდამთავრებულებს უნდა შეეძლოთ ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრა არგუმენტის მნიშვნელობით, როდესაც სხვადასხვა გზებიფუნქციის განსაზღვრა და ფუნქციის ქცევისა და თვისებების აღწერა მისი გრაფიკის მიხედვით. ასევე აუცილებელია მაქსიმუმის პოვნა ან უმცირესი ღირებულებადა ააგეთ შესწავლილი ფუნქციების გრაფიკები. დაშვებული შეცდომები შემთხვევითი ხასიათისაა პრობლემის პირობების, დიაგრამის წაკითხვისას.

#ADVERTISING_INSERT#

მაგალითი 2ფიგურაში ნაჩვენებია მაინინგის კომპანიის ერთი აქციის გაცვლითი ღირებულების ცვლილება 2017 წლის აპრილის პირველ ნახევარში. 7 აპრილს ბიზნესმენმა ამ კომპანიის 1000 აქცია შეიძინა. 10 აპრილს მან გაყიდა შეძენილი აქციების სამი მეოთხედი, 13 აპრილს კი - ყველა დარჩენილი. რამდენი დაკარგა ბიზნესმენმა ამ ოპერაციების შედეგად?

გადაწყვეტილება:

2) 1000 3/4 = 750 (წილები) - შეადგენს ყველა შეძენილი აქციის 3/4-ს.

6) 247500 + 77500 = 325000 (რუბლი) - ბიზნესმენმა მიიღო 1000 აქციის გაყიდვის შემდეგ.

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (რუბლი) - ბიზნესმენი დაკარგა ყველა ოპერაციის შედეგად.

პასუხი: 15000.

დავალება ნომერი 3- ამოცანაა საბაზო დონეპირველი ნაწილი, ამოწმებს ქმედებების შესრულების უნარს გეომეტრიული ფორმებიკურსის „პლანიმეტრია“ შინაარსზე. ამოცანა 3, ფიგურის ფართობის გამოთვლის შესაძლებლობა. ჩექმიანი ქაღალდი, გამოთვლის უნარი ხარისხის ზომებიკუთხეები, გამოთვალეთ პერიმეტრები და ა.შ.

მაგალითი 3იპოვეთ კვადრატულ ქაღალდზე დახატული მართკუთხედის ფართობი, რომლის უჯრედის ზომაა 1 სმ-ზე 1 სმ (იხ. სურათი). მიეცით პასუხი კვადრატულ სანტიმეტრებში.

გადაწყვეტილება:ამ ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ Peak ფორმულა:

ფართობის გამოსათვლელად მოცემული მართკუთხედიმოდით გამოვიყენოთ Pick-ის ფორმულა:

ს= B +	გ
	2

სადაც V = 10, G = 6, შესაბამისად

ს = 18 +	6
	2

პასუხი: 20.

იხილეთ აგრეთვე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა ფიზიკაში: ვიბრაციის ამოცანების ამოხსნა

დავალება ნომერი 4– კურსის „ალბათობის თეორია და სტატისტიკა“ ამოცანა. შემოწმებულია უმარტივეს სიტუაციაში მოვლენის ალბათობის გამოთვლის უნარი.

მაგალითი 4წრეზე არის 5 წითელი და 1 ლურჯი წერტილი. დაადგინეთ, რომელი მრავალკუთხედი უფრო დიდია: ყველა წითელი წვეროსანი თუ ლურჯი წვეროს ერთ-ერთი. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რამდენი მეტია ერთიდან მეორეზე.

გადაწყვეტილება: 1) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კომბინაციების რაოდენობისთვის ნელემენტების მიერ კ:

რომლის ყველა წვერო წითელია.

3) ერთი ხუთკუთხედი ყველა წითელი წვერით.

4) 10 + 5 + 1 = 16 პოლიგონი ყველა წითელი წვერით.

რომლის წვეროები წითელია ან ერთი ლურჯი წვერით.

რომლის წვეროები წითელია ან ერთი ლურჯი წვერით.

8) ერთი ექვსკუთხედი, რომლის წვეროები წითელია ერთი ლურჯი წვერით.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 მრავალკუთხედი, რომლებსაც აქვთ ყველა წითელი წვერო ან ერთი ლურჯი წვერო.

10) 42 - 16 = 26 პოლიგონი, რომელიც იყენებს ლურჯ წერტილს.

11) 26 - 16 = 10 მრავალკუთხედი - რამდენი მრავალკუთხედი, რომლებშიც ერთ-ერთი წვერო არის ლურჯი წერტილი, მეტია მრავალკუთხედზე, რომელშიც ყველა წვერო მხოლოდ წითელია.

პასუხი: 10.

დავალება ნომერი 5- პირველი ნაწილის საბაზისო დონე ამოწმებს უმარტივესი განტოლებების ამოხსნის უნარს (ირაციონალური, ექსპონენციალური, ტრიგონომეტრიული, ლოგარითმული).

მაგალითი 5ამოხსენით განტოლება 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

გადაწყვეტილება.გაყავით ამ განტოლების ორივე მხარე 5 3 +-ზე X≠ 0, მივიღებთ

2 3 + x	= 0.4 ან		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

აქედან გამომდინარეობს, რომ 3 + x = 1, x = –2.

პასუხი: –2.

დავალება ნომერი 6პლანიმეტრიით იპოვონ გეომეტრიული სიდიდეები(სიგრძეები, კუთხეები, ფართობები), მოდელირება რეალური სიტუაციებიგეომეტრიის ენაზე. ჩაშენებული მოდელების შესწავლა გამოყენებით გეომეტრიული ცნებებიდა თეორემები. სირთულეების წყარო ჩვეულებრივ უცოდინრობაა ან არასწორი გამოყენებაპლანიმეტრიის აუცილებელი თეორემები.

სამკუთხედის ფართობი ABCუდრის 129-ს. DE- შუა ხაზი, გვერდი პარალელურად AB. იპოვეთ ტრაპეციის ფართობი ABED.

გადაწყვეტილება.სამკუთხედი CDEსამკუთხედის მსგავსი ᲢᲐᲥᲡᲘორ კუთხეში, რადგან კუთხე წვეროზე Cზოგადი, კუთხე CDE კუთხის ტოლი ᲢᲐᲥᲡᲘროგორც შესაბამისი კუთხეებიზე DE || ABსეკანტი AC. როგორც DEარის სამკუთხედის შუა ხაზი პირობით, შემდეგ თვისებით შუა ხაზი | DE = (1/2)AB. ასე რომ, მსგავსების კოეფიციენტი არის 0.5. კვადრატები მსგავსი ფიგურებიდაკავშირებულია როგორც მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატი, ისე

აქედან გამომდინარე, S ABED = ს Δ ABC – ს Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

დავალება ნომერი 7- ამოწმებს წარმოებულის გამოყენებას ფუნქციის შესასწავლად. ამისთვის წარმატებული განხორციელებააუცილებელია წარმოებულის ცნების მნიშვნელოვანი, არაფორმალური ფლობა.

მაგალითი 7ფუნქციის გრაფიკამდე წ = ვ(x) აბსცისის წერტილში x 0 შედგენილია ტანგენსი, რომელიც პერპენდიკულარულია ამ გრაფიკის (4; 3) და (3; -1) წერტილებზე გამავალ სწორ ხაზზე. იპოვე ვ′( x 0).

გადაწყვეტილება. 1) ვიყენებთ ორზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას მოცემული ქულებიდა იპოვეთ (4; 3) და (3; -1) წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

(წ – წ 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(წ 2 – წ 1)

(წ – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(წ – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–წ + 3 = –4x+ 16| · (-ერთი)

წ – 3 = 4x – 16

წ = 4x- 13, სადაც კ 1 = 4.

2) იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა კ 2, რომელიც არის წრფის პერპენდიკულარული წ = 4x- 13, სადაც კ 1 = 4, ფორმულის მიხედვით:

3) ფერდობზეტანგენსი - ფუნქციის წარმოებული შეხების წერტილში. ნიშნავს, ვ′( x 0) = კ 2 = –0,25.

პასუხი: –0,25.

დავალება ნომერი 8- ამოწმებს გამოცდის მონაწილეთა შორის ელემენტარული სტერეომეტრიის ცოდნას, ფორმულების გამოყენების უნარს ზედაპირის ფართობისა და ფიგურების მოცულობის საპოვნელად; დიჰედრული კუთხეები, შეადარეთ მსგავსი ფიგურების მოცულობები, შეეძლოს მოქმედებების შესრულება გეომეტრიული ფორმებით, კოორდინატებით და ვექტორებით და ა.შ.

სფეროს გარშემო შემოხაზული კუბის მოცულობა არის 216. იპოვეთ სფეროს რადიუსი.

გადაწყვეტილება. 1) ვკუბი = ა 3 (სად აარის კუბის კიდის სიგრძე), ასე

ა 3 = 216

ა = 3 √216

2) ვინაიდან სფერო ჩაწერილია კუბში, ეს ნიშნავს, რომ სფეროს დიამეტრის სიგრძე უდრის კუბის კიდის სიგრძეს, შესაბამისად დ = ა, დ = 6, დ = 2რ, რ = 6: 2 = 3.

დავალება ნომერი 9- მოითხოვს კურსდამთავრებულს გარდაქმნას და გამარტივებას ალგებრული გამონათქვამები. დავალება ნომერი 9 მოწინავე დონესირთულე მოკლე პასუხებით. ამოცანები განყოფილებიდან "გამოთვლები და გარდაქმნები" USE იყოფა რამდენიმე ტიპად:

რიცხვითი კონვერტაციები რაციონალური გამონათქვამები;

ალგებრული გამონათქვამებისა და წილადების გარდაქმნები;

რიცხვითი/ანბანური გარდაქმნები ირაციონალური გამონათქვამები;

მოქმედებები გრადუსით;

ტრანსფორმაცია ლოგარითმული გამონათქვამები;

1. რიცხვითი/ასო ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების კონვერტაცია.

მაგალითი 9გამოთვალეთ tgα, თუ ცნობილია, რომ cos2α = 0.6 და

3π	< α < π.
4

გადაწყვეტილება. 1) გამოვიყენოთ ფორმულა ორმაგი არგუმენტი: cos2α = 2 cos 2 α – 1 და იპოვე

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

აქედან გამომდინარე, tan 2 α = ± 0.5.

3) პირობით

3π	< α < π,
4

აქედან გამომდინარე α არის მეორე მეოთხედის და tgα კუთხე< 0, поэтому tgα = –0,5.

პასუხი: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# დავალება ნომერი 10- ამოწმებს მოსწავლეთა შეძენილის გამოყენების უნარს ადრეული ცოდნადა პრაქტიკული საქმიანობისა და ყოველდღიური ცხოვრების უნარები. შეიძლება ითქვას, რომ ეს არის ფიზიკის პრობლემები და არა მათემატიკაში, არამედ ყველა საჭირო ფორმულებიდა მნიშვნელობები მოცემულია მდგომარეობაში. ამოცანები მცირდება წრფივი ან კვადრატული განტოლებახაზოვანი ან კვადრატული უთანასწორობა. ამიტომ აუცილებელია ასეთი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა და პასუხის დადგენა. პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვის ან საბოლოო ათობითი წილადის სახით.

ორი მასის სხეული მ= 2 კგ თითო, მოძრაობს იგივე სიჩქარით ვ= 10 მ/წმ ერთმანეთის მიმართ 2α კუთხით. მათი აბსოლუტურად არაელასტიური შეჯახების დროს გამოთავისუფლებული ენერგია (ჯოულებში) განისაზღვრება გამოხატულებით ქ = მვ 2 ცოდვა 2 α. რა უმცირესი კუთხით 2α (გრადულებში) უნდა მოძრაობდნენ სხეულები ისე, რომ შეჯახების შედეგად გამოთავისუფლდეს მინიმუმ 50 ჯოული?
გადაწყვეტილება.ამოცანის ამოსახსნელად საჭიროა გადავჭრათ უტოლობა Q ≥ 50, 2α ∈ (0°; 180°) ინტერვალზე.

მვ 2 ცოდვა 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

ვინაიდან α ∈ (0°; 90°), ჩვენ მხოლოდ ამოვხსნით

უტოლობის ამოხსნას გრაფიკულად წარმოვადგენთ:

ვინაიდან α ∈ (0°; 90°) ვარაუდით, ეს ნიშნავს, რომ 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

დავალება ნომერი 11- დამახასიათებელია, მაგრამ სტუდენტებისთვის რთული გამოდის. სირთულეების ძირითადი წყაროა მათემატიკური მოდელის აგება (განტოლების შედგენა). დავალება 11 ამოწმებს სიტყვით ამოცანების ამოხსნის უნარს.

მაგალითი 11.Ზე საგაზაფხულო არდადეგებიმე-11 კლასელ ვასიას გამოცდისთვის მოსამზადებლად 560 სასწავლო პრობლემის გადაჭრა მოუწია. 18 მარტს, სკოლის ბოლო დღეს, ვასიამ 5 პრობლემა გადაჭრა. შემდეგ ყოველ დღე იმავე რაოდენობის პრობლემას აგვარებდა, ვიდრე წინა დღეს. დაადგინეთ რამდენი პრობლემა გადაჭრა ვასიამ 2 აპრილს შვებულების ბოლო დღეს.

გადაწყვეტილება:აღნიშნეთ ა 1 = 5 - დავალებების რაოდენობა, რომელიც ვასამ გადაჭრა 18 მარტს, დ- ვასიას მიერ გადაჭრილი ამოცანების ყოველდღიური რაოდენობა, ნ= 16 - დღეების რაოდენობა 18 მარტიდან 2 აპრილის ჩათვლით, ს 16 = 560 – სულდავალებები, ა 16 - დავალებების რაოდენობა, რომელიც ვასია გადაჭრა 2 აპრილს. იმის ცოდნა, რომ ვასია ყოველდღე წყვეტდა იმავე რაოდენობის ამოცანებს, ვიდრე წინა დღეს, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები ჯამის საპოვნელად არითმეტიკული პროგრესია:

560 = (5 + ა 16) 8,

5 + ა 16 = 560: 8,

5 + ა 16 = 70,

ა 16 = 70 – 5

ა 16 = 65.

პასუხი: 65.

დავალება ნომერი 12- შეამოწმოს მოსწავლეთა ფუნქციებით მოქმედებების შესრულების უნარი, შეძლოს წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის შესასწავლად.

იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი წ= 10ლნ( x + 9) – 10x + 1.

გადაწყვეტილება: 1) იპოვნეთ ფუნქციის დომენი: x + 9 > 0, x> –9, ანუ x ∈ (–9; ∞).

2) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

4) ნაპოვნი წერტილი ეკუთვნის ინტერვალს (–9; ∞). ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნებს და გამოვსახავთ ფუნქციის ქცევას ფიგურაში:

სასურველი მაქსიმალური ქულა x = –8.

ჩამოტვირთეთ სამუშაო პროგრამა მათემატიკაში უფასოდ UMK G.K. მურავინა, კ.ს. მურავინა, ო.ვ. მურავინა 10-11 ჩამოტვირთეთ უფასო ალგებრის სახელმძღვანელოები

დავალება ნომერი 13- სირთულის გაზრდილი დონე დეტალური პასუხით, რომელიც ამოწმებს განტოლებების ამოხსნის უნარს, ყველაზე წარმატებით ამოხსნილ ამოცანებს შორის გაზრდილი სირთულის დეტალური პასუხით.

ა) ამოხსენით განტოლება 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

ბ) იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, სეგმენტს ეკუთვნის.

გადაწყვეტილება:ა) მოდით log 3 (2cos x) = ტ, შემდეგ 2 ტ 2 – 5ტ + 2 = 0,

	log3 (2cos x) =	2	⇔		2 cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ იმიტომ |კოს x| ≤ 1,
	log3 (2cos x) =	1			2 cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

შემდეგ cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π კ
		6
	x = –	π	+ 2π კ, კ ∈ ზ
		6

ბ) იპოვნეთ სეგმენტზე დაყრილი ფესვები.

ფიგურიდან ჩანს, რომ მოცემული სეგმენტიეკუთვნის ფესვებს

11პ	და	13π	.
6		6

პასუხი:ა)	π	+ 2π კ; –	π	+ 2π კ, კ ∈ ზ; ბ)	11პ	;	13π	.
	6		6		6		6

დავალება ნომერი 14- მოწინავე დონე ეხება მეორე ნაწილის ამოცანებს დეტალური პასუხით. დავალება ამოწმებს გეომეტრიული ფორმებით მოქმედებების შესრულების უნარს. დავალება შეიცავს ორ ელემენტს. პირველ აბზაცში უნდა დადასტურდეს დავალება, ხოლო მეორე პუნქტში გამოთვალოს.

ცილინდრის ფუძის წრის დიამეტრი არის 20, ცილინდრის გენერატრიქსი 28. სიბრტყე კვეთს თავის ფუძეებს 12 და 16 სიგრძის აკორდების გასწვრივ. მანძილი აკორდებს შორის არის 2√197.

ა) დაამტკიცეთ, რომ ცილინდრის ფუძეების ცენტრები დევს ამ სიბრტყის იმავე მხარეს.

ბ) იპოვეთ კუთხე ამ სიბრტყესა და ცილინდრის ფუძის სიბრტყეს შორის.

გადაწყვეტილება:ა) 12 სიგრძის აკორდი არის მანძილი = 8 საბაზისო წრის ცენტრიდან და 16 სიგრძის აკორდი, ანალოგიურად, არის 6 მანძილიდან. ამიტომ, მათ პროგნოზებს შორის მანძილი სიბრტყის პარალელურად. ცილინდრების საფუძველი არის ან 8 + 6 = 14, ან 8 − 6 = 2.

მაშინ მანძილი აკორდებს შორის არის ან

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

პირობის მიხედვით განხორციელდა მეორე შემთხვევა, რომელშიც აკორდების პროექციები დევს ცილინდრის ღერძის ერთ მხარეს. ასე რომ, ღერძი არ იკვეთება მოცემული თვითმფრინავიცილინდრის შიგნით, ანუ ბაზები დევს მის ერთ მხარეს. რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

ბ) ფუძეების ცენტრები ავღნიშნოთ O 1 და O 2. მოდით, ფუძის ცენტრიდან 12 სიგრძის აკორდით გავავლოთ პერპენდიკულარული ბისექტორი ამ აკორდზე (მას აქვს სიგრძე 8, როგორც უკვე აღვნიშნეთ) და მეორე ფუძის ცენტრიდან სხვა აკორდამდე. ისინი დგანან ამ აკორდების პერპენდიკულარულ β ერთ სიბრტყეში. დავარქვათ A-ზე დიდი პატარა აკორდის შუა წერტილი და A-ს პროექცია მეორე ფუძეზე H (H ∈ β). მაშინ AB,AH ∈ β და, მაშასადამე, AB,AH პერპენდიკულარულია აკორდის, ანუ ფუძის გადაკვეთის ხაზი მოცემულ სიბრტყესთან.

ასე რომ, საჭირო კუთხე არის

∠ABH = არქტანი	ახ	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

დავალება ნომერი 15- სირთულის გაზრდილი დონე დეტალური პასუხით, ამოწმებს უთანასწორობების ამოხსნის უნარს, ამოცანებს შორის ყველაზე წარმატებით გადაჭრილი სირთულის გაზრდილი დონის დეტალური პასუხით.

მაგალითი 15უტოლობის ამოხსნა | x 2 – 3x| ჟურნალი 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

გადაწყვეტილება:ამ უტოლობის განსაზღვრის დომენი არის ინტერვალი (–1; +∞). განვიხილოთ სამი შემთხვევა ცალკე:

1) მოდით x 2 – 3x= 0, ე.ი. X= 0 ან X= 3. ამ შემთხვევაში, ეს უთანასწორობა ხდება ჭეშმარიტი, შესაბამისად, ეს მნიშვნელობები შედის ამოხსნაში.

2) მოდით ახლა x 2 – 3x> 0, ე.ი. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). ამ შემთხვევაში, ეს უთანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს ფორმით ( x 2 – 3x) ჟურნალი 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 და გაყავით დადებითი გამოხატულება x 2 – 3x. ჩვენ ვიღებთ ჟურნალს 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 -1 ან x≤ -0.5. განმარტების დომენის გათვალისწინებით, გვაქვს x ∈ (–1; –0,5].

3) და ბოლოს, განიხილეთ x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი უტოლობა ხელახლა ჩაიწერება ფორმით (3 x – x 2) ჟურნალი 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. დადებითი გამოსახულებით 3-ზე გაყოფის შემდეგ x – x 2, ვიღებთ ჟურნალს 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. ფართობის გათვალისწინებით გვაქვს x ∈ (0; 1].

მიღებული ხსნარების გაერთიანებით ვიღებთ x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

პასუხი: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

დავალება ნომერი 16- მოწინავე დონე ეხება მეორე ნაწილის ამოცანებს დეტალური პასუხით. დავალება ამოწმებს გეომეტრიული ფორმებით, კოორდინატებით და ვექტორებით მოქმედებების შესრულების უნარს. დავალება შეიცავს ორ ელემენტს. პირველ აბზაცში უნდა დადასტურდეს დავალება, ხოლო მეორე პუნქტში გამოთვალოს.

AT ტოლფერდა სამკუთხედი ABC 120° კუთხით A წვეროზე, გამოყვანილია ბისექტორი BD. AT სამკუთხედი ABCმართკუთხედი DEFH ისეა ჩაწერილი, რომ გვერდი FH დევს BC სეგმენტზე, ხოლო E წვერო AB სეგმენტზე. ა) დაამტკიცეთ, რომ FH = 2DH. ბ) იპოვეთ DEFH ოთხკუთხედის ფართობი, თუ AB = 4.

გადაწყვეტილება:ა)

1) ΔBEF - მართკუთხა, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, შემდეგ EF = BE 30° კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თვისების გამო.

2) მოდით EF = DH = x, შემდეგ BE = 2 x, BF = x√3 პითაგორას თეორემით.

3) ვინაიდან Δ ABC ტოლფერდა, ასე რომ ∠B = ∠C = 30˚.

BD არის ∠B-ის ბისექტორი, ამიტომ ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) განვიხილოთ ΔDBH - მართკუთხა, რადგან DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) ს DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2 (3 - √3 )

ს DEFH = 24 - 12√3.

პასუხი: 24 – 12√3.

დავალება ნომერი 17- დავალება დეტალური პასუხით, ეს ამოცანა ამოწმებს ცოდნისა და უნარების გამოყენებას პრაქტიკულ საქმიანობასა და ყოველდღიურ ცხოვრებაში, აშენებისა და შესწავლის უნარს. მათემატიკური მოდელები. ეს ამოცანა - ტექსტური დავალებაეკონომიკური შინაარსით.

მაგალითი 17.ანაბარი 20 მილიონი რუბლის ოდენობით იგეგმება ოთხი წლის განმავლობაში. ბანკი ყოველი წლის ბოლოს ანაბარს 10%-ით ზრდის წლის დასაწყისში არსებულ ზომასთან შედარებით. გარდა ამისა, მესამე და მეოთხე წლის დასაწყისში მეანაბრე ყოველწლიურად ავსებს ანაბარს Xმილიონი რუბლი, სადაც X - მთლიანინომერი. იპოვე უმაღლესი ღირებულება X, რაზეც ბანკი ოთხ წელიწადში დეპოზიტს 17 მილიონ რუბლზე ნაკლებს დაამატებს.

გადაწყვეტილება:პირველი წლის ბოლოს, შენატანი იქნება 20 + 20 · 0,1 = 22 მილიონი რუბლი, ხოლო მეორე წლის ბოლოს - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 მილიონი რუბლი. მესამე წლის დასაწყისში, შენატანი (მილიონ რუბლებში) იქნება (24.2 +). X), და ბოლოს - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0.1 = (26.62 + 1.1 X). მეოთხე წლის დასაწყისში შენატანი იქნება (26.62 + 2.1 X), და ბოლოს - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0.1 = (29.282 + 2.31 X). პირობით, თქვენ უნდა იპოვოთ უდიდესი მთელი რიცხვი x, რომლისთვისაც არის უტოლობა

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

ამ უტოლობის ყველაზე დიდი მთელი რიცხვი არის რიცხვი 24.

პასუხი: 24.

დავალება ნომერი 18- სირთულის გაზრდილი დონის ამოცანა დეტალური პასუხით. ეს ამოცანა განკუთვნილია კონკურენტული შერჩევაუმაღლესი მოთხოვნების მქონე უნივერსიტეტები მათემატიკური სწავლებაგანმცხადებლები. ვარჯიში მაღალი დონესირთულის ამოცანა არ არის გადაწყვეტის ერთი მეთოდის გამოყენებისთვის, არამედ სხვადასხვა მეთოდების კომბინაციისთვის. მე-18 დავალების წარმატებით შესასრულებლად, გარდა მყარი მათემატიკური ცოდნისა, საჭიროა მათემატიკური კულტურის მაღალი დონეც.

რაზე აუთანასწორობის სისტემა

	x 2 + წ 2 ≤ 2აი – ა 2 + 1
	წ + ა ≤ |x| – ა

აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?

გადაწყვეტილება:ეს სისტემა შეიძლება გადაიწეროს როგორც

	x 2 + (წ– ა) 2 ≤ 1
	წ ≤ |x| – ა

თუ სიბრტყეზე დავხატავთ ამონახსნთა ერთობლიობას პირველი უტოლობაზე, მივიღებთ 1 რადიუსის წრის (საზღვრით) შიგთავსს, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე (0, ა). მეორე უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე არის სიბრტყის ის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ. წ = | x| – ა, და ეს უკანასკნელი არის ფუნქციის გრაფიკი
წ = | x| , ქვემოთ გადაინაცვლა ა. ამ სისტემის ამონახსნი არის თითოეული უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის კვეთა.

ამიტომ ორი გამოსავალი ამ სისტემასექნება მხოლოდ ნახ. ერთი.

წრესა და ხაზებს შორის შეხების წერტილები იქნება სისტემის ორი გამოსავალი. თითოეული სწორი ხაზი ღერძებისკენ არის დახრილი 45° კუთხით. ასე რომ, სამკუთხედი PQR- მართკუთხა ტოლფერდა. Წერტილი ქაქვს კოორდინატები (0, ა), და წერტილი რ– კოორდინატები (0, – ა). გარდა ამისა, ჭრის პიარიდა PQტოლია წრის რადიუსის ტოლი 1. აქედან გამომდინარე,

QR= 2ა = √2, ა =	√2	.
	2

პასუხი: ა =	√2	.
	2

დავალება ნომერი 19- სირთულის გაზრდილი დონის ამოცანა დეტალური პასუხით. ეს დავალება გამიზნულია კონკურენტული შერჩევისთვის იმ უნივერსიტეტებისთვის, რომლებსაც აქვთ გაზრდილი მოთხოვნები აპლიკანტების მათემატიკური მომზადებისთვის. სირთულის მაღალი დონის ამოცანა არ არის ამოხსნის ერთი მეთოდის გამოყენების ამოცანა, არამედ სხვადასხვა მეთოდების კომბინაცია. მე-19 დავალების წარმატებით შესასრულებლად, თქვენ უნდა შეძლოთ გამოსავლის ძიება არჩევით სხვადასხვა მიდგომებიცნობილთაგან, შესწავლილი მეთოდების მოდიფიცირება.

დაე იყოს snჯამი პარითმეტიკული პროგრესიის წევრები ( პ). ცნობილია, რომ S n + 1 = 2ნ 2 – 21ნ – 23.

ა) მიეცით ფორმულა პამ პროგრესის ე წევრი.

ბ) იპოვეთ უმცირესი მოდულის ჯამი S n.

გ) იპოვე ყველაზე პატარა პ, რომელიც S nიქნება მთელი რიცხვის კვადრატი.

გადაწყვეტილება: ა) ცხადია, a n = S n – S n- ერთი. გამოყენება ეს ფორმულა, ვიღებთ:

S n = ს (ნ – 1) + 1 = 2(ნ – 1) 2 – 21(ნ – 1) – 23 = 2ნ 2 – 25ნ,

S n – 1 = ს (ნ – 2) + 1 = 2(ნ – 1) 2 – 21(ნ – 2) – 23 = 2ნ 2 – 25ნ+ 27

ნიშნავს, a n = 2ნ 2 – 25ნ – (2ნ 2 – 29ნ + 27) = 4ნ – 27.

ბ) იმიტომ S n = 2ნ 2 – 25ნ, შემდეგ განიხილეთ ფუნქცია ს(x) = | 2x 2 – 25x|. მისი გრაფიკი ჩანს ფიგურაში.

აშკარაა, რომ უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა ფუნქციის ნულებთან ყველაზე ახლოს მდებარე მთელ რიცხვებში. ცხადია, ეს პუნქტებია. X= 1, X= 12 და X= 13. ვინაიდან, ს(1) = |ს 1 | = |2 – 25| = 23, ს(12) = |ს 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, ს(13) = |ს 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, მაშინ ყველაზე პატარა მნიშვნელობა არის 12.

გ) წინა პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ snდადებითი მას შემდეგ ნ= 13. ვინაიდან S n = 2ნ 2 – 25ნ = ნ(2ნ– 25), მაშინ აშკარა შემთხვევა, როცა მოცემული გამოხატულებაარის სრულყოფილი კვადრატი, რეალიზდება როცა ნ = 2ნ- 25, ანუ თან პ= 25.

რჩება მნიშვნელობების შემოწმება 13-დან 25-მდე:

ს 13 = 13 1, ს 14 = 14 3, ს 15 = 15 5, ს 16 = 16 7, ს 17 = 17 9, ს 18 = 18 11, ს 19 = 19 13 ს 20 = 20 13, ს 21 = 21 17, ს 22 = 22 19, ს 23 = 23 21, ს 24 = 24 23.

გამოდის, რომ უფრო მცირე მნიშვნელობებისთვის პ სრული მოედანიარ არის მიღწეული.

პასუხი:ა) a n = 4ნ- 27; ბ) 12; გ) 25.

________________

*2017 წლის მაისიდან ერთობლივი საგამომცემლო ჯგუფი "DROFA-VENTANA" არის კორპორაციის ნაწილი " რუსული სახელმძღვანელო". კორპორაციაში ასევე შედიოდა Astrel გამომცემლობა და ციფრული საგანმანათლებლო პლატფორმა"ლექტა". აღმასრულებელი დირექტორიკურსდამთავრებულად დანიშნა ალექსანდრე ბრაჩკინი ფინანსური აკადემიარუსეთის ფედერაციის მთავრობის დაქვემდებარებაში, კანდიდატი ეკონომიკური მეცნიერებები, ხელმძღვანელი ინოვაციური პროექტებიგამომცემლობა DROFA ციფრული განათლების სფეროში ( ელექტრონული ფორმებისახელმძღვანელოები, „რუსული ელექტრონული სკოლა“, ციფრული საგანმანათლებლო პლატფორმა LECTA). გამომცემლობა DROFA-ში გაწევრიანებამდე ეკავა გამომცემლობა EKSMO-AST-ის ვიცე-პრეზიდენტის თანამდებობა სტრატეგიული განვითარებისა და ინვესტიციების საკითხებში. დღეს რუსული სახელმძღვანელოების გამომცემლობის კორპორაციას აქვს სახელმძღვანელოების ყველაზე დიდი პორტფელი, რომელიც შედის მასში ფედერალური სია- 485 სათაური (დაახლოებით 40%, სახელმძღვანელოების გამოკლებით გამოსასწორებელი სკოლა). კორპორაციის გამომცემლობები ფლობენ ყველაზე პოპულარულს რუსული სკოლებიფიზიკის, ნახატის, ბიოლოგიის, ქიმიის, ტექნოლოგიის, გეოგრაფიის, ასტრონომიის სახელმძღვანელოების კომპლექტები - ცოდნის სფეროები, რომლებიც საჭიროა ქვეყნის საწარმოო პოტენციალის გასავითარებლად. კორპორაციის პორტფოლიო მოიცავს სახელმძღვანელოებს და სასწავლო გიდებიამისთვის დაწყებითი სკოლადაჯილდოვდა პრეზიდენტის პრემიით განათლების დარგში. ეს არის სახელმძღვანელოები და სახელმძღვანელოები საგნობრივი სფეროების შესახებ, რომლებიც აუცილებელია რუსეთის სამეცნიერო, ტექნიკური და სამრეწველო პოტენციალის განვითარებისთვის.

პრობლემის გადაწყვეტა ჩვეულებრივ მოდის ლოგიკური მიზეზებიდა გამოთვლები გარკვეული რაოდენობის მნიშვნელობის საპოვნელად. მაგალითად, იპოვნეთ ობიექტის სიჩქარე, დრო, მანძილი, მასა ან რაღაცის რაოდენობა.

ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია განტოლების გამოყენებით. ამისათვის სასურველი მნიშვნელობა აღინიშნება ცვლადის საშუალებით, შემდეგ ლოგიკური მსჯელობით ადგენენ და ხსნიან განტოლებას. განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ისინი ამოწმებენ, აკმაყოფილებს თუ არა განტოლების ამოხსნა პრობლემის პირობებს.

გაკვეთილის შინაარსი

უცნობის შემცველი გამონათქვამების წერა

ამოცანის ამოხსნას თან ახლავს ამ ამოცანის განტოლების შედგენა. Ზე საწყისი ეტაპიპრობლემების შესწავლისას, სასურველია ისწავლოს შედგენა პირდაპირი გამონათქვამებიაღწერს ამა თუ იმ მეორეს ცხოვრებისეული სიტუაცია. ეს ეტაპი არ არის რთული და მისი შესწავლა შესაძლებელია თავად პრობლემის გადაჭრის პროცესში.

განვიხილოთ რამდენიმე სიტუაცია, რომელიც შეიძლება დაიწეროს მათემატიკური გამოხატვის გამოყენებით.

დავალება 1. მამის ასაკი xწლები. დედა ორი წლით უმცროსია. შვილო მამაზე უმცროსი 3 - ჯერ. ჩაწერეთ თითოეულის ასაკი გამონათქვამების გამოყენებით.

გადაწყვეტილება:

დავალება 2. მამის ასაკი xწლებით, დედა მამაზე 2 წლით უმცროსია. ვაჟი 3-ჯერ უმცროსია მამაზე, ქალიშვილი 3-ჯერ უმცროსია დედაზე. ჩაწერეთ თითოეულის ასაკი გამონათქვამების გამოყენებით.

გადაწყვეტილება:

დავალება 3. მამის ასაკი xწლებით, დედა მამაზე 3 წლით უმცროსია. ვაჟი 3-ჯერ უმცროსია მამაზე, ქალიშვილი 3-ჯერ უმცროსია დედაზე. რამდენი წლისაა თითოეული ზოგადი ასაკიმამა, დედა, შვილი და ქალიშვილი 92 წლისაა?

გადაწყვეტილება:

ამ პრობლემაში გამონათქვამების ჩაწერის გარდა აუცილებელია ოჯახის თითოეული წევრის ასაკის გამოთვლა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ ოჯახის თითოეული წევრის ასაკს გამონათქვამების გამოყენებით. თითო ცვლადი xავიღოთ მამის ასაკი და შემდეგ ამ ცვლადის გამოყენებით შევადგენთ დარჩენილ გამონათქვამებს:

ახლა განვსაზღვროთ ოჯახის თითოეული წევრის ასაკი. ამისათვის ჩვენ უნდა დავწეროთ და ამოხსნათ განტოლება. ჩვენ მზად გვაქვს განტოლების ყველა კომპონენტი. რჩება მხოლოდ მათი შეგროვება.

საერთო ასაკი 92 წელი მიიღეს მამის, დედის, ვაჟისა და ქალიშვილის ასაკის დამატებით:

თითოეული ასაკისთვის გვაქვს მათემატიკური გამოხატულება. ეს გამონათქვამები იქნება ჩვენი განტოლების კომპონენტები. მოდით შევკრიბოთ ჩვენი განტოლება ამ სქემის მიხედვით და ზემოთ მოცემული ცხრილის მიხედვით. ანუ სიტყვები მამა, დედა, შვილი, ქალიშვილი შეიცვლება ცხრილში მათ შესაბამისი გამოთქმით:

გამოხატულება დედის ასაკისთვის x − 3სიცხადისთვის, იგი აღებულია ფრჩხილებში.

ახლა მოვაგვაროთ მიღებული განტოლება. დასაწყისისთვის, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები, სადაც ეს შესაძლებელია:

განტოლების წილადებისგან გასათავისუფლებლად, ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე

მიღებულ განტოლებას ვხსნით ცნობილის გამოყენებით იდენტური გარდაქმნები:

ჩვენ ვიპოვეთ ცვლადის მნიშვნელობა x. ეს ცვლადი პასუხისმგებელია მამის ასაკზე. ასე რომ, მამის ასაკი 36 წელია.

მამის ასაკის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ოჯახის დანარჩენი წევრების ასაკი. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ ცვლადის მნიშვნელობა xიმ გამონათქვამებში, რომლებიც პასუხისმგებელია ოჯახის კონკრეტული წევრის ასაკზე.

პრობლემაში ითქვა, რომ დედა მამაზე 3 წლით უმცროსია. ჩვენ აღვნიშნეთ მისი ასაკი გამოხატვის საშუალებით x−3.ცვლადი მნიშვნელობა xახლა ცნობილია და დედის ასაკის გამოსათვლელად აუცილებელია გამოთქმაში x − 3იმის მაგივრად xშეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 წლის დედა.

ანალოგიურად, განისაზღვრება ოჯახის დარჩენილი წევრების ასაკი:

ექსპერტიზა:

დავალება 4. კილოგრამი ვაშლი ღირს xრუბლი. ჩაწერეთ გამოთქმა, რომელიც გამოთვლის რამდენი კილოგრამი ვაშლის ყიდვა შეგიძლიათ 300 მანეთად.

გადაწყვეტილება

თუ კილოგრამი ვაშლი ღირს xრუბლი, შემდეგ 300 რუბლით შეგიძლიათ შეიძინოთ კილოგრამი ვაშლი.

მაგალითი. კილოგრამი ვაშლი 50 მანეთი ღირს. შემდეგ 300 მანეთად შეგიძლიათ შეიძინოთ, ანუ 6 კილოგრამი ვაშლი.

დავალება 5. Ზე xრუბლი, 5 კგ ვაშლი იყიდა. ჩაწერეთ გამოთქმა, რომელიც გამოთვლის რამდენი რუბლი ღირს ერთი კილოგრამი ვაშლი.

გადაწყვეტილება

თუ 5 კგ ვაშლში გადაიხადეს xრუბლი, მაშინ ერთი კილოგრამი რუბლი ეღირება

მაგალითი. 300 მანეთად იყიდეს 5 კგ ვაშლი. მაშინ ერთი კილოგრამი ვაშლი ეღირება, ანუ 60 მანეთი.

დავალება 6. ტომი, ჯონი და ლეო შესვენების დროს კაფეტერიაში წავიდნენ და სენდვიჩი და ფინჯანი ყავა იყიდეს. სენდვიჩი ღირს xრუბლი და ფინჯანი ყავა - 15 მანეთი. დაადგინეთ სენდვიჩის ღირებულება, თუ ცნობილია, რომ ყველაფერში 120 მანეთი გადაიხადეს?

გადაწყვეტილება

რა თქმა უნდა, ეს პრობლემა ისეთივე მარტივია, როგორც სამი პენი და შეიძლება გადაწყდეს განტოლების გამოყენების გარეშე. ამისათვის გამოაკლეთ სამი ფინჯანი ყავის ღირებულება (15 × 3) 120 რუბლს და გაყავით შედეგი 3-ზე.

მაგრამ ჩვენი მიზანია დავწეროთ განტოლება პრობლემისთვის და გადავჭრათ ეს განტოლება. ასე რომ, სენდვიჩის ღირებულება xრუბლი. იყიდა მხოლოდ სამი. ასე რომ, ღირებულების გასამმაგებით, ჩვენ ვიღებთ გამოთქმას, რომელიც აღწერს რამდენი მანეთი გადაიხადეს სამ სენდვიჩში

3x - სამი სენდვიჩის ღირებულება

და სამი ფინჯანი ყავის ღირებულება შეიძლება დაიწეროს 15 × 3. 15 არის ერთი ფინჯანი ყავის ღირებულება, ხოლო 3 არის მულტიპლიკატორი (ტომი, ჯონი და ლეო), რომელიც აორმაგებს ამ ღირებულებას.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ყველაფერში 120 მანეთი გადაიხადეს. უკვე გვაქვს სანიმუშო სქემა, რა უნდა გავაკეთოთ:

ჩვენ უკვე გვაქვს გამონათქვამები, რომლებიც აღწერს სამი სენდვიჩის და სამი ფინჯანი ყავის ღირებულებას. ეს არის გამონათქვამები 3 xდა 15×3. სქემის გამოყენებით დავწერთ განტოლებას და ამოვხსნით:

ასე რომ, ერთი სენდვიჩის ღირებულება 25 რუბლია.

პრობლემა სწორად წყდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი განტოლება სწორად არის შედგენილი. ჩვეულებრივი განტოლებისგან განსხვავებით, რომლებითაც ფესვების პოვნას ვსწავლობთ, ამოცანების ამოხსნის განტოლებებს აქვთ საკუთარი სპეციფიკური გამოყენება. ასეთი განტოლების თითოეული კომპონენტი შეიძლება აღწერილი იყოს სიტყვიერი ფორმა. განტოლების შედგენისას აუცილებელია იმის გაგება, თუ რატომ შევიტანთ ამა თუ იმ კომპონენტს მის შემადგენლობაში და რატომ არის საჭირო.

ასევე უნდა გვახსოვდეს, რომ განტოლება არის ტოლობა, რომლის ამოხსნის შემდეგ მარცხენა მხარე უნდა იყოს მარჯვენა მხარის ტოლი. შედეგად მიღებული განტოლება არ უნდა ეწინააღმდეგებოდეს ამ აზრს.

წარმოიდგინეთ, რომ განტოლება არის ბალანსი ორი თასით და ეკრანით, რომელიც აჩვენებს ბალანსის მდგომარეობას.

AT ამ მომენტშიეკრანი აჩვენებს თანაბარ ნიშანს. გასაგებია, რატომ უდრის მარცხენა თასი მარჯვენა თასს - თასებზე არაფერია. ჩვენ ვწერთ სასწორის მდგომარეობას და რაიმეს არარსებობას თასებზე შემდეგი თანასწორობის გამოყენებით:

0 = 0

მარცხენა სასწორზე დავდოთ საზამთრო:

მარცხენა თასი აჭარბებდა მარჯვენა თასს და ეკრანზე გაისმა განგაში, რომელიც აჩვენებს არათანაბარ ნიშანს (≠). ეს ნიშანი მიუთითებს, რომ მარცხენა თასი არ არის მარჯვენა თასის ტოლი.

ახლა შევეცადოთ პრობლემის მოგვარება. დაე, საჭირო გახდეს იმის გარკვევა, თუ რამდენს იწონის საზამთრო, რომელიც მარცხენა თასზე დევს. მაგრამ საიდან იცი? ყოველივე ამის შემდეგ, ჩვენი სასწორი შექმნილია მხოლოდ იმისთვის, რომ შეამოწმოს არის თუ არა მარცხენა თასი მარჯვენას.

განტოლებები მოდიან სამაშველოში. შეგახსენებთ, რომ განმარტებით განტოლება არის თანასწორობა A, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობის პოვნა გსურთ. სასწორი ამ შემთხვევაში სწორედ ამ განტოლების როლს ასრულებს და საზამთროს მასა არის ცვლადი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს. ჩვენი მიზანია სწორად მივიღოთ ეს განტოლება. გაიგე, გაასწორე სასწორები ისე, რომ შეგიძლია გამოთვალო საზამთროს მასა.

სასწორის გასათანაბრებლად შეგიძლიათ სწორ თასზე გარკვეული წონა დაადოთ. მძიმე ობიექტი. მაგალითად, იქ 7 კგ-იანი წონა დავდოთ.

ახლა პირიქით, მარჯვენა თასმა მარცხენას გადაწონა. ეკრანი მაინც აჩვენებს, რომ თასები არ არის თანაბარი.

ვცადოთ მარცხენა თასზე დავადოთ 4 კგ წონა

ახლა სასწორი გაათანაბრა. ნახაზი აჩვენებს, რომ მარცხენა თასი მარჯვენა თასის დონეზეა. და ეკრანი აჩვენებს თანაბარ ნიშანს. ეს ნიშანი მიუთითებს, რომ მარცხენა თასი მარჯვენა თასის ტოლია.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ განტოლება - ტოლობა, რომელიც შეიცავს უცნობის. მარცხენა ტაფა არის განტოლების მარცხენა მხარე, რომელიც შედგება 4 კომპონენტისა და ცვლადისგან x(საზამთროს მასები), და სწორი თასი არის მარჯვენა ნაწილიგანტოლება, რომელიც შედგება მე-7 კომპონენტისგან.

ისე, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ განტოლების ფესვი 4 + x\u003d 7 არის 3. ასე რომ, საზამთროს მასა არის 3 კგ.

იგივე ეხება სხვა ამოცანებს. უცნობი მნიშვნელობის საპოვნელად, დაამატეთ განტოლების მარცხენა ან მარჯვენა მხარეს სხვადასხვა ელემენტები: ტერმინები, ფაქტორები, გამოთქმები. სკოლის პრობლემებში ეს ელემენტები უკვე მოცემულია. რჩება მხოლოდ მათი სწორად სტრუქტურირება და განტოლების აგება. Ჩვენ ვართ ეს მაგალითიჩართულია სელექციით, ცდილობდა სხვადასხვა მასის წონებს საზამთროს მასის გამოსათვლელად.

ბუნებრივია, მონაცემები, რომლებიც მოცემულია პრობლემაში, ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისეთ ფორმამდე, რომლითაც ისინი შეიძლება შევიდეს განტოლებაში. ამიტომ, როგორც ამბობენ "გინდა თუ არა, უნდა იფიქრო".

განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა. მამის ასაკი ასაკის ტოლივაჟი და ქალიშვილი ერთად. ვაჟი განახევრდა ქალიშვილზე უფროსიდა მამაზე ოცი წლით უმცროსი. რამდენი წლისაა თითოეული?

ქალიშვილის ასაკი შეიძლება გამოიხატოს როგორც x. თუ ვაჟი ქალიშვილზე ორჯერ უფროსია, მაშინ მისი ასაკი მიეთითება როგორც 2 x. პრობლემის პირობა ამბობს, რომ ქალიშვილისა და ვაჟის ასაკი ერთად მამის ასაკს უტოლდება. ასე რომ, მამის ასაკი ჯამით აღინიშნა x + 2x

თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ მსგავსი ტერმინები გამოხატულებაში. მაშინ მამის ასაკი აღინიშნა 3 x

ახლა გავაკეთოთ განტოლება. ჩვენ უნდა მივიღოთ თანასწორობა, რომელშიც შეგვიძლია ვიპოვოთ უცნობი x. მოდით გამოვიყენოთ წონა. მარცხენა თასზე ვათავსებთ მამის ასაკს (3 x), ხოლო მარჯვენა თასზე ვაჟის ასაკი (2 x)

გასაგებია, რატომ გადაწონა მარცხენა თასი მარჯვენას და რატომ აჩვენებს ეკრანზე ნიშანი (≠). ყოველივე ამის შემდეგ, ლოგიკურია, რომ მამის ასაკი უფრო მეტია, ვიდრე შვილის ასაკი.

მაგრამ ჩვენ უნდა დავაბალანსოთ სასწორი, რათა შევძლოთ უცნობის გამოთვლა x. ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ გარკვეული რიცხვი მარჯვენა თასში. რა რიცხვია მითითებული პრობლემაში. პირობა ეწერა, რომ ვაჟი მამაზე 20 წლით უმცროსი იყო. ასე რომ, 20 წელი იგივე რიცხვია, რაც სასწორზე უნდა დადგეს.

სასწორი გამოვა, თუ ამ 20 წელს დავუმატებთ სასწორის მარჯვენა მხარეს. ანუ ვაჟი მამის ასაკამდე გავზარდოთ

ახლა სასწორი გაათანაბრა. აღმოჩნდა განტოლება , რომელიც მარტივად წყდება:

xჩვენ აღვნიშნეთ ქალიშვილის ასაკი. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა. ქალიშვილი 20 წლის.

და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ მამის ასაკს. დავალებაში ნათქვამი იყო, რომ ის ჯამის ტოლიავაჟისა და ქალიშვილის ასაკი, ანუ (20 + 40) წელი.

დავუბრუნდეთ დავალების შუა რიცხვებს და ყურადღება მივაქციოთ ერთ პუნქტს. როცა სასწორზე მამის და შვილის ასაკს ვსვამთ, მარცხენა თასი მარჯვენას აჭარბებდა.

მაგრამ ჩვენ ეს პრობლემა მოვაგვარეთ სწორ თასში კიდევ 20 წლის დამატებით. შედეგად, სასწორი გაათანაბრა და თანასწორობა მივიღეთ

მაგრამ შესაძლებელი იყო ეს 20 წელი არ დაემატებინა მარჯვენა თასში, არამედ გამოეკლებინათ ისინი მარცხნიდან. ამ შემთხვევაში თანასწორობას მივიღებდით

ამჯერად განტოლებაა . განტოლების ფესვი მაინც 20-ია

ანუ განტოლებები და ექვივალენტები არიან. და ჩვენ გვახსოვს ეს ეკვივალენტური განტოლებებიფესვები ემთხვევა. თუ დააკვირდებით ამ ორ განტოლებას, ხედავთ, რომ მეორე განტოლება მიიღება 20 რიცხვის მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს გადატანით. საპირისპირო ნიშანი. და ეს მოქმედება, როგორც წინა გაკვეთილზე იყო მითითებული, არ ცვლის განტოლების ფესვებს.

ყურადღება უნდა მიაქციოთ იმასაც, რომ პრობლემის გადაჭრის დასაწყისში ოჯახის თითოეული წევრის ასაკი სხვა გამონათქვამებით შეიძლება აღინიშნოს.

ვთქვათ, ვაჟის ასაკი აღინიშნება xდა რადგან ის თავის ქალიშვილზე ორით უფროსია, მაშინ მიუთითეთ ქალიშვილის ასაკი მეშვეობით (გაიგეთ მისი გაკეთება შვილზე უმცროსიორჯერ). ხოლო მამის ასაკი, ვინაიდან ეს არის ვაჟისა და ქალიშვილის ასაკის ჯამი, აღინიშნება გამოხატვის საშუალებით. და ბოლოს, ლოგიკურად სწორი განტოლების ასაგებად, თქვენ უნდა დაამატოთ რიცხვი 20 შვილის ასაკს, რადგან მამა ოცი წლით უფროსია. შედეგი არის სრულიად განსხვავებული განტოლება. . მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება

როგორც ხედავთ, პრობლემის პასუხები არ შეცვლილა. ჩემი შვილი ჯერ კიდევ 40 წლისაა. ქალიშვილები ჯერ კიდევ წლის არიან, მამა კი 40 + 20 წლის.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია სხვადასხვა მეთოდები. ამიტომ, არ უნდა დაიდარდოთ, რომ ამა თუ იმ პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. მაგრამ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ არსებობს ა მარტივი გზებიპრობლემის გადაჭრა. შეგიძლიათ მოხვდეთ ქალაქის ცენტრში სხვადასხვა მარშრუტები, მაგრამ ყოველთვის არის ყველაზე მოსახერხებელი, სწრაფი და უსაფრთხო მარშრუტი.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

დავალება 1.არის 30 ბლოკნოტი ორ პაკეტში. თუ 2 ბლოკნოტი პირველი შეკვრიდან მეორეზე გადაინაცვლებდა, მაშინ პირველ პაკეტში ორჯერ მეტი რვეული იქნებოდა, ვიდრე მეორეში. რამდენი ბლოკნოტი იყო თითოეულ პაკეტში?

გადაწყვეტილება

აღნიშნეთ მიერ xნოუთბუქების რაოდენობა, რომლებიც პირველ პაკეტში იყო. თუ სულ 30 რვეული იყო და ცვლადი xეს არის რვეულების რაოდენობა პირველი შეკვრიდან, შემდეგ რვეულების რაოდენობა მეორე შეფუთვაში აღინიშნა გამოსახულებით 30 − x. ანუ რვეულების საერთო რაოდენობას გამოვაკლებთ რვეულების რაოდენობას პირველ პაკეტს და ამით ვიღებთ რვეულების რაოდენობას მეორე შეკვრიდან.

და დაამატეთ ეს ორი ბლოკნოტი მეორე პაკეტში

ვცადოთ განტოლების გაკეთება არსებული გამონათქვამებიდან. რვეულების ორივე შეკვრა სასწორზე დავდეთ

მარცხენა თასი უფრო მძიმეა ვიდრე მარჯვენა. ეს იმიტომ ხდება, რომ პრობლემის პირობა ამბობს, რომ მას შემდეგ, რაც პირველი შეკვრიდან ორი რვეული აიღეს და მეორეში მოათავსეს, პირველ პაკეტში რვეულების რაოდენობა ორჯერ მეტი გახდა, ვიდრე მეორეში.

სასწორების გასათანაბრებლად და განტოლების მისაღებად გააორმაგეთ მარჯვენა მხარე. ამისათვის გაამრავლეთ ის 2-ზე

გამოდის განტოლება. ჩვენ გადავწყვეტთ მოცემული განტოლება:

ჩვენ აღვნიშნეთ პირველი პაკეტი ცვლადით x. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ მისი მნიშვნელობა. ცვლადი xუდრის 22. ასე რომ, პირველ პაკეტში 22 რვეული იყო.

და ჩვენ აღვნიშნეთ მეორე პაკეტი გამოსახულებით 30 − xდა რადგანაც ცვლადის მნიშვნელობა xახლა ჩვენ ვიცით, რომ შეგვიძლია გამოვთვალოთ რვეულების რაოდენობა მეორე პაკეტში. ის უდრის 30 − 22-ს, ანუ 8 ცალი.

დავალება 2. ორი ადამიანი კარტოფილს წმენდდა. ერთი წუთში ორ კარტოფილს ასუფთავებდა, მეორე კი სამ კარტოფილს. მათ ერთად გაასუფთავეს 400 ცალი. რამდენ ხანს იმუშავა თითოეულმა, თუ მეორემ პირველზე 25 წუთით მეტი იმუშავა?

გადაწყვეტილება

აღნიშნეთ მიერ xპირველი პირის დრო. ვინაიდან მეორე ადამიანმა პირველზე 25 წუთით მეტი იმუშავა, მისი დრო გამოსახული იქნება

პირველი მუშა წუთში 2 კარტოფილს წმენდდა და მას შემდეგ რაც მუშაობდა xწუთში, შემდეგ ჯამში 2 გაასუფთავა xკარტოფილი.

მეორე ადამიანი წუთში სამ კარტოფილს ასუფთავებდა და რადგან წუთები მუშაობდა, სულ ასუფთავებდა კარტოფილს.

მათ ერთად გაასუფთავეს 400 კარტოფილი

არსებული კომპონენტებიდან ჩვენ შევადგენთ და ამოხსნით განტოლებას. განტოლების მარცხენა მხარეს იქნება თითოეული ადამიანის მიერ გაწმენდილი კარტოფილი, ხოლო მათი ჯამის მარჯვენა მხარეს:

ცვლადის მეშვეობით ამ პრობლემის გადაწყვეტის დასაწყისში xჩვენ აღვნიშნეთ პირველი პირის მუშაობის დრო. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა. პირველმა 65 წუთი იმუშავა.

და მეორე ადამიანი მუშაობდა წუთების განმავლობაში და ცვლადის მნიშვნელობიდან გამომდინარე xახლა უკვე ცნობილია, შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მეორე პირის დრო - უდრის 65 + 25, ანუ 90 წუთი.

პრობლემა ანდრეი პეტროვიჩ კისელევის ალგებრის სახელმძღვანელოდან. ჩაის ჯიშებისგან 32 კგ-იანი ნარევი დამზადდა. პირველი კლასის კილოგრამი ღირს 8 მანეთი, ხოლო მეორე კლასის 6 მანეთი. 50 კოპი. რამდენი კილოგრამი იღება ორივე ჯიშიდან, თუ ნარევის კილოგრამი ღირს (მოგების ან ზარალის გარეშე) 7 რუბლი. 10 კაპიკი?

გადაწყვეტილება

აღნიშნეთ მიერ xპირველი კლასის ბევრი ჩაი. შემდეგ მეორე კლასის ჩაის მასა აღინიშნა 32 - გამოსახულებით x

პირველი კლასის კილოგრამი ჩაი 8 მანეთი ღირს. თუ ეს რვა მანეთი გამრავლდება პირველი კლასის ჩაის კილოგრამებზე, მაშინ შესაძლებელი იქნება იმის გარკვევა, თუ რა ღირს რუბლი. xკგ პირველი კლასის ჩაი.

კილოგრამი მეორე კლასის ჩაი 6 მანეთი ღირს. 50 კოპი. თუ ეს 6 მანეთი. 50 კოპი. გავამრავლოთ 32-ზე − x, შემდეგ შეგიძლიათ გაიგოთ რამდენი რუბლი ღირს 32 − xკგ მეორე კლასის ჩაი.

პირობა ამბობს, რომ ნარევის კილოგრამი ღირს 7 რუბლი. 10 კოპი. ჯამში მომზადდა 32 კგ ნარევი. გაამრავლეთ 7 რუბლი. 10 კოპი. 32-ზე შეგვიძლია გავარკვიოთ, რა ღირს 32 კგ ნარევი.

გამონათქვამები, რომლებიდანაც ჩვენ შევადგენთ განტოლებას, ახლა იღებს შემდეგ ფორმას:

ვცადოთ განტოლების გაკეთება არსებული გამონათქვამებიდან. სასწორის მარცხენა ტაფაზე დავდოთ პირველი და მეორე კლასის ჩაის ნარევების ღირებულება, ხოლო მარჯვენა ტაფაზე დავადოთ 32 კგ ნარევის ღირებულება, ე.ი. საერთო ღირებულებანარევი, რომელიც მოიცავს ჩაის ორივე სახეობას:

ცვლადის მეშვეობით ამ პრობლემის გადაწყვეტის დასაწყისში xჩვენ დავნიშნეთ პირველი კლასის ჩაის მასა. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა. ცვლადი xუდრის 12.8-ს. ეს ნიშნავს, რომ ნარევის მოსამზადებლად აიღეს პირველი კლასის 12,8 კგ ჩაი.

და გამოხატვის საშუალებით 32 − xჩვენ აღვნიშნეთ მეორე კლასის ჩაის მასა და ცვლილების მნიშვნელობა xუკვე ცნობილია, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მეორე კლასის ჩაის მასა. ის უდრის 32 − 12,8-ს, ანუ 19,2-ს. ეს ნიშნავს, რომ ნარევის მოსამზადებლად წაიღეს 19,2 კგ მეორე კლასის ჩაი.

დავალება 3. ველოსიპედისტმა მანძილი 8 კმ/სთ სიჩქარით გაიარა. მას სხვა გზით მოუწია დაბრუნება, რომელიც პირველზე 3 კმ-ით გრძელი იყო და მიუხედავად იმისა, რომ ბრუნდებოდა, 9 კმ/სთ სიჩქარით მოძრაობდა, დრო წუთზე მეტხანს გამოიყენა. რამდენი ხნის იყო გზები?

გადაწყვეტილება

ზოგიერთი დავალება შეიძლება მოიცავდეს ისეთ თემებს, რომლებიც ადამიანს შესაძლოა არ შეუსწავლია. ეს ამოცანაგანეკუთვნება ამოცანების ამ სპექტრს. ის ეხება მანძილის, სიჩქარის და დროის ცნებებს. შესაბამისად, ასეთი პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გქონდეთ წარმოდგენა პრობლემაში ნათქვამის შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ რა არის მანძილი, სიჩქარე და დრო.

ამოცანაა იპოვოთ ორი გზის მანძილი. ჩვენ უნდა დავწეროთ განტოლება, რომელიც საშუალებას მოგვცემს გამოვთვალოთ ეს მანძილი.

განვიხილოთ კავშირი მანძილს, სიჩქარესა და დროს შორის. თითოეული ეს რაოდენობა შეიძლება აღწერილი იყოს პირდაპირი განტოლების გამოყენებით:

ჩვენ გამოვიყენებთ ამ განტოლებიდან ერთ-ერთის მარჯვენა მხარეს ჩვენი განტოლების შესაქმნელად. იმის გასარკვევად, თუ რომელი, თქვენ უნდა დაუბრუნდეთ დავალების ტექსტს და მოძებნოთ რისი დაჭერა შეგიძლიათ

შეგიძლიათ მიაღწიოთ იმ მომენტს, როდესაც უკანა გზაზე ველოსიპედისტმა დრო ერთ წუთზე მეტ ხანს გამოიყენა. ეს მინიშნება გვეუბნება, რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ განტოლება, კერძოდ მისი მარჯვენა მხარე. ეს მოგვცემს საშუალებას დავწეროთ განტოლება, რომელიც შეიცავს ცვლადს ს .

მოდით აღვნიშნოთ პირველი გზის სიგრძე როგორც ს. ველოსიპედისტმა ეს გზა 8 კმ/სთ სიჩქარით გაიარა. დრო, რომლითაც მან გაიარა ეს გზა, აღინიშნა გამოხატულებით, რადგან დრო არის გავლილი მანძილის სიჩქარის თანაფარდობა.

ველოსიპედისტისთვის უკან დასაბრუნებელი გზა 3 კილომეტრით გრძელი იყო. ამიტომ მისი მანძილი გამოსახული იქნება ს+ 3. ველოსიპედისტი ამ გზას 9 კმ/სთ სიჩქარით ატარებდა. ასე რომ, დრო, რომლისთვისაც მან გადალახა ეს გზა, აღინიშნა გამოთქმით.

ახლა შევქმნათ განტოლება არსებული გამონათქვამებიდან

მარჯვენა თასი მარცხენაზე მძიმეა. ეს იმიტომ, რომ პრობლემა ამბობს, რომ ველოსიპედისტმა მეტი დრო გაატარა უკანა გზაზე.

სასწორის გასათანაბრებლად, დაამატეთ იგივე წუთები მარცხენა მხარეს. ოღონდ ჯერ წუთები საათებად გადავიყვანოთ, რადგან პრობლემაში სიჩქარე იზომება კილომეტრებში საათში და არა მეტრებში წუთში.

წუთების საათებად გადაქცევისთვის, თქვენ უნდა გაყოთ ისინი 60-ზე

წუთები საათებს ქმნის. დაამატეთ ეს საათები განტოლების მარცხენა მხარეს:

გამოდის განტოლება . მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება. წილადებისგან თავის დასაღწევად ნაწილის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს 72-ზე. გარდა ამისა, ცნობილი იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით, იპოვნეთ ღირებულებაცვლადი ს

ცვლადის მეშვეობით სჩვენ მოვნიშნეთ პირველი გზის მანძილი. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა. ცვლადი სარის 15. ანუ პირველი გზის მანძილი 15 კმ.

და ჩვენ აღვნიშნეთ მეორე გზის მანძილი გამოხატვის საშუალებით ს+ 3 და ცვლადის მნიშვნელობიდან გამომდინარე სახლა ჩვენ ვიცით, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მეორე გზის მანძილი. ეს მანძილი უდრის ჯამს 15 + 3, ანუ 18 კმ.

დავალება 4. გზატკეცილზე ერთი და იგივე სიჩქარით მიდის ორი მანქანა. თუ პირველი გაზრდის სიჩქარეს 10 კმ/სთ-ით, ხოლო მეორე ამცირებს სიჩქარეს 10 კმ/სთ-ით, მაშინ პირველი 2 საათში გაივლის იმავე მანძილს, რასაც მეორე 3 საათში. მანქანები?

გადაწყვეტილება

აღნიშნეთ მიერ ვთითოეული მანქანის სიჩქარე. დამატებით პრობლემაში მოცემულია მინიშნებები: გაზარდეთ პირველი მანქანის სიჩქარე 10 კმ/სთ-ით, ხოლო მეორე მანქანის სიჩქარე 10 კმ/სთ-ით შეამცირეთ. მოდით გამოვიყენოთ ეს მინიშნება

ასევე ნათქვამია, რომ ასეთი სიჩქარით (გაზრდილი და შემცირებული 10 კმ/სთ) პირველი მანქანა 2 საათში გაივლის იმავე მანძილს, რასაც მეორე 3 საათში. ფრაზა "იმდენი" შეიძლება გავიგოთ, როგორც „პირველი მანქანით გავლილი მანძილი იქნება უდრისმეორე მანქანით გავლილი მანძილი.

მანძილი, როგორც გვახსოვს, განისაზღვრება ფორმულით. ჩვენ გვაინტერესებს ამ პირდაპირი განტოლების მარჯვენა მხარე - ის საშუალებას მოგვცემს დავწეროთ ცვლადის შემცველი განტოლება. ვ .

ასე რომ, სიჩქარით v + 10 კმ/სთპირველი მანქანა გაივლის 2(v+10) კმ, და მეორე გაივლის 3(v − 10) კმ. ამ პირობით მანქანები ერთსა და იმავე დისტანციებს გაივლიან, ამიტომ განტოლების მისაღებად საკმარისია ეს ორი გამონათქვამი ტოლობის ნიშნით დააკავშიროთ. შემდეგ მივიღებთ განტოლებას. მოდი მოვაგვაროთ:

პრობლემის პირობებში ითქვა, რომ მანქანები ერთნაირი სიჩქარით დადიან. ჩვენ აღვნიშნეთ ეს სიჩქარე ცვლადით ვ. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა. ცვლადი ვუდრის 50. ანუ ორივე მანქანის სიჩქარე იყო 50 კმ/სთ.

დავალება 5. 9 საათში გემი გადის იმავე მანძილს, როგორც 11 საათში დინების ზემოთ. იპოვეთ ნავის სიჩქარე, თუ მდინარის სიჩქარე 2 კმ/სთ-ია.

გადაწყვეტილება

აღნიშნეთ მიერ ვგემის საკუთარი სიჩქარე. მდინარის დინების სიჩქარეა 2 კმ/სთ. მდინარის დინებაში გემის სიჩქარე იქნება v + 2 კმ/სთდა მიმდინარეობის საწინააღმდეგოდ - (v − 2) კმ/სთ.

პრობლემის პირობაში ნათქვამია, რომ 9 საათში გემი მდინარის გასწვრივ გადის იმავე მანძილს, როგორც 11 საათში დინების საწინააღმდეგოდ. ფრაზა "ანალოგიურად"შეიძლება გავიგოთ, როგორც მანძილი, რომელიც გემმა გაიარა მდინარის გასწვრივ 9 საათში, უდრისმანძილი, რომელიც გემმა გაიარა მდინარის დინების წინააღმდეგ 11 საათში. ანუ დისტანციები იგივე იქნება.

მანძილი განისაზღვრება ფორმულით. მოდით გამოვიყენოთ ამ პირდაპირი განტოლების მარჯვენა მხარე ჩვენი განტოლების დასაწერად.

ასე რომ, 9 საათში გემი მდინარის გასწვრივ გაივლის 9(v + 2) კმდა 11 საათში დინების ზემოთ - 11(v − 2) კმ. ვინაიდან ორივე გამონათქვამი ერთსა და იმავე მანძილს აღწერს, პირველ გამოსახულებას მეორეს ვაიგივებთ. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას. მოდი მოვაგვაროთ:

ნიშნავს საკუთარი სიჩქარეგემი არის 20 კმ / სთ.

პრობლემების გადაჭრისას კარგი ჩვევაარის წინასწარ განსაზღვრა, თუ რა გამოსავალს ეძებენ მისთვის.

დავუშვათ, რომ ამოცანა იყო იმ დროის გამონახვა, რომელიც სჭირდება ფეხით მოსიარულეს დასაძლევად მითითებული გზა. დრო ცვლადის საშუალებით აღვნიშნეთ ტ, შემდეგ შევქმენით ამ ცვლადის შემცველი განტოლება და ვიპოვეთ მისი მნიშვნელობა.

პრაქტიკიდან ჩვენ ვიცით, რომ ობიექტის გადაადგილების დროს შეუძლია მიიღოს როგორც მთელი, ასევე წილადი მნიშვნელობები, მაგალითად, 2 საათი, 1.5 საათი, 0.5 საათი. შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ პრობლემის გადაწყვეტა ეძებს კომპლექტი რაციონალური რიცხვი ქ, ვინაიდან თითოეული მნიშვნელობა 2 სთ, 1.5 სთ, 0.5 სთ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით.

ამიტომ, მას შემდეგ უცნობი რაოდენობააღინიშნება ცვლადით, სასარგებლოა იმის მითითება, რომელ კომპლექტს ეკუთვნის ეს მნიშვნელობა. ჩვენს მაგალითში, დრო ტრაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს ეკუთვნის ქ

ტ ∈ ქ

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შემოიტანოთ შეზღუდვა ცვლადზე ტ, რაც მიუთითებს, რომ მას შეუძლია მხოლოდ მიიღოს დადებითი ღირებულებები. მართლაც, თუ ობიექტი გაატარა გზაზე გარკვეული დრო, მაშინ ეს დრო არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. ამიტომ გამოთქმის გვერდით ტ∈ ქმიუთითეთ, რომ მისი მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი:

ტ∈ რ, ტ > 0

თუ განტოლებას ამოხსნით, მივიღებთ უარყოფითი მნიშვნელობაცვლადისთვის ტ, მაშინ შესაძლებელი იქნება დავასკვნათ, რომ პრობლემა არასწორად მოგვარდა, რადგან ეს გამოსავალი არ დააკმაყოფილებს პირობას ტ∈ ქ , ტ> 0 .

Სხვა მაგალითი. თუ ჩვენ გადავჭრით პრობლემას, რომელშიც საჭირო იყო ხალხის რაოდენობის პოვნა კონკრეტული სამუშაოს შესასრულებლად, მაშინ ამ რიცხვს ცვლადის საშუალებით აღვნიშნავდით. x. ასეთ პრობლემაში გამოსავალი გადასაღებ მოედანზე მოიძებნება ნატურალური რიცხვები

x ∈ ნ

მართლაც, ხალხის რაოდენობა არის მთელი რიცხვი, როგორიცაა 2 ადამიანი, 3 ადამიანი, 5 ადამიანი. მაგრამ არა 1.5 (ერთი მთელი ადამიანიდა ნახევარი ადამიანი) ან 2.3 (ორი მთელი ადამიანი და კიდევ სამი მეათედი ადამიანი).

აქ შეიძლება აღინიშნოს, რომ ადამიანების რაოდენობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, მაგრამ რიცხვები, რომლებიც შედის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეში. ნთავად არიან დადებითი და ნულზე მეტი. ეს ნაკრები არა უარყოფითი რიცხვებიდა რიცხვი 0. აქედან გამომდინარე, გამოთქმა x > 0 შეიძლება გამოტოვოთ.

დავალება 6. სკოლის შესაკეთებლად მოვიდა ჯგუფი, რომელშიც 2,5-ჯერ მეტი მხატვარი იყო, ვიდრე დურგალი. მალე ოსტატმა გუნდში კიდევ ოთხი მხატვარი შეიყვანა და ორი დურგალი სხვა ობიექტში გადაიყვანა. შედეგად, ბრიგადაში 4-ჯერ მეტი მხატვარი იყო, ვიდრე დურგალი. რამდენი მხატვარი და რამდენი დურგალი იყო თავდაპირველად ბრიგადაში

გადაწყვეტილება

აღნიშნეთ მიერ xდურგლები, რომლებიც თავდაპირველად ჩავიდნენ სარემონტოდ.

დურგლების რაოდენობა ნულზე მეტია. ამიტომ აღვნიშნავთ, რომ xეკუთვნის ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს

x∈ნ

2,5-ჯერ მეტი მხატვარი იყო ვიდრე დურგალი. მაშასადამე, მხატვრების რაოდენობა აღინიშნა როგორც 2.5x.

ხოლო მხატვრების რაოდენობა 4-ით გაიზრდება

ახლა დურგლებისა და მხატვრების რაოდენობა აღინიშნა შემდეგი გამონათქვამებით:

შევეცადოთ განტოლება შევქმნათ არსებული გამონათქვამებიდან:

მარჯვენა თასი უფრო დიდია, რადგან გუნდში კიდევ ოთხი მხატვრის დამატების და ორი დურგლის სხვა ობიექტზე გადატანის შემდეგ, გუნდში მხატვრების რაოდენობა 4-ჯერ მეტი აღმოჩნდა, ვიდრე დურგლები. სასწორის გასათანაბრებლად, თქვენ უნდა გაზარდოთ მარცხენა თასი 4-ჯერ:

მიიღო განტოლება. მოდი მოვაგვაროთ:

ცვლადის მეშვეობით xდანიშნულ იქნა დურგლების საწყისი რაოდენობა. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა. ცვლადი xუდრის 8. ასე რომ, ბრიგადაში თავდაპირველად 8 დურგალი იყო.

ხოლო მხატვართა რაოდენობა მითითებული იყო გამოთქმით 2.5 xდა რადგანაც ცვლადის მნიშვნელობა xახლა ცნობილია, შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მხატვრების რაოდენობა - უდრის 2,5 × 8, ანუ 20.

ჩვენ ვუბრუნდებით დავალების საწყისს და ვრწმუნდებით, რომ პირობა შესრულებულია x∈ ნ.ცვლადი xუდრის 8-ს და ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ელემენტებს ნეს არის ყველა რიცხვი, რომელიც იწყება 1-ით, 2-ით, 3-ით და ასე შემდეგ უსასრულოდ. იგივე ნაკრებში შედის ნომერი 8, რომელიც ჩვენ ვიპოვეთ.

8 ∈ნ

იგივე შეიძლება ითქვას მხატვრების რაოდენობაზეც. რიცხვი 20 ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს:

20 ∈ნ

პრობლემის არსის გასაგებად და სწორი შედგენაგანტოლება, არ არის აუცილებელი თასებით მასშტაბური მოდელის გამოყენება. შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა მოდელები: სეგმენტები, ცხრილები, დიაგრამები. თქვენ შეგიძლიათ მოიფიქროთ საკუთარი მოდელი, რომელიც კარგად აღწერს პრობლემის არსს.

დავალება 9. ქილადან რძის 30% ჩამოასხეს. შედეგად მასში 14 ლიტრი დარჩა. რამდენი ლიტრი რძე იყო თავდაპირველად ქილაში?

გადაწყვეტილება

სასურველი მნიშვნელობა არის ლიტრის საწყისი რაოდენობა ქილაში. დახაზეთ ლიტრების რაოდენობა ხაზის სახით და დაასახელეთ ეს ხაზი, როგორც X

ამბობენ, რომ რძის 30% ქილაში ჩამოასხეს. ჩვენ ვირჩევთ ფიგურაში დაახლოებით 30%

პროცენტი, განსაზღვრებით, არის რაღაცის მეასედი. თუ რძის 30% გადაისხა, მაშინ დარჩენილი 70% ქილაში რჩებოდა. ეს 70% შეადგენს პრობლემაში მითითებულ 14 ლიტრს. აირჩიეთ დარჩენილი 70% ფიგურაში

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ განტოლება. გავიხსენოთ როგორ ვიპოვოთ რიცხვის პროცენტი. ამისათვის რაღაცის საერთო რაოდენობა იყოფა 100-ზე და შედეგი მრავლდება სასურველ პროცენტზე. გაითვალისწინეთ, რომ 14 ლიტრი, რაც არის 70%, შეგიძლიათ მიიღოთ იგივე გზით: ლიტრის საწყისი რაოდენობა. Xგავყოთ 100-ზე და გავამრავლოთ შედეგი 70-ზე. ეს ყველაფერი გავაუტოლოთ რიცხვს 14-ს

ან მიიღეთ უფრო მარტივი განტოლება: ჩაწერეთ 70% როგორც 0.70, შემდეგ გაამრავლეთ X-ზე და გაათანაბრეთ ეს გამოხატულება 14-მდე.

ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველად ქილაში 20 ლიტრი რძე იყო.

დავალება 9. აიღეს ოქროსა და ვერცხლის ორი შენადნობი. ერთში ამ ლითონების თანაფარდობაა 1:9, ხოლო მეორეში 2:3. რამდენი უნდა ავიღოთ თითოეული შენადნობიდან 15 კგ ახალი შენადნობის მისაღებად, რომელშიც ოქრო და ვერცხლი იქნება 1:4 დაკავშირებული?

გადაწყვეტილება

ჯერ შევეცადოთ გავარკვიოთ, რამდენ ოქროსა და ვერცხლს შეიცავს 15 კგ ახალი შენადნობი. ამოცანაში ნათქვამია, რომ ამ ლითონების შემცველობა უნდა იყოს 1: 4 თანაფარდობით, ანუ შენადნობის ერთი ნაწილი უნდა იყოს ოქრო, ხოლო ოთხი ნაწილი უნდა იყოს ვერცხლი. მაშინ შენადნობის ნაწილების საერთო რაოდენობა იქნება 1 + 4 = 5, ხოლო ერთი ნაწილის მასა იქნება 15: 5 = 3 კგ.

განვსაზღვროთ რამდენ ოქროს შეიცავს 15 კგ შენადნობი. ამისათვის გაამრავლეთ 3 კგ ოქროს ნაწილების რაოდენობაზე:

3 კგ × 1 = 3 კგ

მოდით განვსაზღვროთ რამდენ ვერცხლს შეიცავს 15 კგ შენადნობი:

3 კგ × 4 = 12 კგ

ეს ნიშნავს, რომ შენადნობი, რომლის წონაა 15 კგ, შეიცავს 3 კგ ოქროს და 12 კგ ვერცხლს. ახლა დაუბრუნდით თავდაპირველ შენადნობებს. თქვენ უნდა გამოიყენოთ თითოეული მათგანი. აღნიშნეთ მიერ xპირველი შენადნობის მასა და მეორე შენადნობის მასა შეიძლება აღვნიშნოთ 15 −-ით x

პროცენტულად გამოვხატოთ ყველა ურთიერთობა, რომელიც მოცემულია პრობლემაში და შეავსოთ შემდეგი ცხრილი:

პირველ შენადნობაში ოქრო და ვერცხლი თანაფარდობითაა 1:9. მაშინ ჯამური ნაწილები იქნება 1 + 9 = 10. ამათგან იქნება ოქრო და ვერცხლი .

მოდით გადავიტანოთ ეს მონაცემები ცხრილში. 10% შეიტანება სვეტის პირველ სტრიქონში "ოქროს პროცენტი შენადნობაში", 90% ასევე შეიტანება სვეტის პირველ სტრიქონში "ვერცხლის პროცენტი შენადნობაში"და ბოლო სვეტში "შენადნობის წონა"შეიყვანეთ ცვლადი x, რადგან ასე აღვნიშნეთ პირველი შენადნობის მასა:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე შენადნობით. მასში ოქრო და ვერცხლი თანაფარდობითაა 2:3. მაშინ სულ იქნება 2 + 3 = 5 ნაწილი, აქედან ოქრო იქნება. და ვერცხლი .

მოდით გადავიტანოთ ეს მონაცემები ცხრილში. სვეტის მეორე სტრიქონში 40% შეიტანება "ოქროს პროცენტი შენადნობაში", 60% ასევე შეიტანება სვეტის მეორე სტრიქონში "ვერცხლის პროცენტი შენადნობაში"და ბოლო სვეტში "შენადნობის წონა"შეიყვანეთ გამოთქმა 15 − x, რადგან ასე აღვნიშნეთ მეორე შენადნობის მასა:

შევავსოთ ბოლო ხაზი. მიღებული შენადნობი, რომლის წონაა 15 კგ, შეიცავს 3 კგ ოქროს, რაც არის შენადნობი და ვერცხლი იქნება შენადნობი. ბოლო სვეტში ჩვენ ვწერთ მიღებული შენადნობის მასას 15

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ განტოლებები ამ ცხრილის გამოყენებით. გვახსოვს. თუ ორივე შენადნობის ოქროს ცალ-ცალკე დავამატებთ და ამ რაოდენობას გავატოლებთ მიღებული შენადნობის ოქროს მასას, შეგვიძლია გავარკვიოთ რა არის მნიშვნელობა. x.

პირველ ოქროს შენადნობას ჰქონდა 0,10 x, ხოლო მეორე ოქროს შენადნობაში იყო 0,40(15 − x) . შემდეგ მიღებულ შენადნობაში ოქროს მასა იქნება პირველი და მეორე შენადნობების ოქროს მასების ჯამი და ეს მასა არის ახალი შენადნობის 20%. ხოლო ახალი შენადნობის 20% არის 3 კგ ოქრო, ჩვენს მიერ ადრე გამოთვლილი. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება:

თავდაპირველად მეშვეობით xჩვენ აღვნიშნეთ პირველი შენადნობის მასა. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა. ცვლადი xუდრის 10-ს. მეორე შენადნობის მასა აღვნიშნეთ 15 −-ით xდა ცვლადის მნიშვნელობიდან გამომდინარე xახლა უკვე ცნობილია, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მეორე შენადნობის მასა, ის უდრის 15 − 10 = 5 კგ.

ეს ნიშნავს, რომ 15 კგ მასით ახალი შენადნობის მისაღებად, რომელშიც ოქრო და ვერცხლი განიხილება როგორც 1: 4, თქვენ უნდა აიღოთ 10 კგ პირველი და 5 კგ მეორე შენადნობი.

განტოლება შეიძლება გაკეთდეს მიღებული ცხრილის მეორე სვეტის გამოყენებით. მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. ამ განტოლების ფესვი ასევე არის 10

დავალება 10. არის მადანი ორი ფენისგან, სპილენძის შემცველობით 6% და 11%. რამდენი დაბალხარისხიანი მადანი უნდა იქნას მიღებული მის მისაღებად, როდესაც შერეულია მდიდარ 20 ტონა სპილენძის შემცველობით 8%?

გადაწყვეტილება

აღნიშნეთ მიერ xღარიბი მადნის მასა. ვინაიდან თქვენ უნდა მიიღოთ 20 ტონა საბადო, მაშინ 20 მდიდარი საბადო იქნება აღებული − x. ვინაიდან სპილენძის შემცველობა ღარიბ საბადოში არის 6%, მაშინ შიგნით xტონა მადანი შეიცავს 0,06 xტონა სპილენძი. მდიდარ საბადოში სპილენძის შემცველობა არის 11%, ხოლო 20-ში. xტონა მდიდარი მადანი შეიცავს 0,11(20 − x) ტონა სპილენძი.

მიღებულ 20 ტონა საბადოში სპილენძის შემცველობა უნდა იყოს 8%. ეს ნიშნავს, რომ 20 ტონა სპილენძის საბადო შეიცავს 20 × 0.08 = 1.6 ტონას.

დაამატეთ გამონათქვამები 0.06 xდა 0.11(20 - x) და ეს ჯამი გაუტოლეთ 1.6-ს. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება:

ეს ნიშნავს, რომ 8% სპილენძის შემცველობით 20 ტონა მადნის მისაღებად საჭიროა 12 ტონა ღარიბი მადნის აღება. მდიდარი მიიღებს 20 − 12 = 8 ტონას.

დავალება 11. მზარდი საშუალო სიჩქარე 250-დან 300 მ/წთ-მდე სპორტსმენმა მანძილის გაშვება 1 წუთით სწრაფად დაიწყო. რა არის მანძილის სიგრძე?

გადაწყვეტილება

მანძილის სიგრძე (ან მანძილის მანძილი) შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგი ასო განტოლებით:

მოდით გამოვიყენოთ ამ განტოლების მარჯვენა მხარე ჩვენი განტოლების დასაწერად. თავდაპირველად სპორტსმენი მანძილს წუთში 250 მეტრი სიჩქარით გარბოდა. ამ სიჩქარით, მანძილის სიგრძე აღწერილი იქნება გამოხატულებით 250 ტ

შემდეგ სპორტსმენმა სიჩქარე წუთში 300 მეტრამდე გაზარდა. ამ სიჩქარით, მანძილის სიგრძე აღწერილი იქნება გამოხატვით 300 ტ

გაითვალისწინეთ, რომ მანძილის სიგრძე არის მუდმივი მნიშვნელობა. იქიდან გამომდინარე, რომ სპორტსმენი ზრდის სიჩქარეს ან ამცირებს მას, მანძილის სიგრძე უცვლელი დარჩება.

ეს საშუალებას გვაძლევს გავაიგივოთ გამოხატულება 250 ტგამოხატვის 300 ტ, რადგან ორივე გამონათქვამი აღწერს ერთი და იგივე მანძილის სიგრძეს

250ტ = 300ტ

მაგრამ დავალებაში ნათქვამია, რომ წუთში 300 მეტრი სიჩქარით, სპორტსმენმა მანძილის გაშვება 1 წუთით სწრაფად დაიწყო. ანუ წუთში 300 მეტრი სიჩქარით მგზავრობის დრო ერთით შემცირდება. მაშასადამე, 250 განტოლებაში ტ= 300ტმარჯვენა მხარეს, დრო უნდა შემცირდეს ერთით:

წუთში 250 მეტრი სიჩქარით სპორტსმენი მანძილს 6 წუთში გადის. სიჩქარისა და დროის ცოდნით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მანძილის სიგრძე:

ს= 250 × 6 = 1500 მ

ხოლო წუთში 300 მეტრი სიჩქარით სპორტსმენი გარბის მანძილს ტ− 1, ანუ 5 წუთში. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მანძილის სიგრძე არ იცვლება:

ს= 300 × 5 = 1500 მ

დავალება 12. მხედარი უსწრებს ფეხით მოსიარულეს, რომელიც მას 15 კმ-ით უსწრებს. რამდენ საათში მიაღწევს მხედარი ფეხით მოსიარულეს, თუ ყოველ საათში პირველი მხედარი გაივლის 10 კმ-ს, ხოლო მეორე მხოლოდ 4 კმ-ს?

გადაწყვეტილება

ეს ამოცანა არის. მისი გადაჭრა შესაძლებელია მიახლოების სიჩქარის განსაზღვრით და მხედრისა და ფეხით მოსიარულეს შორის საწყისი მანძილის ამ სიჩქარით გაყოფით.

დახურვის სიჩქარე განისაზღვრება ქვედა სიჩქარის უფრო დიდის გამოკლებით:

10 კმ/სთ − 4 კმ/სთ = 6 კმ/სთ (მიდგომის სიჩქარე)

ყოველ საათში 15 კილომეტრიანი მანძილი 6 კილომეტრით მცირდება. იმის გასარკვევად, თუ როდის შემცირდება ის მთლიანად (როდესაც მხედარი დაეწევა ფეხით მოსიარულეს), თქვენ უნდა გაყოთ 15 6-ზე.

15:6 = 2.5 სთ

2,5 თეს არის ორი მთელი საათი და ნახევარი საათი. ნახევარი საათი კი 30 წუთია. ასე რომ, მხედარი 2 საათსა და 30 წუთში გაუსწრებს ქვეითს.

მოდით გადავჭრათ ეს პრობლემა განტოლების გამოყენებით.

ამის შემდეგ, მის შემდეგ, გზაზე მხედარი 10 კმ/სთ სიჩქარით დაიძრა. სიარულის სიჩქარე კი მხოლოდ 4 კმ/სთ-ია. ეს ნიშნავს, რომ მხედარი გარკვეული დროის შემდეგ გაუსწრებს ფეხით მოსიარულეს. ეს დრო უნდა ვიპოვოთ.

როდესაც მხედარი დაეწევა ფეხით მოსიარულეს, ეს ნიშნავს, რომ მათ ერთად გაიარეს იგივე მანძილი. მხედრისა და ფეხით მოსიარულეს მიერ გავლილი მანძილი აღწერილია შემდეგი განტოლებით:

მოდით გამოვიყენოთ ამ განტოლების მარჯვენა მხარე ჩვენი განტოლების დასაწერად.

მხედრის მიერ გავლილი მანძილი აღწერილი იქნება გამოთქმით 10 ტ. ვინაიდან ფეხით მოსიარულე მხედრის წინ დაიძრა და მოახერხა 15 კმ-ის გადალახვა, მის მიერ გავლილი მანძილი აღწერილი იქნება გამოთქმით 4. ტ + 15 .

სანამ მხედარი დაეწევა ფეხით მოსიარულეს, ორივე მათგანმა გაიარა ერთი და იგივე მანძილი. ეს საშუალებას გვაძლევს გავაიგივოთ მხედრისა და ფეხით მოსიარულეთა მიერ გავლილი დისტანციები:

შედეგი არის მარტივი განტოლება. მოდი მოვაგვაროთ:

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

პრობლემა 1. სამგზავრო მატარებელი ერთი ქალაქიდან მეორეში 45 წუთით უფრო სწრაფად მოდის, ვიდრე სატვირთო მატარებელი. გამოთვალეთ მანძილი ქალაქებს შორის, თუ სამგზავრო მატარებლის სიჩქარეა 48 კმ/სთ, ხოლო სატვირთო მატარებლის სიჩქარე 36 კმ/სთ.

გადაწყვეტილება

მატარებლის სიჩქარე ამ პრობლემაში იზომება კილომეტრებში საათში. ამიტომ დავალებაში მითითებულ 45 წუთს გადავიყვანთ საათებად. 45 წუთი არის 0,75 საათი

მოდით აღვნიშნოთ დრო, რომლის დროსაც სატვირთო მატარებელი ჩადის ქალაქში ცვლადის მეშვეობით ტ. ვინაიდან სამგზავრო მატარებელი ამ ქალაქში 0,75 საათით სწრაფად ჩამოდის, მისი გადაადგილების დრო აღინიშნა გამოხატვით. t - 0,75

სამგზავრო მატარებელმა გადალახა 48( t - 0,75) კმ და სასაქონლო 36 ტკმ. Იმდენად, რამდენადაც ჩვენ ვსაუბრობთდაახლოებით იმავე მანძილზე, პირველ გამონათქვამს მეორეს ვაიგივებთ. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას 48(t - 0.75) = 36ტ . მოდი მოვაგვაროთ:

ახლა გამოვთვალოთ მანძილი ქალაქებს შორის. ამისათვის სატვირთო მატარებლის სიჩქარე (36 კმ/სთ) მრავლდება მისი მოძრაობის დროზე. ტ.ცვლადი მნიშვნელობა ტახლა ცნობილია - უდრის სამ საათს

36 × 3 = 108 კმ

მანძილის გამოსათვლელად ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სამგზავრო მატარებლის სიჩქარე. მაგრამ ამ შემთხვევაში ცვლადის მნიშვნელობა

ცვლადი მნიშვნელობა ტუდრის 1.2. ასე რომ, მანქანები 1,2 საათის შემდეგ შეხვდნენ.

პასუხი:მანქანები 1,2 საათის შემდეგ შეხვდნენ.

ამოცანა 3. ქარხნის სამ საამქროში სულ 685 მუშაა. მეორე მაღაზიაში სამჯერ მეტი მუშაა ვიდრე პირველში, ხოლო მესამეში - 15-ით ნაკლები, ვიდრე მეორე მაღაზიაში. რამდენი თანამშრომელია თითოეულ მაღაზიაში?

გადაწყვეტილება

დაე იყოს xმუშები პირველ მაღაზიაში იყვნენ. მეორე სახელოსნოში სამჯერ მეტი იყო ვიდრე პირველში, ამიტომ მეორე სახელოსნოში მუშათა რაოდენობა შეიძლება აღვნიშნოთ გამოთქმით 3. x. მესამე მაღაზიაში მეორეზე 15-ით ნაკლები მუშა იყო. მაშასადამე, მესამე სახელოსნოში მუშაკთა რაოდენობა შეიძლება აღვნიშნოთ გამოთქმით 3 x - 15 .

პრობლემაში ნათქვამია, რომ სულ 685 თანამშრომელი იყო, ამიტომ შეგვიძლია დავამატოთ გამოთქმები x, 3x, 3x - 15 და ეს ჯამი გავუტოლოთ რიცხვს 685. შედეგად ვიღებთ განტოლებას x + 3x + ( 3x - 15) = 685

ცვლადის მეშვეობით xპირველ სახელოსნოში მუშათა რაოდენობა იყო მითითებული. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა, ის უდრის 100-ს. ასე რომ, პირველ მაღაზიაში 100 მუშა იყო.

მეორე სახელოსნოში იყო 3 xმუშები, ანუ 3 × 100 = 300. ხოლო მესამე სახელოსნოში იყო 3 x - 15, ანუ 3 × 100 − 15 = 285

პასუხი:პირველ სახელოსნოში 100 მუშა იყო, მეორეში - 300, მესამეში - 285.

დავალება 4. ორმა სარემონტო მაღაზიამ ერთი კვირის განმავლობაში უნდა შეაკეთოს 18 ძრავა გეგმის მიხედვით. პირველმა სახელოსნომ გეგმა 120%-ით დაასრულა, მეორემ კი 125%-ით, ასე რომ, ერთ კვირაში 22 ძრავა შეკეთდა. რა ყოველკვირეული ძრავის შეკეთების გეგმა ჰქონდა თითოეულ სახელოსნოს?

გადაწყვეტილება

დაე იყოს xძრავები პირველ საამქროს უნდა შეეკეთებინა. შემდეგ მეორე სახელოსნოს გარემონტება მოუწია 18 − xძრავები.

მას შემდეგ, რაც პირველმა სახელოსნომ გეგმა 120%-ით დაასრულა, ეს ნიშნავს, რომ მან შეაკეთა 1.2 xძრავები. ხოლო მეორე სახელოსნომ შეასრულა თავისი გეგმა 125%-ით, რაც ნიშნავს, რომ მან შეაკეთა 1.25 (18 −). x) ძრავები.

დავალებაში ნათქვამია, რომ გარემონტდა 22 ძრავა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ გამონათქვამები 1,2xდა 1.25(18 − x) , შემდეგ ეს ჯამი გავუტოლოთ რიცხვს 22. შედეგად ვიღებთ განტოლებას 1,2x + 1,25(18− x) = 22

ცვლადის მეშვეობით xმითითებული იყო ძრავების რაოდენობა, რომლებიც პირველ სახელოსნოს უნდა შეეკეთებინა. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა, ის უდრის 10-ს. ასე რომ, პირველ სახელოსნოს 10 ძრავის შეკეთება მოუწია.

და გამოთქმის მეშვეობით 18 − xმითითებული იყო ძრავების რაოდენობა, რომლებიც მეორე სახელოსნოს უნდა შეკეთებულიყო. ასე რომ, მეორე სახელოსნოს შეკეთება მოუწია 18 − 10 = 8 ძრავა.

პასუხი:პირველ სახელოსნოში იყო 10 ძრავის შეკეთება, ხოლო მეორეში 8 ძრავა.

პრობლემა 5. საქონლის ფასი გაიზარდა 30%-ით და ახლა 91 რუბლია. რამდენი იყო პროდუქტი ფასის მატებამდე?

გადაწყვეტილება

დაე იყოს xრუბლის ღირებულების საქონელი ფასის მატებამდე. თუ ფასი გაიზარდა 30%-ით, ეს ნიშნავს, რომ ის გაიზარდა 0.30-ით xრუბლი. ფასის გაზრდის შემდეგ საქონელმა დაიწყო 91 მანეთი. დაამატეთ x 0.30-ით xდა ეს ჯამი გავუტოლოთ 91-ს. შედეგად ვიღებთ განტოლებას რიცხვის 10%-ით შემცირებამ გამოიწვია 45. იპოვეთ რიცხვის საწყისი მნიშვნელობა. x -

პასუხი: 12%-იანი მარილის ხსნარის მისაღებად საჭიროა 1 კგ 10%-იან ხსნარს დაუმატოთ 0,25 კგ 20%-იანი ხსნარი.

ამოცანა 12. წყალში მოცემულია მარილის ორი ხსნარი, რომელთა კონცენტრაციებია 20% და 30%. რამდენი კილოგრამი ხსნარი უნდა ავურიოთ ერთ ჭურჭელში, რომ მივიღოთ 25 კგ 25,2%-იანი ხსნარი?

გადაწყვეტილება

დაე იყოს xკგ პირველი ხსნარი უნდა იქნას მიღებული. ვინაიდან საჭიროა 25 კგ ხსნარის მომზადება, მეორე ხსნარის მასა შეიძლება აღვნიშნოთ გამოსახულებით 25 − x.

პირველი ხსნარი შეიცავს 0,20x კგ მარილს, ხოლო მეორე შეიცავს 0,30(25 − x) კგ მარილს. მიღებულ ხსნარში მარილის შემცველობა იქნება 25 × 0.252 = 6.3 კგ. დაამატეთ გამონათქვამები 0.20x და 0.30(25 − x), შემდეგ გააუტოლეთ ეს ჯამი 6.3-ს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას

ასე რომ, პირველი ხსნარის მიღება საჭიროა 12 კგ, ხოლო მეორე 25 - 12 = 13 კგ.

პასუხი:პირველი ხსნარი უნდა აიღოთ 12 კგ, ხოლო მეორე 13 კგ.

მოგეწონათ გაკვეთილი?
შემოგვიერთდით ახალი ჯგუფი Vkontakte და დაიწყეთ შეტყობინებების მიღება ახალი გაკვეთილების შესახებ

პროცენტული ცნება ძალიან ხშირად გვხვდება ჩვენს ცხოვრებაში, ამიტომ ძალიან მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები პროცენტებით. პრინციპში ეს არ არის რთული საქმე, მთავარია ინტერესით მუშაობის პრინციპის გაგება.

რა არის პროცენტი

ჩვენ ვმუშაობთ 100 პროცენტის კონცეფციით და შესაბამისად, ერთი პროცენტი არის მეასედი გარკვეული რაოდენობა. და ყველა გაანგარიშება უკვე ეფუძნება ამ თანაფარდობას.

მაგალითად, 50-დან 1% არის 0.5, 700-დან 15 არის 7.

როგორ გადაწყვიტოს

1. იმის ცოდნა, რომ ერთი პროცენტი არის წარმოდგენილი რიცხვის მეასედი, შეგიძლიათ იპოვოთ საჭირო პროცენტების ნებისმიერი რაოდენობა. უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, შევეცადოთ ვიპოვოთ 800 რიცხვის 6 პროცენტი. ეს კეთდება მარტივად.
   • ჯერ ერთ პროცენტს ვპოულობთ. ამისთვის 800 გაყავით 100-ზე გამოდის 8.
   • ახლა სწორედ ამ ერთ პროცენტს, ანუ 8-ს ვამრავლებთ იმ პროცენტის რაოდენობაზე, რომელიც გვჭირდება, ანუ 6-ზე. გამოდის 48.
   • დააფიქსირეთ შედეგი გამეორებით.

   150 150. ამოხსნა: 150/100*15=22.

   28% 1582. ამოხსნა: 1582/100*28=442.

2. არსებობს სხვა პრობლემები, როდესაც თქვენ გეძლევათ მნიშვნელობები და თქვენ უნდა იპოვოთ პროცენტები. მაგალითად, თქვენ იცით, რომ მაღაზიაში არის 5 წითელი ვარდები 75 თეთრიდან და თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი პროცენტია ალისფერი. თუ ჩვენ არ ვიცით ეს პროცენტი, მაშინ აღვნიშნავთ მას x-დ.

   ამისათვის არსებობს ფორმულა: 75 - 100%

   ამ ფორმულაში რიცხვები მრავლდება ჯვარზე, ანუ x \u003d 5 * 100/75. გამოდის, რომ x \u003d 6% ასე რომ, ალისფერი ვარდების პროცენტი არის 6%.

3. არსებობს სხვა ტიპის პრობლემა პროცენტებთან დაკავშირებით, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ რამდენი პროცენტით არის ერთი რიცხვი მეორეზე დიდი ან ნაკლები. როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები პროცენტებით ამ შემთხვევაში?

   კლასში 30 მოსწავლეა, მათგან 16 ბიჭია. საკითხავია ბიჭების რამდენი პროცენტით მეტია გოგოებზე. ჯერ უნდა გამოთვალოთ სტუდენტების რამდენი პროცენტია ბიჭები, შემდეგ უნდა გაარკვიოთ გოგოების რამდენი პროცენტია. და ბოლოს იპოვე განსხვავება.

   მოდით დავიწყოთ. ჩვენ ვქმნით პროპორციას 30 ანგარიშისგან. - 100%

   16 ანგარიში -X %

   ახლა ჩვენ ვითვლით. X=16*100/30, x=53.4% ​​კლასში ყველა მოსწავლის ბიჭები არიან.

   ახლა იპოვეთ გოგონების პროცენტი იმავე კლასში. 100-53.4=46.6%

ახლა რჩება მხოლოდ განსხვავების პოვნა. 53,4-46,6=6,8%. პასუხი: 6,8%-ით მეტი ბიჭია ვიდრე გოგო.

ძირითადი პუნქტები ინტერესის გადაჭრაში

ასე რომ, იმისათვის, რომ არ გქონდეთ პრობლემები, თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ პრობლემები პროცენტულად, გახსოვდეთ რამდენიმე ძირითადი წესი:

1. იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ პრობლემები პროცენტებთან, ყოველთვის ფხიზლად იყავით: გადადით კონკრეტული მნიშვნელობებიდან პროცენტებზე და პირიქით, საჭიროების შემთხვევაში. მთავარია არასოდეს აურიოთ ერთი მეორეში.
2. ფრთხილად იყავით პროცენტების გაანგარიშებისას. მნიშვნელოვანია იცოდეთ რა კონკრეტული მნიშვნელობიდან უნდა დათვალოთ. მნიშვნელობების თანმიმდევრული ცვლილებებისთვის, პროცენტი გამოითვლება ბოლო მნიშვნელობიდან.
3. სანამ პასუხს ჩაწერთ, კიდევ ერთხელ წაიკითხეთ მთელი პრობლემა, რადგან შესაძლოა მხოლოდ შუალედური პასუხი იპოვეთ და კიდევ ერთი ან ორი მოქმედების შესრულება დაგჭირდებათ.

ამრიგად, პროცენტებით ამოცანების ამოხსნა არც ისე რთული საკითხია, მასში მთავარია ყურადღება და სიზუსტე, როგორც, მართლაც, ყველა მათემატიკაში. და არ დაგავიწყდეთ, რომ პრაქტიკა საჭიროა ნებისმიერი უნარის გასაუმჯობესებლად. ასე რომ, გადაწყვიტე მეტი და ყველაფერი კარგად იქნება შენთვის ან თუნდაც შესანიშნავი.